湖南省株洲市高考数学一模试卷 文（含解析）.doc

湖南省株洲市2015届高考数学一模试卷（文科） 一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的答案要写在答题卷上1（5分）已知集合a=0，1，3，b=x|y=ln（x1），则ab=（）a0，1，3b1，3c3d2（5分）命题“xr，x2+x2”的否定是（）ax0r，x2+x2bx0r，x2+x2cxr，x2+x2dxr，x2+x23（5分）设数列an是等比数列，函数y=x2x2的两个零点是a2，a3，则a1a4=（）a2b1c1d24（5分）程序框图如图所示，若输入a的值是虚数单位i，则输出的结果是（）a1bi1c0di5（5分）已知条件，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充分必要条件d既非充分也非必要条件6（5分）下列函数中与函数y=3|x|奇偶性相同且在（，0）上单调性也相同的是（）ay=by=log2|x|cy=1x2dy=x317（5分）如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=2，aa1=1，则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为（）abcd8（5分）已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（）abcd9（5分）已知双曲线=1的一条渐近线的倾斜角的余弦值为，双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为，则该双曲线的离心率等于（）abcd10（5分）在abc中，若角a，b，c所对的三边a，b，c成等差数列，给出下列结论：b2ac；其中正确的结论是（）abcd二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卷上11（5分）直角坐标系xoy中，点a，b分别在曲线c1：（为参数）上，则|ab|的最大值为12（5分）向量，且，则=13（5分）记集合a=（x，y）|x2+y24和集合b=（x，y）|x+y20，x0，y0表示的平面区域分别为1和2，若在区域1内任取一点m（x，y），则点m落在区域2的概率为14（5分）如图，在第一象限内，矩形abcd的三个顶点a，b，c分别在函数，的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若a点的纵坐标是2，则d点的坐标是15（5分）在边长为2的菱形abcd中，abc=，对角线ac与bd相交于o，点p是线段bd的一个三等分点，则等于三解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）海关对同时从a，b，c三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测地区abc数量50150100（）求这6件样品来自a，b，c各地区商品的数量；（）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率17（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx2cos2x+1（）当x时，求函数f（x）的最大值；（）若f（）=（），求cos2的值18（12分）如图所示的多面体a1add1bcc1中，底面abcd为正方形，aa1dd1cc1，2ab=2aa1=cc1=dd1=4，且aa1底面abcd（）求证：a1b平面cdd1c1；（）求多面体a1add1bcc1的体积v19（13分）已知数列an是正数等差数列，其中a1=1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列bn的前n项和为sn，满足2sn+bn=1（）求数列an、bn的通项公式；（）如果cn=anbn，设数列cn的前n项和为tn，是否存在正整数n，使得tnsn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由20（13分）如图，点f1（c，0）、f2（c，0）分别是椭圆c：的左、右焦点，过点f1作x轴的垂线，交椭圆c的上半部分于点p，过点f2作pf2的垂线交直线于点q（1）如果点q的坐标为（4，4），求椭圆c的方程；（2）试判断直线pq与椭圆c的公共点个数，并证明你的结论21（13分）已知函数f（x）=alnxax3（ar）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：湖南省株洲市2015届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的答案要写在答题卷上1（5分）已知集合a=0，1，3，b=x|y=ln（x1），则ab=（）a0，1，3b1，3c3d考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出b中x的范围确定出b，找出a与b的交集即可解答：解：由b中y=ln（x1），得到x10，即x1，b=（1，+），a=0，1，3，ab=3，故选：c点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）命题“xr，x2+x2”的否定是（）ax0r，x2+x2bx0r，x2+x2cxr，x2+x2dxr，x2+x2考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“xr，x2+x2”的否定是：x0r，x2+x2故选：b点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查3（5分）设数列an是等比数列，函数y=x2x2的两个零点是a2，a3，则a1a4=（）a2b1c1d2考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由韦达定理和等比数列的性质可得a1a4=a2a3=2解答：解：函数y=x2x2的两个零点是a2，a3，a2a3=2又数列an是等比数列，a1a4=a2a3=2故选：d点评：本题考查等比数列的性质和韦达定理，属基础题4（5分）程序框图如图所示，若输入a的值是虚数单位i，则输出的结果是（）a1bi1c0di考点：循环结构 专题：规律型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算变量s=i1+i2+i2011的值，利用虚数单位幂的周期性，我们易得到结果解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算变量s=i1+i2+i2011的值，s=i1+i2+i2011=i1+i2+i3=1故选a点评：本题考查的知识点是循环结果，其中根据程序框图分析出程序的功能是解答本题的关键5（5分）已知条件，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充分必要条件d既非充分也非必要条件考点：直线与圆的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断 分析：直线与圆相切，求出k的值，再判断pq的充要条件关系解答：解：由q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，1+k2=4，k=，显然pq；q得不出p故选a点评：本题考查直线与圆的位置关系，充要条件的判断，是基础题6（5分）下列函数中与函数y=3|x|奇偶性相同且在（，0）上单调性也相同的是（）ay=by=log2|x|cy=1x2dy=x31考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用分析：先判定函数y=3|x|的奇偶性以及在（，0）上的单调性，再对选项a、b、c、d中的函数逐一判定，找出复合条件的函数解答：解：函数y=3|x|是偶函数，且在（，0）上是减函数，对于a，y=是奇函数，不满足条件；对于b，y=log2|x|是偶函数，在（，0）上是增函数，不满足条件；对于c，y=1x2是偶函数，且在（，0）上是减函数，满足条件；对于d，y=x31是非奇非偶的函数，不满足条件故选：c点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性问题，解题时应对每一个选项中的函数进行判定，从而得出正确的结论，是基础题7（5分）如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=2，aa1=1，则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为（）abcd考点：直线与平面所成的角 专题：计算题分析：由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角解答：解：以d点为坐标原点，以da、dc、dd1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则a（2，0，0），b（2，2，0），c（0，2，0），c1（0，2，1）=（2，0，1），=（2，2，0），且为平面bb1d1d的一个法向量cos，=bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为故答案为d点评：此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题8（5分）已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（）abcd考点：空间几何体的直观图 分析：利用俯视图与正视图，由三视图的画法可判断三棱锥的侧视图解答：解：由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2故其侧视图为直角边长为2和的直角三角形，故选b点评：本题主要考查空间几何体的直观图，以及学生的空间想象能力，是个基础题9（5分）已知双曲线=1的一条渐近线的倾斜角的余弦值为，双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为，则该双曲线的离心率等于（）abcd考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线渐近线的倾斜角之间的关系求出a，b的关系，结合条件求出a，b，c即可解答：解：双曲线=1的一条渐近线为y=，一条渐近线的倾斜角的余弦值为，不妨设cos=，sin=，则tan=，即tan=，即a=3b双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为，双曲线过点（c，），即，解得b=，a=3，c=，则该双曲线的离心率等于=，故选：c点评：本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据条件建立a，b，c的关系是解决本题的关键10（5分）在abc中，若角a，b，c所对的三边a，b，c成等差数列，给出下列结论：b2ac；其中正确的结论是（）abcd考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由等差中项的性质和题意可得：2b=a+c，利用基本不等式判断、；利用作差法判断；利用余弦定理和不等式判断解答：解：因为a、b、c成等差数列，所以2b=a+c，对于，2b=a+c2，化简得b2ac，正确；对于，=0，则，错误；对于，=，错误；对于，由余弦定理得：b2=a2+c22accosb，则，化简得，cosb=，又b（0，），且余弦函数在此区间为减函数，则，正确，综上得，故选：d点评：本题考查等差中项的性质，余弦定理，作差法比较大小，以及基本不等式的综合应用，属于难题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卷上11（5分）直角坐标系xoy中，点a，b分别在曲线c1：（为参数）上，则|ab|的最大值为2考点：参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：利用sin2+cos2=1即可把参数方程化为直角坐标方程，即可得出解答：解：曲线c1：（为参数）化为（x3）2+（y4）2=1，因此|ab|的最大值为直径2，故答案为：2点评：本题考查了同角三角函数基本关系式、把参数方程化为直角坐标方程、圆的性质，考查了计算能力，属于基础题12（5分）向量，且，则=考点：平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：直接由向量共线的坐标表示列式求得sin，然后利用诱导公式求得解答：解：，且，即sin则=sin故答案为：点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别若=（a1，a2），=（b1，b2），则a1a2+b1b2=0，a1b2a2b1=0，是基础题13（5分）记集合a=（x，y）|x2+y24和集合b=（x，y）|x+y20，x0，y0表示的平面区域分别为1和2，若在区域1内任取一点m（x，y），则点m落在区域2的概率为考点：几何概型 专题：概率与统计分析：分别求出集合a，b对应区域的面积，根据几何概型的概率公式即可得到结论解答：解：区域1对应的面积s1=4，作出平面区域2，则2对应的平面区域如图为oab：则对应的面积s=2，则根据几何概型的概率公式可知若在区域1内任取一点m（x，y），则点m落在区域2的概率为，故答案是：点评：本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键14（5分）如图，在第一象限内，矩形abcd的三个顶点a，b，c分别在函数，的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若a点的纵坐标是2，则d点的坐标是（，）考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：先求出a、b、c的坐标，设出点d的坐标，再根据矩形abcd得出 =，利用向量坐标运算求出点d的坐标解答：解：由题意可得，a、b、c点坐标分别为（，2），（4，2），（4，），设 d（m，n），再由矩形的性质可得 =，故 （m，n2）=（0，2），m=0，n2=解得 m=，n=，故点d的坐标为（，），故答案为：（，）点评：本题主要考查幂、指、对函数的图象与性质以及基本运算能力，向量相等的条件，属于基础题15（5分）在边长为2的菱形abcd中，abc=，对角线ac与bd相交于o，点p是线段bd的一个三等分点，则等于2考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：运用向量的数乘运算和三角形法则，及向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到解答：解：=（）=（+）=（）（）=（2）（）=（2+3）=（24+4+322cos120）=（126）=2故答案为：2点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的三角形法则和向量的数乘运算，属于基础题三解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）海关对同时从a，b，c三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测地区abc数量50150100（）求这6件样品来自a，b，c各地区商品的数量；（）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：（）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自a，b，c各地区商品的数量；（）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案解答：解：（）a，b，c三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k=，故a地区抽取的商品的数量为：50=1；b地区抽取的商品的数量为：150=3；c地区抽取的商品的数量为：100=2；（）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件a，则这2件商品可能都来自b地区或c地区，则a中包含=4种不同的基本事件，故p（a）=，即这2件商品来自相同地区的概率为点评：本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题17（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx2cos2x+1（）当x时，求函数f（x）的最大值；（）若f（）=（），求cos2的值考点：三角函数中的恒等变换应用；二倍角的余弦 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）根据已知，化简得到f（x）=，然后，结合x，求解其最大值；（2）根据，得到，然后结合，得到，从而得到，从而得到该值解答：解：根据已知得= （）因为，所以，所以当时，f（x）max=2 （）由，知，因为，所以，因此，所以=点评：本题重点考查了三角恒等变换公式、二倍角公式等知识，属于中档题18（12分）如图所示的多面体a1add1bcc1中，底面abcd为正方形，aa1dd1cc1，2ab=2aa1=cc1=dd1=4，且aa1底面abcd（）求证：a1b平面cdd1c1；（）求多面体a1add1bcc1的体积v考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：（i）取dd1的中点m，连结a1m，cm，易证四边形aa1md为平行四边形，进而a1mad，a1m=ad，结合底面abcd为正方形，可得a1mbc，a1m=bc，即四边形a1bcm为平行四边形，故有a1bcm，结合线面平行的判定定理，可得a1b平面cdd1c1；（）由线面垂直的判定定理可得ab平面a1add1及bc平面cdd1c1，由v=+，代入棱锥体积公式可得答案解答：证明：（i）取dd1的中点m，连结a1m，cm由题意可得aa1=dm=2，aa1dm四边形aa1md为平行四边形即a1mad，a1m=ad又由底面abcd为正方形adbc，ad=bca1mbc，a1m=bc四边形a1bcm为平行四边形a1bcm又a1b平面cdd1c1，cm平面cdd1c1；a1b平面cdd1c1；（ii）连结bdaa1底面abcd，ab底面abcdaa1ab又adab，adaa1=aab平面a1add1，同理可证bc平面cdd1c1，v=+=（+422）=点评：本题主要考查空间线与线，线与面的位置关系，体积的计算等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力19（13分）已知数列an是正数等差数列，其中a1=1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列bn的前n项和为sn，满足2sn+bn=1（）求数列an、bn的通项公式；（）如果cn=anbn，设数列cn的前n项和为tn，是否存在正整数n，使得tnsn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由考点：数列的求和；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（）由已知得，求出d=1，从而得到an=n由2sn+bn=1，得，由此得到数列bn是首项为，公比为的等比数列，从而（2），由此利用错位相减法求出，由此得到所求的正整数n存在，其最小值是2解答：（本题满分13分）解：（）设数列an的公差为d，a1=1，且a2、a4、a6+2成等比数列，依条件有，即，解得（舍）或d=1，所以an=a1+（n1）d=1+（n1）=n（2分）由2sn+bn=1，得，当n=1时，2s1+b1=1，解得，当n2时，所以，所以数列bn是首项为，公比为的等比数列，故（5分）（2）由（1）知，所以得（9分）又所以，当n=1时，t1=s1，当n2时，所以tnsn，故所求的正整数n存在，其最小值是2（13分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的正整数是否存在的判断与其最小值的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用20（13分）如图，点f1（c，0）、f2（c，0）分别是椭圆c：的左、右焦点，过点f1作x轴的垂线，交椭圆c的上半部分于点p，过点f2作pf2的垂线交直线于点q（1）如果点q的坐标为（4，4），求椭圆c的方程；（2）试判断直线pq与椭圆c的公共点个数，并证明你的结论考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）先求得p点的坐标，根据pf2qf2，可得qf2的方程，将代入，结合点q的坐标为（4，4），即可求椭圆c的方程；（2）求出直线pq的方程，代入椭圆c的方程，求出方程的解，即可得出结论解答：解：（1）解方程组得p点的坐标为，pf2qf2，将代入上式解得y=2a，；q点的坐标为（4，4），a=2，c=1，b2=a2c2=3，；（2），p点的坐标为，即将pq的方程代入椭圆c的方程得，（b2+c2）x2+2a2cx+a4a2b2=0a2=b