试谈一阶常微分方程通解中的任意常数.pdf

1992 年 第2欺 南都 学坛 自然并学版 A ca己自饭c fb爪m of N 韶 D d 矛 n丘mr掀s找ence 困jt沁n 1992 喻 2 试谈一阶常微分方程通解宁的任意常数 闰秉钧温成友温天舜 一阶常微分方程的通解 通积分少中 含有一个任意常数 c 关于 c 本文要谈三个同 题 一 c 作为任意常数 好像总 可么取任意实数 而事实上它未必能在实数域内任意取 值 二 或许以为每个C的值确定一 个特解 每个特解由一个C的值所确定 即C与特解之 间有一一对应的关系 其实不尽如此 三 C 的值影响特解豹定义域 无需精心构造复杂的方程来证实上述观点 用极普通的一个方程 己足以说明问题 1上 口 矽 川 公 一 一一 一 夕 y 程方或 是许多微分方程课本中的例题或习题 解方程 1 须分两种情况 一 X 1 l y 1 y 1 第一种情况即方程 2 易知其通解为 a rc si ny一 a rc sinx c 4 一 要 乙 z 扛 ar 名In y 二歹 兀 六 气丁 一声 arCS lll人 产奋 子 乙 一 乙 一 万 a r俪ny一 ar c s iox 兀 妙式中的C不能在实数域中任 为 州迸因所因 意取值 有如下限止 一 兀 c 二 5 在 5 式的限制之下 C 与 2 的特解 一一对应 图 1 将 4 式改为显式 45 y二职二 1 二奸s i n c 长 其中娜 C 另取与之相羞2 的鳌效倍豹位时 函数不变 因而 此处的 C 不必受 3 式约很制 它可以取除 Z n 斗 一 1 之外的任何实数 一公 士1 2 砚亨c只与特解 一一对应了 相差 2二的整数倍的无穷多个值 只确定一个 特解 当然 为了得到全部待解 三 一 内取c已足够了 通解 韵容易使人误认为 2少二 七特解 都是定义在仁一 1 1 上的 但事实上 c 的值彭领 着特解的定义域 0 C 月寸一二 x C 一个灯C Q睡寸 二 l 只有 C时 定义城才是 一 1 1 这些从 4 式容易看出 在 一 1 l 的其他部分定义 的函数 3 是方程丈 3 的解 去掉拍 式中的根号 一分 夕 一 sin 之 一 二 11飞2 ZJ厂卿 东沪口 7 因 一 二 所以 又红7 式来说 绝对值相等符号相反的 的两个浪没有区别 在 一 二 麟 内这祥的两个 值所确定的两个特解 现在溶于一式 了 7 式甲的 可限在半开区间 O 的 卯 劝内的 每个值 确定两 个特解 以 七二 似c 代入 7 得 2 的解的又一形式 扩 一于梦 一2 抚歹 护 1 幼 其中任意常数 壳在 一1 1 中取值 引 O 故必有又 0 根据 11 可得 v l 的无偏估计为 客 去 势一几 万 龙 一头 上 丫 一 一 粤 2 叉一兄 孟 在 7 的条件下 幻绘出的模型无偏估计 令 里令史 一 臼 1 2 是使r 的方差 E 逸 I 一 E r 达到最小值 而 久叉2 姚 一 衍 2 一 二 一 等 一 粼二 一 二 13 比较 10 和 13 由于成 护 从而 V 镇胜 所以在对 E D作估计时 几有最小方 差 侄妞寸了作预测时 r 有最小均方误差 显然当N很大时 了 有最小均方误差 显然当N