从三角形到四面体——类比思想在中学数学中的应用.pdf

及 三角形副四面体 类 比思想在 中学数 学 中的应用 江 苏无 锡 高等 师 范学校 2 1 4 0 0 1 张 丽娟 数学 思 想是 人 们对 数学 理 论与 内容 的本 质认 识 是对 数 学规 律 的理 性 思 考 如化 归 法 抽象 法 类 比法 特 殊 化 与一 般 化 数学 模 型方 法 等等 都 是 数学 思想 的具 体 体 现 数 学 思 想 是解 决 数学 问 题 的先 导 类 比思 想 是 数 学 思想 是 进 行 数 学 发 现 的 重要 思想 类比是根据两个对象或两类事物的一些属性 相同或相似 猜测另 一些 属性 也相 同或相似 的思 维方 法 类 比就 是 一种 相 似 由于 相 似 的含义 很广泛 因此类 比方法的表现形式也就丰富多彩 当学生面临一个 比较生疏 的新 问题时 教师 应及时启 发他们用 所熟悉 的知识 经验来进 行分 析 比较 发 现 其 内在 联 系 从 而 获得 新 问题 的解 决 教学中引导学生进行类 比 就如搭桥引渡 使 学生温故而知新 触类旁通 这是诱导学生用 已知 来发 现未 知 的一种 策 略 在求解立体几何的问题 时 往往通过 与平 面 几何的相关知识进行类 比 实现知识的有效转换 做到启发思维 化难为易 化繁为简 我们知道 平 面几 何 中边 数最 少 的 多 边形 是 三 角 形 而立 体几 何中面数最少的多面体 是四面体 由于四面体的 各面都是三角形 当共顶点的三条棱逐渐缩短 直 到该点 落 到对 面 三 角 形 所 在 平 面 空 间 图 形 又 回 到 平面 图形 因此 四 面 体 与 三 角形 之 间 有 着 必 然 的联 系 它 们 既对 立 又统 一 并 在一定 条 件 下相 互 转 化 本 文 通过 从 平 面 到空 间 略谈 三 角 形 中一 些 熟悉的定理结论 经类 比后在四面体 中的情况 1 运 用类 比思 想 进 行 相似 知识 点 的迁移 把两个数学对象进行 比较 找 出它们相似 的 地 方 从 而 推 出这两 个 数学 对 象共 同的一 些 特征 这 有助 于发 现一 些 新 的性 质 特 征 实 现 相 似 知 识 的有 效迁 移 结论 l 勾 股定 理 在直 角三 角形 中 斜边 的平 方 等 于两条 直角 边 的平 方 和 类 比结论 1 如 图 1 在 四面 体 S AB C 中 S A S B S C两 两互 相垂 直 则 有 S s B S B S c S A S 仙c 证 明 设 S A S B S C 的长 分别 为 口 b c 教学参考 B s z S 目 s 脱 s 图 丢 幻 专 6 c ca n b b 2 c c n 作 S D 上 A B于 D 由三垂 线 定理 C D 上 AB B 中 S D 一 考 s k 仙 c 一 专 A B C D A B S C S D 一 n c 一 6 2 C 2 所以 S s B S B S c S c s a S 仙c 所 以 结 诊 成 寺 结论 2 三 角 形 三 边 关 系 定 理 三 角 形 两 边 之 和大 于第 三边 类比结论 2 如图 2 四面体三个 面面积的和大 于第 四个 面 的面积 证 明 在 四 面 体 D AB C 中 设 顶 点 A B C 图 2 C D所 对 面 的 面 积 分 别 为 S S S S 只要 证 明 S S S S 其他面积也有类似关系 设 面 D BC 面 D AC 面 D AB 与 面 ABC所 成 总 第 一 期 引 一 维普资讯 总 f 年 I 期 l嵩 教学参考 的角分别为 a 7 作 D O上 面 A BC于O 过 O作 O E 上 B C于 E 连结 D E 则 D E 上 B C D E O a 在 Rt X D O E 中 O E D Ec o s a S 腻 S 1 c o s 口 同理 5 A S2 c os 3 S 0 B S3 c os 所 以 S 4一 S 胍 S 0 D A S S 1 C O S a S2 c os 3 S3 c o s 因为 0 口 丌 所 以 C O S a 1 c o s 3 1 c o s S1 S 2 S 3 即 四面体任意三个面面积的和大于第 四个 面 的 面积 结论 3 正三角形 内任意一点到三边 的距离之 和为定 值 类 比结论 3 如图 3 正四面体内任意一点到 四个面的距离之和为 证 明 在 四面 体 C 中 设 P是该 四 内 的一 点 它 到 四个 距离分别为 P E P F P H 设 正 四面 体 各 面积 为 S 利 用 分 割 想 点 P与每个面都构成 三棱锥 于是 四个三棱锥 图3 之和等于此四面体的体积 C 即 告 s P E s P F 了1 s s PH V 所以 妻s P E P F P G P H V 所 以 P E P F P G P H 定值 所 以正 四面体内任意一点到 四个面 的距离之 和为定 值 2 运用类比思想 拓展数学知识 类 比不仅是简单知识 的迁移 运 用类 比思想 还有助于我们联系新旧知识 扩展思路 找到解决 问题 的重 要途 径 新 旧知识 的类 比 既有 利 于理解 掌握新知识 还能使旧知识得到巩 固 同时拓展视 野 结论 4 余弦定理 在 AA B C 中 三条边分别 为 a b c 则 有 c o s A 6 2 c 一口 则 有 图 c o s S A B C c o s S B C A 一 c o s S C A B 一 篆薯 证明 在平面AB C中 过 A作AE B C 并使 A E B C 连 结 B E C E 设 C E与AB交与O点 连结 S O S E 由余弦 定 理有 SC 一 OC S O 一 2 0C SD C O S S OC S E0一O E0 S O0 2 0 E S O c o s 丌一 S OC 以上两 式相 加 并 将 O E 一 07 代人 得 S C S E 一 2 0C 2 S 0 1 同理可 得 S A S B 2 0 A 2 S 0 2 C A A E 2 OC 2 0 A 3 1 2 3 得 S C S E 一 S A 一 S B 一 C A 一 AE 一 40A 一 一 AB 即 S A AE 一 S E AB S C 一 S B 一 C A 4 因为 0 S A B C 鲁 且 A E B C 所 以 S AE S A B C 或 S AE 一 丌 一 S A B C 由余弦定理有 C O S S A B C 一 f c o s L S A E I l I 5 将 4 代人 5 得 C O S S A B C 即是 C O S S A B C AE B C AB J S C 一 SB 一 CA 一 S B CA 一 s C 一 一 剥 一 维普资讯 同理 可证 C O S S B C A 一 C O S S C AB 一 CS 上 AB 一 S A 一 BC 一 S A 上 BC 一 S B 一 C A 一 所 以结 论成 立 3 运用 类 比思想 实现数 学 思想 的超 越 类 比不 仅 是 一 种 从 特 殊 到 特 殊 的推 理 方 法 也 是一 种 寻求 解 题 思 路 猜 测 问题 答 案 或 结 论 的 发现 方法 它 与 从 特 殊 到 一 般 的归 纳 法 和 从 一 般 到特殊的演绎法相 比 类 比法跳过 了其 中的过渡 中介 途径 选 择 了一 条路 更 为 简捷 的推 理思 路 它 在数学知识 的延伸过程中 常借助于 比较 联想用 作启发诱导 以寻求思维 的变异和发展 实现数学 思想的超越 原苏联著名学者 巴托罗夫说 我们 可以断言 在现代科学认识获得的全部知识中 用 类 比方法得到的知识所 占的比重 日益增大 结论 5 在直角三角形中 两个锐角 的余 弦的 平方 和为 1 类 比结 论 5 如 图 5 在 直 四 面 体P AB C 中 P A PlB PC 两 两 互 相 垂 直 设 侧棱 P A P B P C与 底 面 AB C 所 成 的 角 为 a y 贝 0 s i n 口 s i n s i n 0 y 1 证 明 设 P 在 底 面 P 图 5 C ABC上 的射 影 为 0 连结 09 并延 长交 AB 于 D 则 P C O y 因为 S i n y一 P O 同理 s 一 P0 n P B 设 四面体的体积为 V 则 v 一 PA PB PC b 同时 V 一 s 舢c P o 而 由类 比结 论 l 有 s A B c s A B P s 比P s c A P p A P B P B P C 丢 P C P A 所 以 P O0一 教学 参考 PA PB PC P A P B 2 P B P C 2 P C P A 2 所 以 s i n 口 s i n 卢 s i n y一 器 器 2 1 特 别地 当 S A P B S B P c S A C P 时 有 s i n a s i n t 9一 s i n g 所 以结论 成立 4 运 用类 比思 想 解 决 相关 的数 学 问题 康德说过 每 当理智缺乏可靠理论 思路 时 类比这种方法往往能指引我们前进 因此 学会 了类 比这个重要 的思想 方法 不仅 能帮助我们理 解和掌握新知识 而且还能提高解题能力 促进创 新思维的培养 我们看几个运用类 比法 巧解实际 问题 的应 用 例 1 已知 A B C D 是在 同 一球 面 上 的 四 点 且每两点间距离都等于 2 则球心到平面 B C D 的距离 为 A 譬 B 譬 c D 髻 分析 如 图 7 若 此题 直 接计算 则 作 AH 上 平 面 B C D 于 H 由对 称 性 知 四 在体 A BC D外接球球心 即 外 心 0在 AH 上 且 O B O A R 半 径 OB 0 H B H 求 出 0 H 即 为 O 到平 面 B C D 的 距 离 C 图 7 这样解一道选择题过程冗长 可谓小题大做 其实 由平面几何知识知 边长为 n的正三角 形高 h一 中心 O到边的距离 r 由类 比 厶 0 结 论 6 知 在 正 四面体 中 中心 外 心 到底 面 的距 L 离 r 一 孚 利用这一结论 我们可以很快知道该题 士 正 确答 案 为 B 选 项 在各种 逻 辑 推 理 方 法 中 类 比思 想 方 法 是 富 于 创造性 的一种 方法 这 是 因 为 它 跨 越 各 个 种 类 进行的同类事物 的类 比 可 以比较本质的特征 也 可以 比较非本质 特征 具有 较强的探索和预测作 用 总 第 J 期 剽 一 维普资讯 总 第 J 期 0 0 定 月 上 半 月 教学参 考 领悟一道课本例题 解决一类概率闻题 云南省 玉溪第一中学 6 5 3 1 0 0 武增明 人教 2 0 0 3年版高中数学第三册 选修 1 1 第 l 1 页有 这样 一 道例 题 有一 批 数量 很 大的产 品 其 次 品率是 1 5 对 这批 产 品进行 抽 查 每 次抽 出 1 件 如果抽 出次 品 则 抽 查终 止 否 则 继续 抽查 直 到抽 出次品 但抽查次数最多不超过 1 O次 求抽 查次数 车 的期望 结果保 留三个有效数字 课本 中解 答 抽查 次 数 车 取 1 1 O 的 整数 从这 批 数量很 大 的产品中每次抽取一件检查 的试验可以认为是 彼 此独立的 取 出次品的概率是 0 1 5 取 出正品的概 率是 0 8 5 前 k 一1 次取出正品而第 k 次 是 一 1 2 9 取 出 次品 的概 率 P 车 是 一 0 8 5 一 0 1 5 是 1 2 9 需要抽查 1 O 次即前 9 次取 出的都是正品的概 率 P 车 1 0 一 0 8 5 由此 可得 的概率 分 布如 下 l 2 3 4 5 P 0 1 5 O 1 27 5 0 1 0 84 O O 92 0 0 78 3 6 7 8 9 1 O P 0 066 6 O O 56 6 0 04 81 0 0 4 09 O 2 31 6 根 据 以上 的概率 分布 可 得 车 的期 望 一 1 0 1 5 2 0 1 27 5 1 0 0 231 6 5 3 5 上课时 笔者先向同学提出以下几点问题 1 题 目条 件 中 没 有 说 是 有 放 回 地 抽 查 还是 无放 回 地抽查 例题 课本例题 的简称 以 下 同 的解 答是 否有 问题 2 前 k 一 1次抽 到次 品 第 k次 抽 到正 品 随 机 变量 车 服从 几何 分布 例 题解 答 的 分布 列是 否有 问题 3 在例题解答中 有 需要抽查 1 0次即前 9 次取出的都是正品的概率 P 车一 1 0 一 0 8 5 为 什么 不考 虑第 1 O次 的抽查 结 果 待 同学 积 极 思考 热烈 讨 论 大 约 1 O分 钟 后 笔者作如下讲解 1 题 目中有 条 件 有 一批 数 量 很 大 的 产 品 说明有限的少许几次抽查 是 否放 回对每次 取到正品或次品的概率可以认为没有影响 因此 无 需说 明 是否 放 回 2 课本 第 7页写 道 随 机变 量 车 服 从几 何 分 布的条件 k 表示第 k次独立重复试验时事 件 第 一次发 生 强 调 的是 前 k一 1次独立重 复试验时 事件没有发 生 第 k次独 立重 复试 验 时事 件第 一 次发 生 这样 的 独 立 重 复 试 验 可 能 无 限 次 地 进 行 下 去 而例题 中的随 机变 量 k 是 指抽 查 k 次 并不是 事件在第 k次独立重 复试验时第一