理论力学课件 力系简化理论.pdf

2012 3 1 第二章第二章 力力力力 系系系系 简简简简 化化化化 理理理理 论论论论 2012 3 1 2 2 1 力的平移定理1 力的平移定理 A B F M A B F d a b c A B F F F 将作用在刚体上一点A点的力F向刚体上任意点B平移而不改变对刚体 的作用 必须同时附加一力偶 其力偶矩等于原来的力对新作用点B 之矩 即 Fr BAB FMM 附加力偶矩 反之同样成立 只要MF R F M d 2012 3 1 2 2 2 主矢和主矩2 主矢和主矩 力系向一点的简化力系向一点的简化 Riixiyix FFF iF jF k 称为该力系对O点的主矩主矩 oxyz MMF iMF jMF k 称为该力系的主矢主矢 式中 分别表示各力对x y z轴的矩 xyz MFMFMF 空间任意力系的n个力的矢量和 1 力系的主矢 主矩力系的主矢 主矩 取任意点O n个力对O点之矩的矢量和 2012 3 1 其中 各 各 ii FF ioi MM F 该汇交力系与力偶系与原任意力系等效 2 力系向一点的简化 力系向一点的简化 通过力的平移定理 将n个力的同时向任意点O 平移 得到一个汇 交力系 汇交点O 与一力偶系 2012 3 1 汇交力系的合力 力系的主矢主矢 力偶系的合力偶矩 力系对O点的主矩主矩 一般力系向任意简化中心简化 可得到一个力和一个力偶 这个力通过简化中心 其力矢等于该力系的主矢 这个力 偶的力偶矩矢等于该力系对简化中心的主矩 力系简化定理 力系简化定理 O点 简化中心 主矩 主矢 主矩 主矢 2012 3 1 主矢主矢与简化中心的选择无关 不随简化中 心的改变而变化 主矩主矩则随简化中心的改变而改变 主矢主矢与主矩主矩的点积不随简化中心而改变 constant OR MF 主矢 主矩与简化中心的关系 主矢 主矩与简化中心的关系 2012 3 1 有效推进力 使飞机向前飞行 有效升力 使飞机上升 侧向力 使飞机侧移 滚转力矩 使飞机绕x轴滚转 偏航力矩 使飞机转弯 俯仰力矩 使飞机仰头 Rx F Ry F Rz F Ox M Oy M Oz M 飞机的力系向质心简化 2012 3 1 如图所示的由 和F1和F2组成的力系 试将 此力系向O点简化 求主矢 主矩求主矢 主矩例题例题 2 1 kFiFF 2 2 2 2 1 kFiFF 2 2 2 2 1 FFF 21 aODOA aOCOB2 FFF FFF FFF izRz iyRy ixRx 2 2 2 2 2 2 2 2 kjiFFR 简化后的主矢为 1 主矢在坐标轴上的投影为 解 解 选取O为简化中心 分别计算主矢和主矩 kFjFF 2 2 2 2 2 2012 3 1 2 主矩在坐标轴上的投影为 0 2 2 2 2 22 2 2 izOz iyOy ixOx FMM FaaFFMM FaaFFMM 简化后的主矩为 2 2 2 jiFakMjMiMM zyxo 2012 3 1 解 解 为了计算方便 首先将各力表示成矢量的形式 如图所示的有三个力组成的力系 F1 50N F2 100N F3 200N 图中的 长度单位为m 试将该力系向O点简化 iF 50 1 ki kiF 4 897 44 100456100453 2 kji F 6 1534 1028 76 200616200614200613 3 kji N2 646 1534 89 N4 102 N1 828 767 4450 izRz iyRy ixRx FF FF FF N1 146 222 RzRyRxR FFFF 主矢的投影 主矢大小 2012 3 1 mN8 1787 444 mN6 1928 7664 893 mN8 2564 10264 894 izz iyy ixx FMM FMM FMM mN5 367 222 zyx MMMM 6988 0cos M M x 5241 0cos M M y 4865 0cos M M z 主矩的方向余弦 主矩的大小 主矩的投影 2012 3 1 已知如图所示的力 作用在边长为1m 的立方体上 并可构成三个力偶 试求合力偶的大小和方向 NFFFFFF200 654321 力系的主矢为零 主矩的投影 mN2001200 mN21001 2 2 20012001200 mN 22 1001 2 2 2001200 izz iyy ixx FMM FMM FMM m86N 251 222 zyx MMMM 5616 0cos M M y 7943 0cos M M z 2326 0cos M M x 主矩的大小 主矩的方向余弦 2012 3 1 当最后结果为一个过简化中心过简化中心的合力 1 合力的情况1 合力的情况 O R M d F 最后结果为一合力 合力作用线距简化中心为 O R M d F 0 0 RORO FMFM 当时 0 0 RO FM 2 2 3 力系的简化结果3 力系的简化结果 力系简化的最终结果力系简化的最终结果 2012 3 1 2 合力偶的情况 2 合力偶的情况 当时 最后结果为一个合力偶 此时与简 化中心无关 0 0 RO FM 3 3 当时 结果为力螺旋力螺旋 0 0 ROR FMF O M 力螺旋中心轴过简化中心 4 力系平衡的情况 4 力系平衡的情况 当时 空间力系为平衡力系平衡力系 0 0 RO FM 2012 3 1 当主矢 和主矩平行时 此时力系简化为力螺旋力螺旋 力螺旋力螺旋不能再进一步简化 力螺旋力螺旋 R F O M 力的作用线称为该力螺旋的中心轴中心轴 R F O M OO 力螺旋三个要素 力矢 力偶矩矢和中心轴位矢 当力矢和力偶矩矢的指向相同时为右螺旋右螺旋 反之为左螺旋 左螺旋 如用改锥旋进木螺钉时 就是右力螺 M F 2012 3 1 当成角且既不平行也不垂直时 0 0 RORO FMF M RO F M 力螺旋中心轴距简化中心为 sin O R M d F 2012 3 1 力系简化结果分析力系简化结果分析 2012 3 1 例例2 5 可在平面内任意选取一个点作简化中心 进行分析 这里选择图中 的A点为简化中心 060con60con FFFFF xRx 060sin60sin0 FFFF xRy FaaFFMM AA 3260sin 2 主矩大小的计算 简化的最终结果是一平面力偶 大小为Fa 图示物体平面A B C三点构成一个边长为2a的等边三角形 三点分别作用F力 试简化该力系 取简化中心A 3 解 解 1 主矢的计算 2012 3 1 例题2 6 重力坝 重力坝受力如图 a 所示 设 求主动力系的合力 1 先将力系向O点简化 求主矢 FR 和主矩MO 解 解 先求主矢FR 在x y 轴上的投影 kN 式中 主矢的大小 x y 9 232con 21 FFFF xRx kN 1 670sin 221 FPPFF yRy 7 16arctg CB AB kN4 709 22 yxRx FFF 2012 3 1 x y 主矢与x 轴的夹角为70 84 力系的主矩 顺时针 2 求合力 求合力 其作用线位置 合力FR的大小和方向与主矢FR 相同 4kN 709 RR FF m32 3 4 709 2355 R O F M d 或 Rx Ry F F tg 70 84 kNm23559 35 13 211 PPFFMM OO m514 3 Ry O F M x 2012 3 1 例题例题 2 6 首先 将各力表示成矢量的形式 2 2 1 jiFF 2 2 2 jiFF 2 2 3 kjFF 2 2 4 kjFF 解 解 2kjFFF iR 将力系向O点简化 主矢为 2 2 2 2 2 2 2 0 kjFa kjFaiFakjiFaFMM iOO 主矩为 在边长为a的正方形顶点O F C和E处分别作用有大小都等于F 的力 方向如图所示 求此力系的最终简化结果 2012 3 1 0 OR MF 因为 OR MF 力系最终可以简化为一个合力 所以 0 RO FrM kzj yi xr 设合力作用线上任一点的矢径为 则由 0 2 2 kxj xizyFkjFa ax zy 力系得最终简化结果为一合力 2kiFFR kyj yi ar 合力的作用线方程为 解得 2012 3 1 课后作业1 作业题作业题 2 2 2 3 2 4 2012 3 1 建立如图坐标系 z 轴与力系平行 设中 心坐标为C xC yC zC 1 平行力系的简化1 平行力系的简化 对y轴用合力矩定理 有 对x轴用合力矩定理 有 2 2 4 平行力系的简化4 平行力系的简化 重心 质心和形心重心 质心和形心 iinnCR xFxFxFxFxF 2211 R ii C F yF y 平行力系合力的通过点称为平行力系的中心平行力系的中心 iRzR FFF平行力系的主矢主矢 iinnCR yFyFyFyFyF 2211 R ii C F xF x xi yi zi 2012 3 1 R ii C F zF z 可见 平行力系的中心只与各力的大小及 作用点有关 而与平行力系的方向无关 可见 平行力系的中心只与各力的大小及 作用点有关 而与平行力系的方向无关 将力系按顺时针旋转90 与y轴平行 再 对x轴用合力矩定理 可得 2012 3 1 2 物体的重心 质心及几何体形心位置物体的重心 质心及几何体形心位置 同理 计算重心坐标重心坐标的公式为 ii C Pz z P ii C Px x P ii C Py y P 显然 均质物体的重心就是几何形心 形心 ii C Ax x A ii C Ay y A i i C Az z A 重力是典型的平行力系 ii C Vx x P ii C V y y P i i C Vz z P 均质板状物体的形心形心 2012 3 1 例题例题 2 7 设某结构受到线形的三角形分布力的作用 如图所示 梁长为l 载荷 集度 单位长度上的力 的最大值为q0 N m 求该三角形分布力的合 力大小和作用位置 1 先求合力大小 如图 以A端为原点建立坐标 解 解 0 q l xl xq xdq l xl xdxqFd 0 2 dd 0 0 0 0 lq xq l xl xxqF ll R 6 2 0 0 0 00 lq xdq l xl xxdxqxFdxxF lll CR 3 l xC 载荷集度函数的一般表达式为 合力的大小 根据合力矩定理 合力的作用位置 2012 3 1 常见分布载荷计算常见分布载荷计算 分布载荷的强度常用单位长度 面积 体积 上载荷总量表示 称为载荷集度载荷集度q 2012 3 1 求形心求形心