（应用数学专业论文）投资组合的相关性与风险分析.pdf

中文摘要 1 9 5 2 年 马可维茨提出投资组合的选择方法 标志着现代投资组合理论的开 端 马可维茨利用 期望收益率 来描述预期收益 用收益率的 方差 来描述 风险 并且得出线性相关性越小 投资组合的风险就越小的结论 随着金融市场 的快速发展 新的金融产品的出现 使得现代金融市场的风险更加复杂化 传统 的利用方差来度量投资风险的方法已经不能满足人们的需要 2 0 世纪9 0 年代初 重大的金融灾难促进了新的风险度量工具v a r 的产生和发展 近年来 v a r 在 风险度量中已经得到广泛应用 比如银行资本充足率的计算 投资组合风险的预 测都是应用v a r 方法的典型例子 因此 v a r 方法在现代风险管理中起着非常 重要的作用 在风险管理中 相关性的研究占有相当重要的地位 过去人们往往只用线性 相关系数来度量相关性 而且马可维茨的投资组合理论也只是考虑线性相关与风 险大小的关系 但随着风险管理的复杂化 现代风险管理对风险管理者提出了更 高的要求 对风险管理者来说 在现代风险管理中仅用线性相关系数来研究相关 性是远远不够的 还必须深入理解其他相关性概念 比如尾部相关性 基于马可维茨的投资组合理论 本文希望考虑在使用v a r 度量风险的时候 相关性与v a r 的关系 若假定市场数据服从正态分布 我们可以得到与马可维 茨投资组合理论类似的结论 即线性相关性越小 投资组合的风险 v a r 值 就越 小 但由于金融数据大多不服从正态分布 且具有厚尾性 所以本文通过模拟方 法研究了v a r 与线性相关性和尾部相关性的关系 结果表明尾部相关性对组合 的v a r 有重要影响 所以在使用v a r 方法度量风险的时候必须全面考虑组合的 线性相关性和尾部相关性以力求结果的准确性 关键词 线性相关系数 尾部相关系数 c o p u l a v a r a b s t r a c t i n1 9 5 2 m a r k e w i t zp r o p o s e dt h es e l e c t i o no fp o r t f o l i o i ts y m b o l e dt h eb e g i n n i n g o fm o d e mp o r t f o l i ot h e o r y m a r k o w i t zu s e de x p e c t a t i o no ft h er e t u r nt 0d e s c r i b et h e e x p e c t e dr e t u r n a n du s e dv a r i a n c eo ft h er e t u r nt od e s c r i b et h er i s ko fp o r t f o l i o h e p r o v e dt h es m a l l e rl i n e a rc o r r e l a t i o nw a s t h es m a l l e rt h er i s ko fp o r t f o l i ow a s w i t ht h e f a s td e v e l o p m e n to ff i n a n c em a r k e ta n dt h ei n v e n t i o no fn e wf i n a n c i a lp r o d u c t s m o d e r n f i n a n d a lm a r k e tb e c o m e sm o r ea n dm o r ec o m p l i c a t e d t h et r a d i t i o n a lm e 地o do fr i s k m e a s u r e m e n tc a n tm e e tt h en e e do f1 1 8 a tt h eb e g i n n i n go f9 0 8o ft h e2 0 t hc e n t u r y t h e s i g n i f i c a n tf i n a n c i a ld i s a s t e rc a u s e dt h ed e v e l o p m e n to fv a rw h i c hw a san e wm e t h o d o fr i s km e a s u r e m e n t v a ri sw i d e l yu s e di nr i s km e a s u r e m e n tr e c e n ty e a r s s u c h c a l c u l a t i o no ft h ec a p i t a la d e q u a c yr a t i oo fb a n k s e s t i m a t i o nt h er i s ko fp o r t f o l i oa n d 8 0o n t h e r e f o r e v a r 妇v e r yi m p o r t a n ti nm o d e r nr i s km a n a g e m e n t d e p e n d e n c ep l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nr i s km a n a g e m e n t i nt h ep a s t p e o p l eo n l y u s e dl i n e a rc o r r e l a t i o nt om e a s u r ed e p e n d e n c e m o r e o v e r p o r t f o l i ot h e o r yo fm a r k o w i t z o n l yc o n s i d e r e dl i n e a rc o r r e l a t i o n h o w e v e r w i t ht h er i s km a n a g e m e n tg e t t i n gm o r e a n dm o r ec o m p l i c a t e d m o d e mr i s km a n a g e m e n ts e t sa h i g h e rr e q u e s tt ot h er i s ks u p e r i n t e n d e n t i nm o d e mr i s km a n a g e m e n t t h es t u d yo fd e p e n d e n c ew i t hl i n e a rc o r r e l a t i o n a l o n ei sf a ra w a yf r o mt h er i s ks u p e r i n t e n d e n t 8s a t i s f a c t i o n t h e ym u s tg od e e pi n t o u n d e r s t a n d i n go t h e rd e p e n d e n c ec o n c e p t s s u c ha st a i ld e p e n d e n c e b a s e do np o r t f o l i ot h e o r yo fm a r k o w i t z w ew a n tt oc o n s i d e rt h ei n f l u e n c eo nv a r b yd e p e n d e n c ew h e nw eu s ev a rt om e a s u r er i s k i fm a r k e td a t ah a sg a u s s i a nd i s t i l b u t i o n w ec a np r o v et h es m a l l e rl i n e a rc o r r e l a t i o ni s t h es m a l l e rv a ro fp o r t f o l i oi s h o w e v e r m a s s 鹤o fm a r k e td a t ah a s n tg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n a n di ti sf a t t a i l e d w e f o c u so nf i n d i n gt h ei n f l u e n c eo nv a r b yl i n e a rc o r r e l a t i o na n dt a i ld e p e n d e n c ei nt h i s p a p e r t h er e s u l ti n d i c a t e st h et a i ld e p e n d e n c eh a sa i li m p o r t a n ti n f l u e n c eo nv a ro f p o r t f o l i o t h e r e f o r e w em u s tc o n s i d e rt h ed e p e n d e n c ee o m p l e t e l yw h e nw eu s ev a rt o m e a s u r er i s k k e yw o r d s l i n e a rc o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n t c o e f f i c i e n to ft a i ld e p e n d e n c e c o p u l a v a r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果 除了文中特别加以标注和致谢之处外 论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果 也不包含为获得鑫鲞盘翌或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名 钟君签字日期 2 鲫 年 月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘堂有关保留 使用学位论文的规定 特授权苤鲞盘茎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索 并采用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编以供查阅和借阅 同意学 校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 保密的学位论文在解密后适用本授权说明 学位论文作者签名 j 套凳 导师签名 婶叫芎 矿 签字日期 加 年1 月加日签字日期 弦b 年1月l o 日 第一章序言 1 1 风险管理的必要性 我们评价一个公司经营业绩的好坏通常是看它的盈利能力 事实上这并不全 面 我们知道预期收益与其所承担的风险成正比 公司的业绩好可能是建立在它 承担了较大风险基础之上 这样的经营策略对公司来说是相当危险的 一旦风险 爆发就会给公司带来灾难性的损失 实际上 公司 企业的主要任务之一就是管 理风险 那些善于风险管理的公司一般都能获得成功 而不善于管理风险的公司 般都会失败 然而 有些公司只是被动地接受金融风险 而其他公司却努力通 过发现风险和认识风险来建立一种竞争优势 无论在什么情况下 由于这些风险 的潜在危害性 公司必须认真地去监控它 在金融投资活动中 对金融机构投资者或个人投资者来说 其投资的目的都 是为了盈利 而在他们拥有获利机会的同时也承担着相应的风险 如果说他们只是 单纯地追求投资利润 而不顾及投资风险 当风险来l 临时可能会给他们带来巨大 的经济损失 严重情况下还可能会危机整个市场的正常运行 因此无论是从投资 者自身的利益角度出发 还是从市场监管者对市场正常 稳定运行的要求来看 风险管理都是相当必要的 证券投资是一种常见的金融活动 证券投资也是一种风险性投资 证券投资 的风险是指证券预期收益率变动的可能性及变动幅度 在证券投资活动中 投资 者投入一定数量的本金 目的是希望能得到预期的若于收益 从时间上看 投入 本金是当前的行为 其数额是确定的 而取得收益是在未来的时间 在持有证券 这段时间内 有很多因素可能使预期收益减少甚至使本金遭受损失 因此证券投 资的风险是普遍存在的 与证券投资相关的所有风险称为总风险 总风险可分为 系统风险和非系统风险两大类 1 系统风险 系统风险是指由于某种全局性的共同因素引起的投资收益的可能变动 这种 因素以同样的方式对所有证券的收益产生影响 在现实生活中 所有企业都受全 局性因素的影响 这些因素包括社会 政治 经济等各个方面 由于这些因素来 自企业外部 是单一证券无法抗拒和回避的 因此称为不可回避风险 这些共同 的因素会对所有企业产生不同程度的影响 不能通过多样化投资而分散 因此又 第一章序言 称为不可分散风险 系统风险包括政策风险 经济周期波动风险 利率风险和购 买力风险等 政策风险是指政府有关证券市场的政策发生重大变化或是有重要的法规 举 措出台 引起证券市场的波动 从而给投资者带来的风险 政府对本国证券市场 的发展通常有一定的规划和致策 藉以指导市场的发展和加强对市场的管理 政 府关于证券市场发展的规划和政策应该是长期稳定的 在规划和政策既定的前提 下 政府应运用法律手段 经济手段和必要的行政管理手段引导证券市场健康 有序地发展 经济周期波动风险是指证券市场行情 圊期变化而引起的风险 这种行情变动 不是指证券价格的日常波动 而是指证券行情长期趋势的改变 证券行情变动受 多种因素影响 但决定性的因素是经济周期的变动 经济周期是指社会经济阶段 性的循环和波动 是经济发展的客观规律 经济周期的变化决定了企业的景气和 效益 从而从根本上决定了证券行情 特别是股票行情的变动趋势 利率风险是指市场利率变动引起证券投资收益变动的可能性 市场利率的变 化会引起证券价格变动 并进一步影响证券收益的确定性 利率从两方面影响证 券的价格 一是改变资金的流向 二是影响公司的盈利 利率政策是中央银行的 货币政策工具 中央银行根据金融宏观调控的需要调解利率水平 购买力风险又称通货膨胀风险 是由于通货膨胀 货币贬值给投资者带来实 际收益水平下降的风险 2 非系统风险 非系统风险是指只对某个行业或者各男 公司的证券产生影响的风险 它通常 由某一特殊因素引起 与整个证券市场的价格不存在系统 全面的联系 而只对个 别或少数证券的收益产生影响 这种因行业或企业自身因素改变而带来的证券价 格变化与其他证券的价格 收益没有必然的内在联系 不会因此而影响其他证券 的收益 这种风险可以通过分散投资来抵消 若投资者持有多样化的不同证券 当某些证券价格下跌 收益减少时 另一些证券可能价格正好上升 收益增加 这样就使风险相互抵消 非系统风险是可以抵消 回避的 因此又称为可分散风 险或可回避风险 非系统风险包括信用风险 经营风险 财务风险等 信用风险又称违约风险 指证券发行人在证券到期时无法还本付息而使投资 者遭受损失的风险 信用风险实际上揭示了发行人在财政状况不佳时出现违约和 破产的可能 它主要受证券发行人的经营能力 盈利水平 事业稳定程度及规模 2 第一章序言 大小等因素的影响 经营风险是指公司的决策人员与管理人员在经营管理过程中出现失误而导致 公司盈利水平变化 从而使投资者预期收益下降的可能 经营风险主要是由来自 公司内部的决策失误或管理不善引起的 财政风险是指公司财政结构不合理 融资不当面导致投资者预期收益下降的 风险 负债经营是现代企业应有的经营策略 通过负债经营可以弥补自有资本的 不足 还可以用借贷资金来实现盈利 实际上公司融资产生的财务杠杆作用犹如 把双刃剑 当融资产生的利润大于债息率时 给股东带来的时收益增长的效应 反之 就是收益减少的财务风险 由于系统风险不可分散 不可回避 投资者要想减小投资过程中自身承担的 风险就必须从减小非系统风险入手 比如投资者想要回避信用风险 最好的办法 就是参考证券信用评级的结果 信用级别高的证券信用风险小 信用级别低的证 券信用风险大 这只是减小非系统风险的途径之一 马可维茨开创的投资组合理 论拓宽了我们分散非系统风险的途径 1 2现代证券投资组合理论的产生与发展 1 9 5 2 年 马可维茨发表了一篇题为 证券组合选择 的论文 这篇著名的论 文标志着现代证券组合理论的开端 马可维茨考虑的问题是单期投资问题 投资 者在某个时间 称为 期初 用一笔自有资金购买一组证券并持有一段时期 称 为 持有期 在持有期结束时 称为 期末 投资者出售他在期初购买的证券 并将收入用于消费或再投资 马可维茨在考虑这一问题时 第 次对证券投资中 的风险因素进行了正规阐述 他注意到一个典型的投资者不仅希望 收益高 而且希望 收益尽可能确定 这意味着投资者在寻求 预期收益最大化 的同时 也追求 收益的不确定性最小 在期初进行决策时必然力求使这两个相互制约 的目标达到某种平衡 马可维茨分别用期望收益率和收益率的方差来衡量投资的 预期收益率水平和不确定性 风险 建立均值方差模型来阐述如何全盘考虑上述 两个目标 从面进行决策 推导出的结果是 投资者应该通过同时购买多种证券 而不是一种证券进行分散化投资 在投资者只关注 期望收益率 和 方差 的假设前提下 马可维茨提供的 方法是完全精确的 然而这种方法所面临的最大问题是其计算量太大 特别是在 大规模的市场存在很多种证券的情况下 当时即使是借助计算机也难以实现 更 3 第一章序言 无法满足实际市场在时间上的苛刻要求 这严重阻碍了马可维茨方法在实际中的 应用 1 9 6 3 年 马可维茨的学生威廉一夏普提出了一种简化的计算方法 这一方 法通过建立 单因素模型 来实现 在此基础上后来发展出 多因素模型 以图 对实际更精确的近似 这一简化使得证券投资组合理论应用于实际成为可能 特 别是2 0 世纪7 0 年代计算机的发展和普及以及软件的成套化和市场化 极大地促 进了现代证券组合理论在实际中的应用 当今在西方发达国家 因素模型已被广 泛应用在证券投资组合中普通股之间的投资分配上 而最初的 更 般的马可维 茨模型则被广泛应用于不同类型证券之间的投资分配上 如债券 股票 风险资 产和不动产等 早在证券组合理论广泛传播之前 夏普 特雷诺和詹森三人便几乎同时独立 地提出了以下问题 假定每个投资者都使用证券组合理论来经营他们的投资 这将会对证券定价产生怎样的影响 他们在回答这一问题时 分别于1 9 6 4 年 1 9 6 5 年和1 9 6 6 年提出了著名的资产资本定价模型 c a p m 这一模型在金融领域 盛行十多年 然而 1 9 7 6 年 理查德 罗尔对这一模型提出了批判 因为这一模 型永远无法用经验事实来检验 与此同时 史蒂夫 罗斯突破性地发展了资本资 产定价模型 提出了套利定价模型 a p t 这一理论认为 只要任何一个投资者 不通过套利获得收益 那么期望收益率一定与风险相联系 这一理论只需要较少 的假定 罗尔和罗斯在1 9 8 4 年认为这一理论至少在原则上是可以检验的 1 3 证券投资组合分析 我们用期望收益率和方差来计量单一证券的收益率和风险 个证券组合由 一定数量的单一证券构成 每一只证券占有一定的比例 我们也可将证券组合视 为一只证券 那么 证券组合的收益率和风险也可用期望收益率和方差来计量 不过 证券组合的期望牧益率和方差是通过由其构成的单一证券的期望收益率和 方差来表达 首先来看两种证券的组合 设有两种证券a 和b 某投资者将一笔资金以u 1 的比例投资于证券a 以u 2 的比例投资于证券b 且l 9 1 眈 1 称该投资者拥有一个证券组合c 如果到期 时 证券a 的收益率为z 证券b 的收益率为2 2 贝0 证券组合c 的收益率为 2 c2w l x u 2 2 2 投资者在进行投资决策时并不知道旬和z 2 的确切值 因而x l x 2 应为随机 变量 对其分布的简化描述是它们的期望值和方差 投资组合c 的期望收益率和 4 第一章序言 收益率的方差分别为 e z c 1 e 1 w 2 e 2 晶 u 1 2 口1 2 u 以 2 w 1 忱矿1 口2 以2 1 1 这里m 2 是a 与b 的线性相关系数 选择不同的组合权数 可以得到包含证券a 和证券b 的不同的证券组合 从而得到不同的期望收益率和方差 投资者可以根据自己对收益率和方差 风险 的偏好 选择自己最满意的组合 考虑任意多个证券组合的情形 设有n 种证券 记作a 1 a 2 k 证券组 合c u 1 2 表示将资金分别以权数 1 w 2 投资于a 1 a 2 a 正如两种证券组合情形一样 证券组合的收益率等于各单个证券的收益率的加权 平均 即设a i 的收益率为五0 1 2 n 则证券组合c p l 的收 益率为 z c w l x l u 2 2 2 芝二 以 t l 推导可得到证券组合c 的期望收益率和方差分别为 n e c u i e x d 1 2 t l nn忆ni i 0 8 w i w j a t e r j p i j 留砰 2 w i w j a l a j p i j 1 3 i l j l i l i l j t 其中吼是证券如收益率墨的方差 是甄与勺的线性相关系数 j 1 2 n 由公式 1 2 和 1 3 可知 要估计e x c 和吒 当n 非常大时 计算量十 分巨大 在计算机技术尚不发达的2 0 世纪5 0 年代 证券组合理论不可能运用于 大规模市场 只有在不同种类的资产间 如股票 债券 银行存单之间分配资金 时 才可能运用这一理论 2 0 世纪6 0 年代后 威廉 夏普提出了指数模型以简 化计算 随着计算机技术的发展 已经开发出计算e x c 和一6 的计算机软件 如m a t l a b s a s s p s s s p l u s 和r 等 大大方便了投资者 假设组合c 中各种证券都是不相关的 即肋 0 i 互l j 1 2 n 则 1 3 简化为 吨 谚砖 1 4 5 第一章 序言 为了便于说明 假定每种成分证券的方差都相等为0 2 并且对每种证券的投 资比例也相同 则 1 4 迸一步简化为 n 1 2 a 6 2 1 5 讧l 7 从 1 5 式可以看出随着证券数量的不断增加 也就是说组合分散程度的增 加 组合的风险将会不断趋于下降 这一原理也是保险学的基础 它可以解释为 什么保险公司试图出售保险给更多的人并拓宽它们的范围以便使总体的风险最小 化 由于社会经济运行是一个整体 许多经济主体之间或多或少会有一些联系 实际上我们并不可能找到无限多种不相关的证券进行组合 分散化投资只是减小 风险的 个途径 而且对投资者来说 由于资金有限 也不可能投资于无限多种 证券 只能根据实际的资金拥有量选择部分证券进行组合 所以我们在构建组合 时 特别是组合中成分证券数目较少的时候 还应该考虑另一个影响组合风险大 小的重要因素 证券间的相关性 这也是本文讨论的重点 从 1 1 中容易看出 在其它条件不变的情况下 证券a 和证券b 的相关性 p 1 2 越小 组合的风险 吃 就越小 从 1 3 来看 对于多种证券的组合也有同 样的结论 这一理论早已广泛地运用到各种证券投资组合的构建中 1 4 选题背景 在投资者只关注 期望收益率 和 方差 的假设前提下 马可维茨提供的 方法是完全精确的 在1 3 节中 我们也介绍了最基本的分散化投资组合原理 明白选择相关性较小的证券进行投资可以减小组合风险的道理 而且这一结论现 在也被证券分析师和投资者广泛地使用 也收到了不错的效果 但这里有两个问 题必须说明 一是我们利用收益率的方差来度量风险 而方差只是衡量收益率波 动的大小 这种波动不仅包括负向的波动 还包括正向的波动 人们在投资过程 中往往只关心负向的波动 且这种负向波动给他带来的损失可能会有多大 这在 方差中并不能得到很好的体现 二是最初的投资组合理论所说的相关性只是线性 相关性 用收益率间的线性相关系数来度量 若当收益率数据间除线性相关性外 还存在其他相关性时 对组合风险的影响又如何呢 基于以上两个问题 结合近年来金融理论和统计模型 方法的最新发展 我 们可以作以下讨论s v a r 作为一个统计概念 是目前风险度量的主流方法 v a r 表示给定一置 6 第一章序言 信水平 在正常的市场条件下 证券组合在未来特定一段时间内的最大可能 损失 v a r 正好解决了我们前面所提到的投资者对风险度量的实际需要 直接用数字说明投资者面临的风险 损失 和遭受这种损失的可能性大小 概 率 3 5 利用v a r 方法研究了美元 英镑和加元 英镑两支汇率的风险函数 在一定水平下的v a r 的最优边界 以前人们总是假定金融数据服从正态分布 但经过多年的观测研究 发现这 种假定并不合理 金融数据多是厚尾的 也就是说金融市场中极端事件发生 的概率要大于正态假定下计算得出的理论概率 正因如此 本文将利用极值 理论更准确地来描述金融数据的分布 这也是大家常用的方法 无论是在理 论研究还是实际应用中都得到了广泛的认可 对于相关性的度量 线性相关系只是一种常用的工具 它只能表示数据 整体走势趋势的关联程度 并不能全面反映数据间的相关性 而且线性相关 系数本身存在不足 由线性相关系数的定义 我们知道只有在变量方差存在 的条件下线性相关系数才有意义 金融数据常常具有厚尾性 服从厚尾分布 其方差未必存在 所以在使用线性相关系数分析金融数据相关性时必须非常 谨慎 而且线性相关系数只是度量变量间线性相关程度的指标 如果变量间 存在非线性的相关关系 就不可能通过线性相关系数得到准确的度量 对于 各种相关性度量 3 3 给出了多种统计工具 我们可以选择一种或多种合适 的度量工具来度量相关性 由于金融数据的厚尾性特征使我们不得不对那些尾部数据加以重视 类 似于 般情况的研究方法 尾部数据的相关性大小以及其对风险v a r 大小的 影响都是值得我们深入讨论的问题 在实际的金融分析中 有很多涉及尾部 相关性的问题 尾部相关性的大小反映了观测变量同时出现极值的可能性大 小 以沪深殷市为例 它们之间的尾部相关性可以反映深圳股市和上海股市 同时出现大波动的可能性 如果研究的是个股之间的相关关系 尾部相关性 则反映了一只股票的暴涨暴跌是否伴随另一只股票的暴涨暴跌 对投资者来 说 如果他持有的各种股票同时出现小幅下跌 可能不会造成太大影响 但 如果这些股票同时暴跌 就会给投资者带来巨大的经济损失 可见尾部相关 性才是投资者真正关心的问题 也是风险分析中相关性研究的重点 3 4 利 用l o g i s t i c 条件分布模型研究了沪深股市日对数收益率的尾部相关性 3 6 在 利用c o p u l a 拟合数据时考虑了一种改进方法 以便更准确地反映出数据间的 7 第一章序言 相关性 3 s 利用尾部相关度量和尾部相关函数对观测变量的尾部相关性作 了详细的研究 本文着重考虑金融风险分析中 数据具有厚尾性质 服从厚尾分布时 组合 中各成分证券的线性相关性和极端情况下的尾部相关性对组合风险v a i l 的影响 问题 这里我们以两种证券的组合作为研究对象 文章的结构安排如下 第一章序言 介绍投资组合理论的提出与发展 第二章风险度量的v 抓方 法 简要介绍v a r 方法产生的背景 v a r 的概念以及常用的比较重要的计算v a r 的方法 第三章极值理论 主要介绍适合描述金融市场数据的极值分布 第四章 c o p u l a 与相关性度量 介绍了c o p u l a 理论以及相关性的度量方法 特别是尾部 相关性的度量 第五章相关性与风险分析 是本文的重点 从实际数据出发 通 过模拟方法研究了尾部相关性和线性相关性对投资组合v a r 的影响 8 第二章风险度量的v a r 方法 2 1v a r 简介 v a r 是风险管理工具的最新发展 v a r 产生和发展的根源在于2 0 世纪9 0 年 代初重大的金融灾难 即发生在美国加州奥兰治县财政部门 巴林银行 德国金 属股份公司 日本大和银行 以及其他一些金融机构的一些灾难性事件 这些事 件的共同教训是由于金融风险的监督和管理不力导致数十亿美元的损失 针对这 一难题 金融机构和管理者采用v a r 方法 这是一种用于量化市场风险的简单易 懂的方法 v a r 方法是由j pm o r g a n 公司率先提出的 2 5 当时j pm o r g a n 总裁w e a t h e r s t o n e 要求其下属每天下午当天交易结束后的4 点1 5 分给他 份一页报告 著名 的4 1 5 报告 说明公司在未来2 4 小时总体上的潜在损失是多少 为了满足这一要 求 j pm o r g a n 的风险管理人员开发了一种能够测量不同交易 不同业务部门市 场风险 并将这些风险集成为 个数的风险测量方法 v a r 方法 2 4 4 1 1 5 v a r 是一种用标准统计技术来评估金融风险的方法 直观上 v a r 指在正常 的市场环境下 在一定的置信水平和期间内 衡量最大预期损失的方法 这种方 法建立在坚实的科学基础上 为使用者提供了综合度量市场风险的方法 例如 某家银行交易组合的日v a r 在9 9 的置信水平下为5 0 0 0 万人民币 也就是说 在正常的市场环境下 1 0 0 次交易只存在1 次损失超过5 0 0 0 万人民币的情况 为何采用v a r 来度量风险 可以拿一般常用的风险指标来加以比较 例如 概率 或者发生的可能性 是一般人常用来度量风险的指标 但是除了概率以外 可能结果的严重性也应列入风险考虑 举例来说 根据统计资料归纳 发生车祸 的概率远远高于飞机失事的概率 但是这样的统计结果未必会有助于降低搭乘者 对搭乘飞机的担心程度 因为飞机失事的严重性通常高于车祸 另外 传统财务 金融理论常用标准差来评估风险 然而在观念上v a r 和标准差之间至少有这样 的差异 标准差是平均的概念 衡量的是波动的大小程度 这里的波动不仅包括 负向的波动 而且还包括正向的波动 人们往往只关心负向的波动 v a r 正好体 现了负向波动的大小和可能性 或者可以看成是在风险情况下 生存 机会的大 小 又如 许多人常以 不确定 作为风险评估的重要考虑 就前面所说车祸与 坠机的比较 可以推测汽车失事导致人员伤亡情况的不确定性可能远远高于飞机 9 第二章风险度量的v a r 方法 失事造成人员伤亡的可能性 但是这样的推测并未针对飞机失事的严重性加以考 虑 与传统的风险度量方法相比而言 v a k 提供一种考虑杠杆 相关性和当前 头寸的组合风险的整体观点 因此 这的确是一种有远见的风险度量方法 而且 v a r 适用于所有的金融工具 该方法也可以从度量市场风险扩展到其他类型的金 融风险 v a r 的计算过程就能用来决定哪些是需要控制的风险 各种因素的整 合带来了v a r 的革命 这些因素包括 来自监管者更好地控制金融风险的压力 金融市场的全球化 这导致金融机构面临更多的风险来源 科学技术的进步 这 使得公司整体风险管理离实际不再遥远 v a r 给出了一定的置信水平下 在将来一定时期内预期的最大损失 v a r 给 定后 我们可以说未来的损失以该置信水平的概率不会超出这个v a r 值 从统计 上看 v a r 就是一个分位数 用a p 表示未来某段时期内的收益或损失 定义为 期初时的资产减去期末的资产 例如期初资产是p 0 经过一段时间后期末资产变 为p 1 那么我们说这段时间内的收益或损失为a p p o p l 注意我们这里使用 期初的资产减期末的资产 当a p 0 时表示发生损失 p 就是实际的损失额 度 反之a p v a r 1 一n 也就是说 未来损失值超过v a r 的概率只有1 一a 或者说 金融资产或投资 组合z 在a o o 1 水平的v a r 就是其市场损益分布乃的n 分位数 即 v a r z f z l 吐 置信水平和时间长度是v a r 的两个最重要的因素 都必须事 先约定好 巴塞尔协议规定置信水平取为9 9 时间长度为1 0 天 不同的风险管 理者可以根据自己的需要选取合适的置信水平和时间长度 对于监管者来说 时 间长度体现了频繁监督的成本以及早发现潜在问题与获益之间的替代关系 而从 公司的角度来看 这一时间间隔的选择应由投资组合本身的特性决定 国外的商 业银行现在以一天作为时间间隔 其原因于商业银行交易频繁 其投资组合变动 也频繁 相比之下 诸如养老金之类的投资组合因为调整缓慢 所以选取一个月 作为时间间隔 对于置信水平的选择几乎没有什么可遵循的原则 主要取决于风 险管理系统如何解释v a r 值 巴塞尔委员会选取9 9 的置信水平 因为这一水平 体现了确保金融系统的安全有效和对银行风险资本要求过高的不利影响的替代关 系 使用v a r 系统的各个金融机构也根据自身的情况设定了不同的置信水平 例 0 第二章风险度量的v a r 方法 如 信孚银行 b a n k st r u s t 设定为9 9 大通一曼哈顿银行 c h e m i c a la n dc h a s e 设定为9 7 5 花旗银行 c i t yb a n k 设定为9 5 4 美洲银行 b a n ka m 嘶e a 和j p 摩根银行 j pm o r g a n 设定为9 5 置信水平越高 意味着v a r 值越大 也就 需要储备更多的资本应付可能的损失 2 2 v a r 的计算 v a r 方法本质上是对证券组合价值波动的统汁测量 其核心在于构造证券组 合价值变化的概率分布 基本思想仍然是利用证券价值的历史波动信息来推断未 来情形 只不过对未来价值波动的推断给出的不是一个确定值 而是一个概率分 布 v a r 计算的一般步骤是 对证券组合 或单 证券 每隔一段时间 以是一 天 周 一个月 年等等 根据实际情况的需要选择一个固定的时间间隔 进 行估值 计算出一系列损益值 然后利用这些损益值通过一定的手段估计出证券 组合的损益分布 再根据这一分布就可求出给定置信水平下证券组合的v a r 典 型的v a r 计算方法主要有三种 历史模拟方法 分析方法和m o n t ec a r l o 模拟方 法 下面我们简要介绍这几种方法 1 历史模拟方法 三种v a r 的计算方法中最简单 最直观的就是历史模拟法 历史模拟法的核 一l 在于根据市场因子的历史样本变化模拟证券组合的未来损益分布 利用分位数 给出一定置信度下的v a r 估计值 历史模拟法是一种非参数方法 它不需要假设 市场因子的统计分布 因此可以较好地处理非正态分布 该方法简单直观 易于 解释 常被监管者选做计算资本充足性的基本方法 假设对证券组合我们要利用历史模拟法来计算其9 5 置信水平下的日v a r 已知其过去n 1 个交易日的价格水平p d i 0 1 n 1 于是可以得到价格 的n 个日变化 最 只一l b 假定这竹个日变化在未来一天都可能出现 那么 未来一天该投资组合的损益可能为这n 个数中其中的一个 将这n 个数从d n 大 排序 得到该组合的未来损益分布 其9 5 分位数就是其9 5 置信水平下的日 v a r 假设n 1 0 0 1 则有1 0 0 0 个日变化数据 9 5 的置信度对应的v a r 就是这 1 0 0 0 个数据中第5 0 大的数 下面给出历史模拟方法的主要计算步骤 1 识别市场因子 上例中市场因子是价格 收集市场因子过去 r 1 个时期 1 1 第二章风险度量的v a r 方法 的历史数据 2 根据市场因子过去 1 个时期的价格序列 计算该市场因子 1 个 时期价格的实际变化 得到 个变化 假定未来的变化与过去完全相似 即过去 1 个时期的 个变化在未来都可能出现 再结合该市场因子的证券组合当前 价值可以直接计算得到证券组合未来可能的 种取值 3 将证券组合未来可能的 种取值从小到大排列 得到证券组合未来损益 的损益分布 4 根据上述得到的损益分布 通过分位数求出给定置信水平下的v a r 历史模拟法不但简单直观 易于计算 其更大的优点在于历史模拟法使用真 实的价格 不需要对市场的随机结构做任何假设 它允许非正态分布 能够说明 厚尾问题f 2 4 1 1 避免模型风险 正因为其稳健性和直观性 巴塞尔协议1 9 9 3 年 条款采用历史模拟法作为市场风险的基本度量方法 3 但历史模拟法也有自身的不足 它假定市场因子的未来变化与历史变化完全 一样 概率密度函数不随时间而变化 或明显变化 这与实际金融市场的变化不 一致 如根据历史模拟法对历史样本的使用方式 不能预测和反映未来的突然变 化和极端事件 而且历史模拟法需要大量的历史数据 通常认为需要的样本数据 不能少于1 5 0 0 个 如果是日数据 按每年2 5 0 个交易日计算 相当于大约6 年的 时间 实际金融市场很难满足这一要求 特别是对新兴的市场根本就没有这么多 的数据 在数据较少的情况下 不能保证估计结果 特别是高置信度下的结果 的 准确性 近年来 原有的历史模拟法有了很大改进 参见 2 0 7 1 7 2 分析方法 分析方法是v a r 计算中最常用的方法 它利用证券组合的价值函数与市场 因子间的近似关系 市场因子的统计分布 方差一协方差矩阵 简化v a r 的计 算 根据证券组合价值函数形式的不同 分析方法可分为两大类 3 9 d e l t a 类 模型和g a m m a 类模型 在d e l t a 类模型中 证券组合价值函数均取一阶近似 g m n m a 类模型中 证券组合价值函数均取二阶近似 两类模型中 又可根据市 场因子统计分布假定的不同细分为各种模型 如d e l t a 一正态模型假定市场因子 服从多元正态分布 1 7 d e l t a 一加权正态模型使用加权正态模型 w t n 估计市 场因子回报的协方差矩阵 2 5 d e l t a g a r c h 模型使用g a r c h 模型描述市场 因子 2 5 1 9 g a m m a 一正态模型假定市场因子的变化服从多元正态分布 3 2 而 g a m m a g a r c h 模型使用g a r c h 模型描述市场因子 1 4 1 2 第二章风险度量的v a r 方法 具体来说 分析方法的步骤如下 1 识别基础的市场因子 将证券组合中的实际工具映射为一系列只受单一 市场因子影响的标准头寸 2 假设市场因子的变化服从的分布 估计分布的参数 如方差和相关系数 3 使用市场因子的方差和相关系数计算相应标准头寸价值变化的方差和相 关系数 4 使用标准的统计方法根据标准头寸价值变化的方差和相关系数计算v a r 分析方法中 各种具体模型的计算方法在刚 f 4 0 中都有详细的介绍 这里不 在累述 总的来说 分析方法利用一阶或二阶泰勒展开式近似组合价值的估值 用特定的统计分布 主要是正态分布 描述市场因子的实际分布 简化了v a r 的 计算 因此是v a r 计算中最常用 最成熟的方法 但分析方法中对分布的正态性 假定往往与实际不符 很难有效处理实际金融市场的厚尾性和大幅度波动的非线 性问题 3 m o n t ec a r l o 模拟方法 与分析方法相比 m o n t ec a r l o 模拟方法可以较好地处理非线性 非正态问 题 其主要思路是反复模拟决定金融工具价格的随机过程 每次模拟都可以得到 组合在持有期末的一个可能值 如果进行大量的模拟 那么组合价值的模拟分布 将收敛于组合的真实分布 这样通过模拟分布可以导出真实分布 求出v a r 和历史模拟法一样 蒙特卡罗法也是通过获得大量的样本来计算v a r 所不同 的是 历史模拟法是从历史数据中抽样 而蒙特卡罗法则假定了收益率的分布 再从这个分布抽样 所以采用蒙特卡罗法可以产生那些我们认为将要发生 但历 史观测值中没有出现的事件 m o n t ec a r l o 模拟的基本步骤如下 1 针对实际f 司题建立一个简单且便于实现的概率统计模型 使所求的解恰 好是所建模型的概率分布或其某个数字特征 比如是某个事件的概率 或者是该 模型的期望值 2 对模型中的随机变量建立抽样方法 在计算机上进行模拟实验 抽取足 够的随机数 并对有关的事件进行统计 3 对模拟实验结果加以分析 给出所求解的估计及其精度 方差 的估计 4 必要时 还应改进模型以提高计算的效率 具体的方法也可参考 2 4 4 0 m o n t ec a r l o 模拟方法是计算v a r 最有效的方 1 3 第二章风险度量的v a r 方法 法 它能说明广泛的风险 包括非线性风险 波动风险 甚至模型风险 它也灵 活地考虑了波动的时间变化 厚尾等因素 而且m o n t ec a r l o 模拟方法可产生大 量情景 使结果更精确可靠 但m o n t ec a r l o 模拟方法也存在一些缺点 产生的 数据序列是伪随机数 可能导致错误结果 随机数中存在群聚效应而浪费了大量 的观测值 降低了模拟效率 而且计算时间长 计算量大 不过 在计算机技术 日新月异的今天 计算量问题变得越来越小 这也是蒙特卡罗法受青睐的原因 但是 m o n t ec a r l o 模拟方法还有一个不容忽视的弱点是 它依赖于选定的随机 模型 当然如果模型做的正确的话 这个方法很可能是度量市场风险最全面的方 法 v a r 描述的是市场正常波动下证券组合的最大可能损失 金融市场中却常常 出现一些极端情形 如市场崩溃 金融危机 政治剧变或自然剧灾等 在这些情况 下 经济变量间 金融市场因子间的稳定关系就会受到破坏 原有市场因子之间 的价格关系 相关性 波动性都会发生变化 市场因子和组合价值之间的关系也 会发生根本改变 这样 v a r 赖以成立的前提和计算的参数发生了巨大变化 导 致其估计的结果出现很大的误差 为了弥补这种缺陷 人们引入压力试验 s t r e s s t e s t i n g 和极值理论 e x t r e m ev a l u et h e o r y 分析方法作为v a r 的补充 1 1 4 1 4 第三章极值理论 早在1 9 6 3 年 2 8 就指出高额的金融资产的收益率是非正态的 具有厚尾 性 所以 用正态分布来描述资产的收益率是不合理的 也必然会导致我们得到 的结果不准确 极值理论里面的厚尾分布正好是我们描述这种厚尾性质数据的有 效工具 而且 v a r 的计算是针对收益率分布的尾部进行的 因而极端情形下准 确的预测v a r 也是非常重要的 极值理论是专门研究极端事件 即很少发生但一 旦发生导致的后果就极其严重的事件的建模及其统计分析理论 目前 极值理论 的应用已经深入到许多领域 除了传统的水文 气象 地震与工程 近年来在保 险 金融中更得到广泛的应用 3 1 极值分布 设噩 恐 是分布函数为f z 的独立同分布随机变量 令 m a x x t 矗 r a i n x 1 分别表示n 个随机变量的最大值与最小值 其中n 为正整数 则 p r