贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 24第二十四讲 几何的定值与最值 人教新课标版.doc

贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 24第二十四讲 几何的定值与最值 人教新课标版【例题就解】【例1】 如图，已知ab=10，p是线段ab上任意一点，在ab的同侧分别以ap和pb为边作等边apc和等边bpd，则cd长度的最小值为 思路点拨 如图，作ccab于c，ddab于d，dqcc，cd2=dq2+cq2，dq=ab一常数，当cq越小，cd越小，本例也可设ap=，则pb=，从代数角度探求cd的最小值 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等 【例2】 如图，圆的半径等于正三角形abc的高，此圆在沿底边ab滚动，切点为t，圆交ac、bc于m、n，则对于所有可能的圆的位置而言， mtn为的度数（ ） a从30到60变动 b从60到90变动c保持30不变 d保持60不变 (湖北赛区选拔赛试题)；思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点c时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值【例3】 如图，已知平行四边形abcd，ab=，bc=()，p为ab边上的一动点， 直线dp交cb的延长线于q，求ap+bq的最小值 (永州市竞赛题)思路点拨 设ap=，把ap、bq分别用的代数式表示，运用不等式 (当且仅当时取等号)来求最小值 【例4】 如图，已知等边abc内接于圆，在劣弧ab上取异于a、b的点m，设直线ac与bm相交于k，直线cb与am相交于点n，证明：线段ak和bn的乘积与m点的选择无关思路点拨 即要证akbn是一个定值，在图形中abc的边长是一个定值，说明akbn与ab有关，从图知ab为abm与anb的公共边，作一个大胆的猜想，akbn=ab2，从而我们的证明目标更加明确注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题【例5】 已知xyz是直角边长为1的等腰直角三角形(z=90)，它的三个顶点分别在等腰rtabc(c=90)的三边上，求abc直角边长的最大可能值 ( “宇振杯”上海市初中数学竞赛题)思路点拨 顶点z在斜边上或直角边ca(或cb)上，当顶点z在斜边ab上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点z在(ac或cb)上时，设cx=，cz=，建立，的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值 注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解常见的解题途径是：(1)利用一元二方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2)构造二次函数求几何最值学力训练1如图，正方形abcd的边长为1，点p为边bc上任意一点（可与b点或c点重合），分别过b、c、d作射线ap的垂线，垂足分别是b、c、d，则bb+cc+dd的最大值为 ，最小值为 (江苏省竞赛题)2如图，aob=45，角内有一点p，po=10，在角的两边上有两点q，r(均不同于点o)，则pqr的周长的最小值为 (湖北省黄冈市竞赛题)3如图，两点a、b在直线mn外的同侧，a到mn的距离ac=8，b到mn的距离bd=5，cd=4，p在直线mn上运动，则的最大值等于 ( “希望杯”邀请赛试题)4如图，a点是半圆上一个三等分点，b点是弧an的中点，p点是直径mn上一动点，o的半径为1，则ap+bp的最小值为( ) a1 b c d (湖北省荆州市中考题)5如图，圆柱的轴截面abcd是边长为4的正方形，动点p从a点出发，沿看圆柱的侧面移动到bc的中点s的最短距离是( ) a b c d(贵阳市中考题) 6如图、已知矩形abcd，r，p户分别是dc、bc上的点，e，f分别是ap、rp的中点，当p在bc上从b向c移动而r不动时，那么下列结论成立的是( ) a线段ef的长逐渐增大 b线段ef的长逐渐减小c线段ef的长不改变 d线段ef的长不能确定(桂林市中考题)7如图，点c是线段ab上的任意一点(c点不与a、b点重合)，分别以ac、bc为边在直线ab的同侧作等边三角形acd和等边三角形bce，ae与cd相交于点m，bd与ce相交于点n(1)求证：mnab；(2)若ab的长为l0cm，当点c在线段ab上移动时，是否存在这样的一点c，使线段mn的长度最长?若存在，请确定c点的位置并求出mn的长；若不存在，请说明理由(2002年云南省中考题)8如图，定长的弦st在一个以ab为直径的半圆上滑动，m是st的中点，p是s对ab作垂线的垂足，求证：不管st滑到什么位置，spm是一定角(加拿大数学奥林匹克试题)9已知abc是o的内接三角形，bt为o的切线，b为切点，p为直线ab上一点，过点p作bc的平行线交直线bt于点e，交直线ac于点f(1)当点p在线段ab上时(如图)，求证：papb=pepf；(2)当点p为线段ba延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由 10如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形abcde，其中af=2，bf=l，在ab上的一点p，使矩形pndm有最大面积，则矩形pndm的面积最大值是( ) a8 b12 c d1411如图，ab是半圆的直径，线段ca上ab于点a，线段db上ab于点b，ab=2；ac=1，bd=3，p是半圆上的一个动点，则封闭图形acpdb的最大面积是( ) a b c d12如图，在abc中，bc=5，ac=12，ab=13，在边ab、ac上分别取点d、e，使线段de将abc分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度(全国初中数学联赛试题)13如图，abcd是一个边长为1的正方形，u、v分别是ab、cd上的点，av与du相交于点p，bv与cu相交于点q求四边形puqv面积的最大值 ( “弘晟杯”上海市竞赛题)14利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?(河南省竞赛题) 15某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)其中，正方形mnpq与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米(1)设矩形的边ab=(米)，am=(米)，用含的代数式表示为 (2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元 设该工程的总造价为s(元)，求s关于工的函数关系式 若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由 若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成