拷问高考压轴题的教学——以安徽近三年试题为例.pdf

2 0 1 0 年第 6 期 数 学教学 6 3 9 拷问高考压轴题的教学 一 以安徽近 三 年试题 为例 2 4 1 0 0 1安徽师范大学附属中学 马 林 笔者作为高考数学阅卷指导组成员 有幸了 解考生对高考压轴题的解答情况 部分考生对常 规问题的解答可谓潇洒自如 让人赏识有嘉 可 一 旦应对压轴题尤其是后两问 则判若两人 或 干脆到此 戛然而止 或浮游于问题之外 认识 不清问题的本质 抓不住解决问题的关键 局促 应对 很少见到思路清晰 简洁明了 彰显考生 功力和灵性的完整解答 至于新颖别致 颇具创 意的方法更是凤毛麟角 为何考生们过不了压轴题这道 坎 呢 难 道仅仅归并为压轴题肩负着 区分 考生水平的 重任 既考知识 更考能力 难度上去了 自然多 不作为吗 在与不少阅卷教师及部分考取名校的考生 的交流中 我有所警醒 这实则与我们长期以往 对学生就压轴题的解答进行过多 善意 的劝导 和 为得分而得分 的指导颇有关联 1 过多灌输所谓 大胆舍弃 的 效能 策略 压轴题就是有难度 做不出来 做不完整 是正常的 做出来倒是不正常的 通读一遍没 有感觉就迅速丢弃 腾出时间去攻克前面的中低 档题未必不是明智之举 因为从效益最大化的 角度来看 一道压轴题也就相当于两道客观题的 分值 当考生一旦遇到 一反常态 的压轴题时 多不能静下心来探个究竟 纷纷选择 丢弃 策略 由此带来的恶果是认知的肤浅 思考的僵化和信 念的丧失 例 1 2 0 0 7 年安徽省高考理科第2 0 题 在 医学生物学试验中 经常以果蝇作为试验对象 一 个关有6 只果蝇的笼子里 不慎混入了两只苍 蝇 此时笼内共有8 只蝇子 6 只果蝇和2 只苍蝇 只好把笼子打开一个小孔 让蝇子一只一只地往 外飞 直到两只苍蝇都飞出 再关闭小孔 以 表 示笼内还剩下的果蝇的只数 1 写出 的分布列 不要求写出计算过程 2 求数学期望E 3 求概率P E 据考生考后回忆说 当时看到这题时就感到 纳闷 怎么与原先高考试卷和模拟卷的套路都 对不上 概率统计考题历来都是在解答题二 三 大题的位置 属于中低档题 老师平时也就引领 我们进行一般 强度 的训练 今年怎么放到倒数 第二题的位置 再一读题 目 什么 医学生物学 试验 果蝇 苍蝇 等 脑子就 嗡嗡 作响 心理防线破了 不免在此辍笔 其实 可将本题 转化成如下问题 袋中有 6 个白球和2 个黑球 从袋中随机不 放回地一个一个取球 直到两个黑球被取出为 止 以 表示袋中剩下的白球个数 1 写出 的分布列 不要求写出计算过程 2 求数学期望E 3 求概率P E 面对这一 显山露水 的老问题 还有谁不能 处理呢 可见 对待高考压轴题 教师要教给学生 的不应是 放弃 而应主动出击 纵然是难关也 应想方设法去攻克 至少也应是再坚持一下的努 力 其实 在我们求解过程中感到 山穷水尽 之 时 兴许马上就会 柳暗花明 因为试题是命题 专家在我们考生的 最近发展区 上命制的 例 如 考生对下面这道高考题中的第 3 小题少有 问津 能做到底的更是屈指可数 难道真的无法 驾驭吗 例2 2 0 0 8 年安徽省高考文科第2 l 题 设 数列 0 几 满足a l a a n i c a n l C n N 其中a c 为实数 且c 0 1 求数列 n n 的通项公式 2 设0 吉 c 寺 b n 1 一a n n 6 N 求数列 6 n 的前n 项的和 6 4 0 数学教 学 2 0 1 0 年第 6 期 3 若0 a 1 对任意n E N 成立 证明 0 C 1 对于第 3 问中 C 1 在阅卷中发现有同 学并没有按命题者及指导组的求解思路来处理 而是这样思考的 由 1 知 a a一1 c 一 1 由0 a 1 对任意礼E N 恒成立 则0 a 一1 C 1 1 1 故0 1 一a c n 1 又 a l a 0 a l a 1 由 1 一n c 一 1 得C n 一 一 i 一 至此 犯难了 当c 1 士对任意n N 成立时 未必有 c 一 1 女 当0 0 5 时 c 一 1 则函数f n C 一 递增 当n 趋于无穷大时 C 也趋于无穷大 故c 一 1 由c n l 1 1 得l o g c c l o g 一 i U 即n一1 1 o g n N 恒成立 而a C 为常数 对任意n N 扎一1b 0 过点M 2 1 U 且左焦点为 一 2 0 1 求椭圆C 的方程 2 当过点P 4 1 的动直线2 与椭网 栩交 于两不同点 JE 时 在线段A B上取点Q 满足 l 1 I I I 1 1 证 明 点 Q 总 在 某 定直线上 命题者意在通过本题 主要考查直线 椭圆 的方程及其几何性质 线段的定比分点公式等 基础知识 基本方法和分析问题 解决问题的 能力 从阅卷情况来看 第 1 小题答卷情况尚好 第 2 小题普遍感到棘手 考生答题受阻的主要 原因在于不善于把条件P JE Q四点共线 与 等 式 关 系 l I 1 l A Q 1 I赢l进 行 等 价转化 多数借助惯用的 采点 得分术 第 2 小 题约得3 分左右完成 既定的目标 便草草收兵 其实 从命题组借助线段定比分点公式给出 的两种解法来看 应该说还是 比较传统的 优秀 生们是完全可以从容完整解答的 这里我们再 从如下几个不同视角来探寻 思路一 投影思想 记点Q JE 的坐标 分别为 X l Y 1 X 2 2 设直线f 方程 为 Y一1 一4 2 2 代入椭圆方程 1 并整理得 1 q 2 4 k 1 4 k x 2 1 4 k 4 0 6 4 2 数学教学 2 0 1 0 年第6 期 则 卅一 X l X 2 T 又 得 矧 别 则 堕 二 兰 故 4 一 Z口 8 x一 z l x 2 4 2 x l x 2 0 代入 并整理得 七 z一4 1 2 x 由 t 2 x Y一2 0 故点Q Y 总在定直线2 Y一2 0 k 思路二 参数方程思想 设直线f 方程为 1 l t s in a 其 中 为 参 数 为 倾 斜 角 代 入 椭 圆 方 程 譬 y 2 1 得 1 s i n t 4 2 c o s s i n a t 1 4 0 t l t 2 4 2 c o s a s i n a 1 t 2 1 s i n 一 2 a 由 l I l l I I l赢Ij t 7 4一 7C O S C 一 2 x y 9一 故点Q x Y 总在定直线2 Y 一2 0 上 r X 2 思 路 手 伸 缩 变 换 思 想 设 1 则 在新直角坐标系 D 下 椭圆 1 变 口 J 形为单位圆 Y 1 P Q 点 对 应 的 坐 标 分 别 为 P f 2 1 厶 Q B点对应 点 故有 l l l I 1 I I 又以DP 为直径的圆的方程 为 9 o 一 并整理得 过点 P 作o 的切线的 两切点C D的切点弦所在直线方程为 4 一 2 0 下面证明线段C D上任一点 满足条件 记l P A l a lA Q 1 b I Q B I C lc Q I m fQ Dl 礼 lP CI l P DI t ZP Q C 则7 n n b c 又t 2 m0 a 6 2 m a b C O S t 2 n a 6 2 n a b C O S c o s 嚣i 则t 2 a 6 mn a a b c a 6 6 c 则a c b a b C 即 l I l J f 1 I I 反 之 若Q 点 不 在C D 上 因l P A l IP JE I l I l I I l I l 不变 f B Q f f Q A l 一个增大而另一个则减小 则 I I 1 l I I I l不 成 立 又 2 x Y 2 则在原坐标系下 方 程 对应的方程为线性方程 2 Y一2 0 故点Q在定直线2 Y一 2 0 上 上述求解问题的方法均出自 几位 准 高三学 生之手 贴切地说 是他们和我暑假里在一起 玩 味 出来的 在 闲谈 之中 也还有人提出 由 A 0 得两切点Ql Q 2 坐标 再验证直线 Q1 Q2 即为所求定直线 则更方便 的求解思路 欣赏之余 我突发奇想 十个月后的考场上 他们 还能如此潇洒地 放开思绪 吗 高考是选拔人才 发现人才的重要的选拔 形式 高考也是最能暴露学生学习上