辽宁省大石桥市水源二中九年级数学《探究类问题解析（一）》例题解析.doc

辽宁省大石桥市水源二中九年级数学探究类问题解析（一）例题解析一、（14分）如图所示，（1）正方形abcd及等腰rtaef有公共顶点a,eaf=90, 连接be、df.将rtaef绕点a旋转,在旋转过程中，be、df具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；(2)将（1）中的正方形abcd变为矩形abcd，等腰rtaef变为rtaef，且ad=kab,af=kae,其他条件不变.(1)中的结论有什么发生变化？结合图(2)直接写出结论；(3)将（2）中的矩形abcd变为平行四边形abcd，将rtaef变为aef，且bad=eaf=90，其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段be、df的数量关系，用表示出直线be、df形成的锐角.【解析】（1）证明：延长df分别交ab、be于点p、g.- -1分在正方形abcd和等腰直角aef中ad=ab,af=ae,bad=eaf =90fad=eabfadeab -2分fda=eba df=be -3分dpa=bpg, adp+dpa=90ebp+bpg=90 dgb=90dfbe -5分（2）df=kbe，dfbe-7分（3）改变. df=kbe，=180-.-9分证法（一）：延长df交eb的延长线于点had=kab,af=kae =k, =k =bad=eaf = fad=eab fadeab-11分=k df=kbe-12分由fadeab得afd=aeb afd+afh=180 aeb+afh=180四边形aehf的内角和为360，eaf+ehf=180eaf=,ehf=+=180=180-14分证法（二）：df=kbe的证法与证法（一）相同延长df分别交eb、ab的延长线于点h、g.由fadeab得adf=abeabe=gbhadf=gbh=bhf =gbh+g=adf+g.在adg中，bad+adf+g=180,bad=+=180=180-14分证法（三）：在平行四边形abcd中abcd可得到abc+c=180eba+abc+cbh=180c=eba+cbh在bhp、cdp中，由三角形内角和等于180可得c+cdp=cbh+bhpeba+cbh+cdp=cbh+bhpeba+cdp=bhp由fadeab得adp=eba adp+cdp=bhp即adc=bhpbad+adc=180,bad=,bhp=+=180 =180-14分（有不同解法，参照以上给分点，只要正确均得分.）二、已知：如图所示，直线与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线分别相交于点（1）如图1所示，当直线与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线与直线不垂直且交点都在的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；（3）当直线与直线不垂直且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系abedcmnlabedcmnlabcmnabcmn图1图2备用图备用图【解析】解：（1） 2分abedcmnl12563487（2）方法一图（2）成立 3分（方法一）：在上截取，连接 4分 abedcmnl125634hfg（2）方法二图 即 .6分 7分（方法二）：过点作直线，垂足为点，交于点作，垂足为点4分 由（1）得 5分 7分 （方法三）：延长，交于点4分 5分 6分 7分（3）不成立8分存在当点在射线上、点在射线的反向延长线上时（如图），10分当点在射线的反向延长线上，点在射线上时（如图），12分abedcmnl125634f7abedcmlabecmdln（2）方法三图（3）图（3）图三、已知，abc为等边三角形，点d为直线bc上一动点（点d不与b、c重合）以ad为边作菱形adef，使daf=60，连接cf如图1，当点d在边bc上时，求证：adb=afc；请直接判断结论afc=acbdac是否成立；如图2，当点d在边bc的延长线上时，其他条件不变，结论afc=acbdac是否成立？请写出afc、acb、dac之间存在的数量关系，并写出证明过程；如图3，当点d在边cb的延长线上时，且点a、f分别在直线bc的异侧，其他条件不变，请补全图aaabbbcccdddeffe图1图2图3形，并直接写出afc、acb、dac之间存在的等量关系abcdfe【解析】证明：abc为等边三角形，ab=ac，bac=60daf=60bac=daf bad=caf四边形adef是菱形，ad=afeabdacf adb=afc结论：afc=acbdac成立结论afc=acbdac不成立afc、，acb、dac之间的等量关系是：afc=acbdac（或这个等式的正确变式）abcdfe证明：abc为等边三角形 ab=ac bac=60bac=daf bad=caf四边形adef是菱形 ad=afabdacf adc=afcabcdfe又acb=adcdac， afc=acbdac补全图形如下图afc、acb、dac之间的等量关系是afc=2acbdac（或afcdacacb=180以及这两个等式的正确变式）四、如图1，在abc中，点p为bc边中点，直线a绕顶点a旋转，若b、p在直线a的异侧， bm直线a于点m，cn直线a于点n，连接pm、pn； (1) 延长mp交cn于点e(如图2)。j 求证：bpmcpe；k 求证：pm = pn； (2) 若直线a绕点a旋转到图3的位置时，点b、p在直线a的同侧，其它条件不变。此时， pm=pn还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3) 若直线a绕点a旋转到与bc边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形mbcn 的形状及此时pm=pn还成立吗？不必说明理由。aabcpmnabcmnapabcpnma图1图2图3【解析】(1) 证明 j 如图2，bm直线a于点m，cn直线a于点n， bmn=cnm=90，bm/cn，mbp=ecp， 又p为bc边中点，bp=cp，又bpm=cpe，bpmcpe， k bpmcpe，pm=pe，pm=me，在rtmne中，pn=me， pm=pn； (2) 成立，如图3， 证明 延长mp与nc的延长线相交于点e，bm直线a于点m，cn直线a于点n， bmn=cnm=90，bmn+cnm=180，bm/cn，mbp=ecp， 又p为bc中点，bp=cp，又bpm=cpe，bpmcpe，pm=pe， pm=me，则在rtmne中，pn=me，pm=pn。 (3) 四边形mbcn是矩形，pm=pn成立。五、如图， 已知等边三角形abc中，点d，e，f分别为边ab，ac，bc的中点，m为直线bc上一动点，dmn为等边三角形（点m的位置改变时， dmn也随之整体移动） （1）如图，当点m在点b左侧时，请你判断en与mf有怎样的数量关系？点f是否在直线ne上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图，当点m在bc上时，其它条件不变，（1）的结论中en与mf的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图证明；若不成立，请说明理由；（3）若点m在点c右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断（1）的结论中en与mf的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由 图图图abcdef【解析】（1）判断：en与mf相等 （或en=mf），点f在直线ne上， 3分（说明：答对一个给2分）（2）成立4分证明：法一：连结de，df 5分abc是等边三角形， ab=ac=bc又d，e，f是三边的中点， de，df，ef为三角形的中位线de=df=ef，fde=60又mdf+fdn=60， nde+fdn=60， mdf=nde 7分在dmf和dne中，df=de，dm=dn， mdf=nde，dmfdne 8分ncabfmdencabfmdemf=ne 9分法二：延长en，则en过点f 5分abc是等边三角形， ab=ac=bc又d，e，f是三边的中点， ef=df=bf bdm+mdf=60， fdn+mdf=60，bdm=fdn7分又dm=dn， abm=dfn=60，dbmdfn8分bm=fnbf=ef， mf=en9分法三：连结df，nf 5分abc是等边三角形， ac=bc=ac又d，e，f是三边的中点， df为三角形的中位线，df=ac=ab=