（应用数学专业论文）高频金融数据下二阶波动率阵的分析.pdf

高频金融数据下二阶波动率阵的分析 摘要 在金融领域 不确定的风险即资产收益过程波动是市场逐利的根源 资产 收益过程在市场环境中受种种因素影响客观上形成不确定的波动 无论处于逐 利还是资产保值人们总希望能够对即将到来的波动作出最为理想的预测 尤其 在当今凭借先进的计算机技术使高频金融数据越来越容易获得 人们希望使甩 对市场细节刻画的更为细腻的高频金融数据来对波动率做出更好的预测 l a nz h a n g 和m y l a n d 等给出了高频金融数据下单个资产连续定价过程中的 积分波动率估计的双时间尺度模型和多时间尺度模型 但市场收益过程常常出 现跳过程 处理可能的跳过程就很重要了 本文所做的工作就是市场微观结构 噪音方差的估计问题以及两个资产跳 扩散定价过程中的二阶波动率阵的估计 问题 首先 假设噪音序列在两种不同情形下 给出了市场结构噪音误差的估 计方法 并与常用的估计方法进行了比较 得出了它们的渐近性质 随后 在 对高频金融数据下单个资产连续价格和跳 扩散价格定价过程中已实现波动率 研究的基础上 对资产定价过程中出现的跳过程和市场微观结构噪音分别进行 考虑 得出了高频金融数据下两个资产跳 扩散定价过程中的二阶协变差阵和二 阶波动率阵的估计和其收敛速度 关键词 高频金融数据市场微观结构噪音跳协变差阵波动率阵收敛速度 t h e a n a l y s i so f s e c o n d o r d e rv o l a t i l i t ym a t r i xu n d e r h i g h f r e q u e n c yf i n a n c i a ld a t a a b s t r a c t i nf i n a n c ef i e l d u n c e r t a i nr i s k t h ev o l a t i l i t yo fa s s e t sr e t u r n sp r o c e s s i st h e o r i g i no fc h a s i n gb e n e f i t si nt h em a r k e t a s s e t sr e t u r n sp r o c e s sa f f e c t e db ym a n v t a c l o r si nm a r k e te n v i r o n m e n ti so b j e c t i v e l y f o r m i n g t h eu n c e r t a i nf l u c t u a t i o n w h a t e v e rf o rc h a s i n gb e n e f i t so ra s s e t sv a l u e k e e p i n gp u r p o s e p e o p l ea l w a y sh o p e b e i n ga b l et of o r e c a s tt h eb e s tr e s u l t st ot h eu p c o m i n gf l u c t u a t i o n r e l y i n go n a d v a n c e dc o m p u t e ra n dd a t as t o r i n gt e c h n o l o g yi ti sm o r ea n de a s i e rt o g a i nh i g h f r e q u e n c yf i n a n c ed a t a p e o p l eh o p e sm a k et h em u c hb e t t e rf o r e c a s t i n gt ov o l a t i l i t y b yt h eh i g hf r e q u e n c yf i n a n c ed a t at h a ti sd e p i c t e dm o r ee x q u i s i t et om a r k e td e t a i l s u n d e rt h ec o n t i n u o u sd i f f u s i o np r i c em o d e lo fs i g n a l a s s e t l a nz h a n g m y l a n de t ci n v e n t e dt w o t i m es c a l ea n dm u l t i p l e t i m es c a l e a sm a r k e tr e t u r n s f r e q u e n t l yc o n t a i nju m p s i ti si m p o r t a n tt oh a v em e t h o d st h a th a n d l ea u t o m a t i c a l l y t h ep o s s i b l ej u m p si nt h ef i n a n c i a lm a r k e t t h i sp a p e rp r o p o s es e v e r a lk i n d so ft h e e s t i m a t i o nm e t h o d so fm a r k e t 妇 1 i r c r o s t r u t u r en o i s ee r r o ru n d e rd i f f e r e n t a s s u m p t i o n sa n da l s op r o p o s et h ee s t i m a t i o no fr e a l i z e dv o l a t i l i t ym a t r i xu n d e r j u m p d i f f u s i o np r i c ep r o c e s s e so ft w oa s s e t s f i r s to fa 1 1 w ep r o p o s es e v e r a lk i n d s o ft h ee s t i m a t i o nm e t h o do fm a r k e tm i c r o s t r u c t u r en o i s ee r r o ru n d e rd i f f e r e n t a s s u m p t i o n sa n dd e e p l yt e s tb e t w e e nt h e ma n do l do n e s w ea l s od e r i v ei t s a s y m p t o t i cp r o p e r t i e s a n dl a t e r i nt h ev o l a t i l i t ys t u d yf i e l d t h ee f f e c to ft h e m a r k e tm i c r o s t r u c t u r en o i s ea n dj u m p so nt h eh i g hf r e q u e n c yf i n a n c ed a t ah a v e a p p e a r e d b a s e do ns i n g l ea s s e tj u m p d i f f u s i o no fp r i c i n gp r o c e s s e s h a n d l i n gd a t a w i t hju m p sa n dm i c r o s t r u c t u r en o i s es e p a r a t e l y w eo b t a i n e dt h ee s t i m a t i o n so f s e c o n d o r d e rj u m pe o v a r i a n c em a t r i xa n ds e c o n d o r d e rv o l a t i l i t ym a t r i xu n d e r j u m p d i f f u s i o np r i c ep r o c e s s e so ft w oa s s e t sa n dt h e mc o n v e r g e n c er a t e k e y w o r d s h i g hf r e q u e n c yd a t a m a r k e tm i c r o s t r u c t u r en o i s e j u m pc o v a r i a t i o nm a t r i x r e a l i z e dv o l a t i l i t ym a t r i x c o n v e r g e n c er a t e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 据我所 知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得 金匿王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使1 过均材料 与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 黜一躲缈仍 签字魄唧年仁月j 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆王些太堂有关保留 使用学位论文的规定 有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 允许论文被查阅和借阅 本人授权金g 曼王些盔堂可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印或扫描等复制手 段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权书 学位论文作者签名 砸扁 j 签字日期 o 穹年丫月 1 日 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 导师签名 咖够 签字眺少哆年7 月 日 电话 邮编 致谢 经过近三年时间的不断学习积累 在花费了大量时间和精力查阅资料 着 手撰写 几经修改之后本文终于定稿了 本文是我的硕士研究生学位论文 也 是我硕士期间学习成果的一次总结 本论文是在我的导师杜雪樵教授的悉心指导下完成的 杜老师严谨求实的 治学态度t 广博的学识 深厚的学术造诣 朴素的作风深深地感染了我 为我 树立了学习的榜样 使我终身受益 在论文的写作过程中 导师的悉心指导和 指正 使论文在研究内容 撰写方式上更加完备 真诚的感谢我的导师杜雪樵教授在我整个研究生阶段对我学业悉心的指导 以及对我生活上的关怀 感谢他的言传身教 还要特别感谢凌能祥教授 惠军 副教授对我的辛勤培养和教诲 此外 非常感谢我的同学对我的帮助和关怀 最后 感谢并祝福所有曾经帮助过我的人 何龙仿 2 0 0 9 年3 月 1 1 背景介绍 第一章综述 现代金融理论是随着金融市场的发展而不断成熟起来的 其显著的特征是 不断在金融经济中引入数理理论与方法 用它们来研究金融用它们来研究金融 风险防范与控制 资本市场的运营 资本资产的结构与定价 在金融市场的理 论研究和实践中 风险始终为人们所重视 由于金融市场的本质特征就是不确 定性 因此任何人都不可能做到 零风险 对于理性投资者来说 只有充分认 识所面临的风险 才有可能有效的避免损失 获得收益和维护金融资产的安全 风险通常指面临损失的可能性 而在金融计量经济学中 金融学家们对风险还 有一种更广泛的定义 他们认为不确定性就是一种风险 将风险定义为资产收 益波动率的不确定性1 4 6 j 上世纪5 0 年代以数量化为标志的现代金融理论正式形成 m a r k o w i t z 于 1 9 5 2 年建立了资产组合的风险模型 该模型假定投资者的预期效用函数是具有 均值和方差两变量的函数 从而在分析上具有可处理性 第一次把数理工具引 入金融研究 从而能够进行定量的检验和预测 随着金融创新的不断进行 金 融衍生产品的定价成为理论研究的重点 1 9 7 3 年 b l o c k 和s c h o l e s 陋 建立了期 权定价模型 该模型认为标的资产价格过程是概率空间上的肺过程 并以此关 系建立了随机微分方程 近二十年来 在金融经济学领域 对波动率的研究已经成为了热门 而随 着计算机技术和存储技术的快速发展 使得在高频金融数据下对资产价格波动 的研究成为当今及以后进行金融相关研究的主流 在低频金融数据领域 恩格 尔提出的条件异方差模型 即a r c h 模型 和随机波动模型 即s v 模型1 1 6 以及后来众多学者对上述两个模型进行改进和推广得到的新模型如g a r c h 1 1 l a r c h m 1 19 j 等a r c h 族模型和s v 族模型在波动率估计上曾有着很成功的表现 但 它们均不能直接应用于高频金融数据 并且这两类方法都需要进行复杂的参数 估计 对高频金融数据进行研究时这种弊端更为显现 1 9 9 8 年a n d e r s e n 和 b o l l e r s l e v 提出了针对高频金融数据的一种新的波动度量方法 已实现波动 率 r e a l i z e dv o l a t i l i t y 这种波动率的度量方法是无模型的 计算简便 理论背景深厚 随后 a n d e r s e n 和b o l l e r s l e v 等人对己实现波动率做出了理 论解释且利用高频金融数据来估计已实现波动率 并提出了积分波动率 i n t e g r a t e dv o l a t i l i t y 的概念 他们发现 利用此方法所计算的日波动率有 很多很好的统计特性 l 2 1 3 4 2 0 0 1 年b l a i r 等研究了已实现波动率的预测问题 2 1 j b a r n d o r f f n i e l s e n 和s h e p h a r d 就已实现波动率的经济解释及其在随机波 动模型中的应用做了研究 2 0 j l a nz h a n g 和m y l a n d 等给出了高频金融数据下单 个资产连续定价过程中的积分波动率估计的双时间尺度模型和多时间尺度模型 并给出了市场微观结构噪音的一个渐近估计1 3 引 但由于市场收益过程常常出现 跳过程 处理可能的跳过程就显的很重要了 很自然的做法就是对资产定价过 程中出现的跳部分和连续部分分别进行考虑 w a n g y 证明了用小波方法能有效 地发现跳过程l i 9 l j i n g q i n g f a n 和y a z h e n w a n g 对高频金融数据下单个资产跳一 扩散定价过程中的跳过程和波动率进行了分析l l 0 在接下来的一节我们将着重介绍与本文研究相关的一些金融概念 对这些 基本金融概念的了解有助于深入理解本文相关研究的意义 1 2 相关概念 1 2 1 高频金融数据 高频金融数据是相对于以往以年 月 周等为取样间隔的低频金融数据而 言 通常指以天 小时 分钟甚至以秒为频率所采集到的金融类数据 这些 数据往往是按时间先后顺序排列起来的金融数据序列 由于数据的获得和处理 方法的发展 这些高频数据目前是可以得到的 6 1 2 1 1 1 4 1 3 8 l 引 但这个概念是相对而言的 例如 对于宏观经济数据 可能一周采样一次 就可以称为高频数据了 而对于股票 可能要在一天内有多个数据才能称为高 频数据 当数据的采样频率达到极限 即每一笔交易及其相关情况都被完整的 记录下来 e n g l e 2 0 0 0 称之为 超高频数据 u l t r ah i g hf r e q u e n c yd a t a 通常也称为 交易数据 瞄j 高频数据与低频数据相比 有许多方面的优越性 首先 高频数据的分析 研究是与市场的微观结构相关 不同市场的高频数据可能体现出各不相同的一 些特性 是理解市场微观结构极为有效的手段 以收益波动为例 一般如在较 低频率数据中具有成功表现的g a r c h l l 2 j 等计量模型并不能解释波动率的驱动 因素到底是什么 只有通过高频数据分析才会发现许多市场的微结构因素 其 次 高频数据表现出很强的周期性 j a i n 和j o n 1 9 8 8 u 引 l o c k w o o d 和l i n n 1 9 9 0 l l q m c l n i s h 和w o o d 1 9 9 2 l 对纽约交易所的日内交易数据分析的 结果表明 交易量 价格波动和买卖差价都呈现处 u 字形状 在开市的时 候最高 很快回落 到收市的时候又回升 正是因为有了这些不同于低频数据 的性质 许多在低频数据下有很好效果的方法在高频下却可能不能直接利用了 如将g a r c h 模型直接移植到高频数据建模中来 到目前为止有没有重大突破 性的进展 正是因为有了这些不同于低频数据的性质 许多在低频数据下可以 有很好效果的方法在高频下却有可能不管用了 2 1 2 2 市场微观结构噪音 市场微观结构噪音是指在市场交易中由于竟要价跃动 b i d a s kb o u n c e 不同步交易 a s y n c h r o n o u st r a d i n g 闭市效应 m a r k e tc l o s i n ge f f e c t s 等引起 的金融数据的波动 市场微观结构噪音是客观存在且不可忽略的 只是由于其 对低频数据的影响不大往往被忽视 由市场微观结构噪音引起的误差通常称为 市场微观结构噪音误差或微观结构误差 m i c r o s t r u c t u r ee r r o r 阻 2 5 3 8 1 4 5 市场微观结构噪音是由多方面的因素引起的 因此 对市场微观结构的理 解就必须从微观结构噪音的各个因素着手 首先 从股票交易市场上来说 做市商 m a r k e tm a k e r 在促进交易方面起 着非常重要的作用 它们提供了很好的市场流动性 m a r k e tl i q u i d i t y 每当公 众有买卖的愿望时 他们随时准备好进行买和卖 市场流动性是指能快速地 匿名地 几乎没有价格影响地买卖相当数量证券能力 作为提供流动性的回报 交易所赋予做市商对证券的买卖双方传递不同价格的专利权 比如它们以标价 s 购买 以更高的叫价瓯卖出 价格差瓯一s 就被称为竞要价跃动 也称为买 卖差价 这是做市商获得报酬的主要来源 竞要价跃动 买卖价差 一般比较 小 也就是一两个最小升降档 尽管竞要价跃动数量上比较小 但它的存在对 于资产收益率时间序列特别是高频资产时间序列有着重要的影响 如买卖价差 可以导致观测到的价格变化序列呈现l 步延迟负相关 也即金融文献中一般所 称的买卖报价弹性 这也正是引起市场微观价格波动的原因 是市场微观结构 的重要一方面 其次 高频数据的时间间隔 或者说是不同步交易的问题 当我们在考虑 高频数据时 由于交易不是等间隔的 可能出现某一个时间段内有大量的交易 而也有可能长时间内一笔交易都没有 那么这时候 每一次交易的时间间隔是 不相同的 有的可能很短 而有的则可能会很长 这就会导致不同于每日或者 更低频率的数据的一个问题 即是按照每一笔交易来定义收益 还是按一个固 定时间间隔来定义收益 对于前一种方法 不同股票之间的交易频率不同 就 导致了不同步交易的问题 使得研究多只股票比较困难 在高频的情况下 这 是一个关键的问题 当然我们也可以采用后一种方法 即等间隔的高频采样方 式 这种情况下 与通常的情况相比 仅仅只是频率的变化 但是如果时间间 隔比较大 则信息损失也大 如果取得时间间隔比较小 那么就可能出现某些 交易不活跃的股票在很多时间段上的收益为零 由此 不同步交易在市场微观 结构的层面上对我们观测得到的高频资产价格数据的影响显得更为明显 最后 闭市效应对高频资产价格数据有着一定的影响 闭市效应是指由于 现实交易中周末闭市不交易而引起的在闭市前后一天也即每周交易的第一天和 最后一天交易数量的变化以及对交易愿望实现的期待变化 这些变化引起的金 融资产价格本身潜在的真实波动 而是由闭市这一体制引发的市场微观结构变 化波动的一种相应的反应 2 6 1 s 7 市场微观结构噪音是与金融数据的高频取样息息相关的 并随着取样频率 的增加其影响愈为显现 因此 在进行高频数据相关的研究时 市场微观结构 噪音是不可不考虑的一个重要因素 1 2 3 波动率 波动率通常指未来价格偏离其期望值的可能性瞄j 对期望价格的偏离有两 种情况 一种是价格上涨 另一种是价格下降 波动率越大 价格上升和下降 的机会就越大 事实上 资产收益的波动与通常的波动率往往有着不同的特性 资产收益的波动率有的时期很大 而有的时期却很小 一个较大的波动往往跟 随在另一个较大的波动之后 一个较小的波动也往往跟随在一个较小的波动之 后 截取任意一段金融时间序列都会出现或高或低的波动集聚 v o l a t i l i t y c l u s t e r i n g 现象 也就是说呈现出集聚性和爆发性 此外 与正态分布相比 股 票收益等金融时间序列数据的实际分布在尾部明显更厚 而中间腰部更尖 即 通常所说的 尖峰厚尾性 也就是说对于此类金融时间序列数据而言 出现偏 离均值的极值的概率要大于正态分布下出现极值的概率 资产价格的波动率不 同于资产价格 它无法从金融市场上直接通过观测得到 为了尽量准确地估计 出资产价格的波动率 人们试图从多种角度进行研究 并得到了多种波动率的 估计方法 1 3 论文结构简介 本文针对高频金融数据在波动率研究领域中出现的微观结构噪音的影响 问题 先给出了在不同的假设情况下市场微观结构噪音误差的估计方法 再在 对高频金融数据下单个资产连续价格和跳 扩散价格定价过程中波动率研究的 基础上 对资产定价过程中出现的跳过程和微观结构噪音分别进行考虑 得出 了高频金融数据下两个资产跳 扩散定价过程中的二阶协变差阵和二阶波动率 阵的估计和其收敛速度 本文的具体结构安排如下 第一章为本文的综述部分 介绍一些与本文研究相关的背景和基本金融概 念 这是本文研究的重要的金融预备知识 对这些概念的了解有助于对本文 相关理论的理解 第二章给出了在不同的假设情况下市场微观结构噪音误差的估计方法 第三章是本文的重点章节 在具有跳过程和市场微观结构噪音的资产定价 4 过程中 假设市场微观结构噪音是独立同分布的 且噪音的期望为零 研究 高频金融数据下二阶跳协变差阵和二阶波动率阵的估计和收敛速度 第四章对本文的相关结论做了一些总结 5 第二章高频金融数据下市场微观结构噪音误差估计 在金融经济学领域中 随着科技的快速发展 高频金融数据的采集和存储 变得越来越容易 它对于了解市场衍生物有很大的意义 波动率为描述市场衍 生物的动态演变及本身的内在性质提供了重要的信息 也是市场衍生物定价的 重要依据 因此 关于波动率的估计模型描述及预测一直是金融统计领域的重 要课题 基于高频数据的r v 作为波动率的估计目前被广泛的接受 并得以使用与 改进以适合各种环境下的波动率估计 a n d e r s e ntg 和b o l l e r s l e vt 等人1 4 j 与 b a r n d o r f f n i e l s e n0e 和s h e p h a r dn 等人1 2 0 j 为其奠定了理论与应用的基础 在高频数据环境下 由于市场微观结构噪音的存在 并且市场微观结构噪音的影 响随频率的增加而增加 即其对估计波动率的影响是相当显著 因此 通常会 在频率的选择和噪音的估计之间进行某种消噪 b a n d i 和r u s s e l l 2 0 0 5 2 0 0 6 1 2 4 j 基于最小化均方误差 m s e 的原则下导出了消除噪音影响获得最好r v 估 计的最优取样频率 a i t s a h a l i ay m y k l a n dpa 和z h a n gl 2 0 0 5 讨论了在 不同的噪音序列情形下最优抽样频率 z h a n gl m y k l a n dp a 和a i t s a h a l i ay 2 0 0 5 1 3 3 j 给出了对积分波动率估计的多时间尺度与双时间尺度估计策略并给 出了市场微观结构噪音的渐近估计 若能有效地估计出市场微观结构噪音误差 则对于改进波动率估计有着重要而深远的意义 因此 在高频金融数据下对市 场微观结构噪音的研究变得愈为重要 2 1 i i d 序列噪音方差的估计 由于市场微观结构噪音的存在 我们所观察采集的高频金融数据与不可观 察的真实数据之间存在着一定的偏差 将时间段f o r 1 分割成 分 即 0 t o f 2 0 当a 1 时 第f 天的已实现波动率定义如下 定义2 1 3 4 1 4 5 称 h 2 f 一 i l 为第t 天已实现波动率 现定义观测 对数 收益率为 一吃 f 1 2 n 相应地 有效收益率为 一h f 1 2 n 当 l 时 第f 天的已实现波动率定义如下 已实现波动率 1 w r y r 州 2 2 1 定义收益率噪音序列为观测收益率与有效收益率之差为e i 一 i 1 2 n 由 2 1 1 可知 e i 气一气 i f 1 2 n 即收益率噪音序列具有m a 1 假定b 为i i d 序列 并满足 e e l 眈 o e i e e 2 2 1 4 且与有效价格五不相关 z h a n gl m y k l a n dpa 和a j c t s a h a l i ay 2 0 0 5 3 8 在这样的假设下 得到下 式 r v 2 n e e 2 q l 2 2 1 5 事实上 他们的结果基于 7 n nnn r v 1 j 2 2 2 q 蟊 i ii lf a li l 当取样频率很高时 n 噪音的平方和构成上式的主要部分为 r v 专 霞 于是 使用最高频率数据的r v 可作为估计噪音序列方差 i 1 根据假设 我们有基于观测数据的已实现波动率 r v wwnw 2 乃 2 2 q 蟊 2 1 6 它的条件均值和方差 e r 矿i x 月 2 胁2 v a r r v i x 4 n e 8 4 q 1 其中 尺 n 2 i i 2 1 7 2 1 8 因此 对于有效价格过程x 当 一 我们有其渐近正态性 n 一怛 矗y 一2 n e s 2 与2 仁占4 尸2 z 肋妇 由以上的分析 我们可以得到噪音序列方差的估计量 玉2 些 2 1 9 2 定理2 1 1 3 8 对于一个确定的真实数据过程x 当 专0 0 我们有 n v 2 睡2 一e e 2 j 寸 o e 4 其中渐近方差e s 4 可以根据z h a n gl e ta 1 2 0 0 5 3 e l 的建议 获得相合估计量 甜 击缸一3 仁s 2 卜 定义全集g g 移 f l 一 f 且被分成k 个不相交的子集g k 1 2 k 即 g u l g 其中 当七 z 时 g n g o 对于选择第k 子集g 元素的方法是从 q 开始 然后每k 步作为取样点 直到 r 那也就是说 g t k i f 七一l r t l l 2 j c f i l 月t x 其中k 1 2 k 甩上是一个使t k l n t k 在g 中是最后一个元素的整数 从而我们 得到波动率的估计量 即 只y 土y r y o 2 1 1 1 它的均值和方差 e r 矿 嘴 l x r 矿 2 万眈2 8 2 1 1 2 助伍y沁 ix f1 g胁 ry ix 4要眈4 q 圭 2 1 13k 1 其中万 壶参 半 依据第一个噪音序列方差的估计量和 2 1 1 1 式 我们有波动率的修正估计 量 r y 础矿 一6 亘r y 2 1 1 4 n 根据 2 1 7 和 2 1 1 2 有 e 伍y 防 以q y 嘴 陋 一6 号e 伍川x 口c r 咖 2 h e s 2 b r v x 2 n e 9 2 础咖 一6 导r 圪 2 口一6 陋2 为了完全消去e 6 2 的影响 我们按理取a b 它是波动率的无偏估计 从 而我们可以得到e c 2 的又一估计量 窟s 乙 丢 一万 1 c r 矿一r y 嘴 2 1 1 5 满足e 仁喃 i x e s 2 要 一万 1 伍比一r 咖 并且它是高阶无偏的 定理2 1 2对于一个确定的真实数据过程z 假设当n 一 v k 专0 0 和 m 鍪 o f l 2 时 n v 2 陋s 2 一e 占2 和n v 2 陋占2 一e 6 2 有一样的渐近分 布 事实上 根据z h a n gle ta 1 2 0 0 5 d 8 的证明和条件 我们可以知道 当 k d 扪 时 有 南乙 一鼢2 仁s 2 一e 占2 嗽一 o p 晒砷 南2 一e 占2 p k on 1 1 2 k 1 o j 口 k n 刮2 e s 2 一e 占2 i 叫l 1一圳 j 南2 一e 占2 o p n 嘶 如2 一e 占2 l 一 oj 所以可以得到定理2 1 2 根据前面的定义 当噪音序列是i i d 时 噪音序列是具有m a 1 结构 所 以在噪音序列是i i d 的条件下 在漂移系数不计时 e 1 一e 占2 并且 高阶自协方差全是0 于是我们有肪2 的一个估计量 躬2 一志缸 2 1 1 6 定理2 1 3 假设r 与x 满足 2 1 1 和 2 1 2 式 并且q 是i i d 的且满足 2 1 4 式 z 与q 独立 我们有 鹅2 一志善n i 一职 9 啦陋一一如 与 0 5 e e 4 此定理的证明可参看z h a n gl e ta 1 2 0 0 5 3 8 1 a p p e n d i x 和o o m e nrca 2 0 0 5 4 3 1 中的相关证明过程和条件 2 2 相关序列噪音方差的估计 目前的文献中 大多假定毛为i i d 序列 但通过前人对金融衍生物市场的 实证分析 说明这样的假设在实践中是可能不完全真实的 为了更好的反映真 实存在 我们在这节讨论在噪音序列之间及噪音与有效价格之间存在相关性的 假设下的噪音序列方差的估计 事实上 噪音序列之间及噪音与有效价格之间 存在相关性应该是时段相关 有一定的相关性持续时间 这样更贴近真实市场 现在 我们先给出关于噪音序列的一些假设与定义 假设2 2 1 噪音序列 是均值为0 的协方差平稳过程 弱平稳过程 其自协方差 函数定义为万 s e q q 对于j o 万 o 眈2 是噪音的方差 显然 i i d 噪音序列是它的特例 定义估计量偏差b i a s r v e r v r 以 事实上 完全估计量偏差e r v 1 v e r v r y e e 忸吆一 v 其中前 一项是来自噪音引起的 而后一项是计算离散化引起的 不失一般性 我们考 察以上定义关于来自噪音引起的估计量偏差形式 定义噪音与有效价格之间的相关性y 等 对于h o 1 2 我们定义 7 譬 e e m 当 和e t u 是独立时 y 譬 0 当h o 磐 e r i n e 定理2 2 1 在假设2 2 1 下 我们有 b i a s r v 2 n y u o 2 函 o 一万 2 2 1 其中 叫 推论2 2 1 假设万 在0 点可导且娶m7 磐 r 7 r 当n o o 和a 一0 时 l i mb i a s r v 2 n a 牌 虬 2 n a 熙 万 o 一万 2 丁杪 一万7 旧 假设2 2 2 噪音序列满足下面的条件 1 对于有限数p 0 若s p 则万o 0 5 2 对于有限数p o or l p o 我们有 6 伽怛 c 肌j 0 2 2 2 其中尺匕c 舶 2 焉兰 帆 t lh 篁i v 一 l 定理2 2 2 是由h a n s e n 和l u n d e 2 0 0 4 6 1 提出 并给出了证明 对应的假 设下 则去除噪音因素并获得r v 无偏估计是可行的 在统计角度看 要使获 得信息较多 需要尽可能使 取较大值 但较大的 意味着较大的曰 由于噪 音序列之间的相关性只持续有限时间段 那么可以选择一个固定的持续时间w 作为自相关窗口参数 对于w n 以及g 应满足关系式g c e i l w t n 当窗 口参数w 确定后 给定 就可以定义g 对于 来说 它可以在最优抽样问 题下确定 事实上 在时间序列文献中 g 一个典型选择 当 一 g n 一0 例如g m 4 4 n l o o 矽 但我们认为相关性对于时间段来说是具体的 它跟 是无关的 在这里它是不合适的 详细可看h a n s e n 和l u n d e 2 0 0 4 6 1 及它的参 考文献 根据定理2 2 1 和2 2 2 且在估计偏差定义下 有 b i a s r 嚓肌 肌 一e 0 b i a s r v e r v 一e r v x 2 n y 磐 2 万 0 一万 于是有下式 e r v 以 一e k 嘘肌 2 彬妒 2 妇 o 一7 r 2 2 3 其中 和 可能不同 也可能相同 j 一方面 7 磐 表示噪音与有效价格之间的相关性 并随时间保持不变 万 为噪音序列在时间段内的相关性 根据假设2 2 2 噪音序列之间相关性是有限 的 如果a p o 那么万 0 因此 选择合适的频率 f 使a 7 n t p o 那么万 mj 0 由 2 2 3 式 有 e r v 一e c r 略肌 2 f 磐 万 o 涉磐 f 2 2 4 另一方面 当 哼0 0 时 m a x a 专0 从而万 厶j 万 o 因此 我们可以 尽可能选择最高频率 那么由 2 2 3 式 有 e r y 帆 一e c r 略 寸2 m 以2 2 2 5 由 2 2 4 式和 2 2 5 式 可得到在相关序列噪音假设下的噪音方差表达式 万 o 兰塑生兰堡幺 m 墨堡型 二兰堡盗也 2 2 6 一 2 n 帆 2 m 那么 对于取定相当大的 以及 和 后 利用样本均值代替期望值 可得在相关序列噪音假设下的噪音方差估计量 君 o 夏竺二夏星 k 雯竺 夏 y 翌a c q w 2 2 7 j z 氛l j 2 n h 其中 丽 丢喜r 杉 万魁a 去喜r 杉龆肌 而 去喜r 巧 刀表示工作日数 对于 和 的频率选取 m 容易确定 使用可以获得 的最高频率 n t 是消除噪音相关性的频率 只要取m 使 m p o 即可消除 噪音之间的相关性对取样估计的影响 这就是说应该选择一个较低的频率为 我们可以根据h a nq 和l i uy 2 0 0 7 5 1 的选取策略来选定 的取值可以 根据h a n s e n 和l u n d c 2 0 0 6 2 0 1 的结论 在使m s e r v 婴乙 达到最小时所确定 的最优取样频率来选取 并且频率n 和自相关窗口参数w 是确定m s e 删二 达到最小的主要参数 其中w 岛 由 m 的要求可得w 1 2 第三章高频金融数据下两个资产跳 扩散定价过程中的波动率阵的 估计 本章介绍了在连续跳 扩散价格模型下 假设市场结构噪音误差是独立同分 布的 且噪音的期望为零 对资产定价过程中出现的跳部分和连续部分分别进 行考虑 对于跳部分 用小波方法对观测数据进行分析 得出跳点的估计量 从而得出二阶跳协变差阵的估计量及其收敛速度 而对于连续部分 则采用连 续价格模型下的双尺度已实现波动率模型 并对此模型进行推广 最终可得到 高频金融数据下两个资产跳一扩散价格模型中的二阶波动率阵的估计量及其收 敛速度 3 1 非参数波动率模型 由于市场微观噪音的存在 我们所观察采集到的高频金融数据与潜在的真 实数据之间存在着一定程度的偏差 将时间段 0 1 进行分割 0 f o f l 0 记i 七 h 气 瓯l i 一 一瓯 气l 后 1 2 丘毛 5 去 薹 e 毛一2 去 乏 其中所 朋t 一是各资产观测点在区间2 2 t 一 中的次数 k 1 2 用厶 e 而 一丘卉一估计厶 五力 一 k q 一 k 1 2 所以跳变差和跳协变差的估计量分别为 靠 戡t 2 k 1 2 量 袅 竺讹靠 艺 三 1 量 袅 厶 j c 2 从而得出二阶跳协变差阵的估计量 f 睦针 现在我们考虑跳协变差阵的收敛速度 我们先作如下几个假设 0 在跳估计中小波如 y 是可微的 0 缸 盯打2 关于r 几乎处处连续 且e m a x o x 以 1 佃 e m 警 三 佃 七 2 0 在区间 o 1 上 盆 机o q k 七 佃 r 七l 气2 7 u 0 l l 盯l 佃 七 e 1 2 0 灯 仃缸2 l r lk 与 独立 且 i i d e 三 o 记力 r 毒 n g 所以 当毒 q 时 一磊 l 如丢 尸 毒 g l 喜 一点 l 砌丢 尸 孕 g l i r a p 毒 g o 一磊 i 砌 d l i m l i m 尸 口 g l 一卣 l 砌一 其中 i i 厶 一厶 l i 三 一 由引理3 1 2 得 1 6 立 成 2l 七 l x 1 g 0 q 有 如 t 1 件 乃 条 m躲芷m 乞 厶 川 瑚 一 乞 厶 竺闰 2缶 一 2 卣 卣 p m h p舰 li 让乒 n k缸 羔m 又 所以 下证 厶 屯l q 蔚如啡 三 q 1 l 厶 q 1 毗 q 1 1 2 1 1 0 v 枷乞 d p 纷 坶 驯 q p 喜l n 三 i 吐以1 1 p 聊 p 喜l n 三 i d 拧 聊 p 聊 尸 善i n 三 i d 刀 固定m 又因为 所以 厶 q ii i 收 觋可洳乞l 矾拧刁 当m 专o 时 有 从而 同理可证 所以 尸i 雪 f l i ml i m d l 月 尸 扰 尸 m i ip 忙乞i 兀 讣盯 l i r a 尸 肌 辨旷i p 阱 q in2l i 0i 1 p 1 p i 刀1l g l 一缶 l 咖一 可喜t i n 三 l g l 咆l 咖1l 叫割n 三 i n l 小 i d n il p 喜l n 三2 l 砌丢厶 p 喜i 兀 厶 幽 厶 一 善1 2 岳q 1 7 鱼疗一a m j 瑚 l p 六一免 兰厶2 一芝如2 七 1 2 对v d 0 p i 六一缸l 砌丢 等p 免 吼 i 一氕i 砌丢 尸q g 由引理3 1 1 得 舰p 磊 g t 0 所以 d l i m l i m p 氕一氕i 幽一 1 i m 骢p 吼 吼 l 一彘i 幽丢 当钆 吼时 免一缸 羔眩2 一乙2 岁 i i k 2 4 2 1 i k 由引理3 1 2 得 卟 p 又易知l j a 啡 1 所以n 七 盯 拧丢 1 1 2 t o p 以 仿 1 的证明易得 六一缸 d 尸 刀一 尼 2 综合 1 可得 r f o p 3 4 二阶波动率阵的估计 假设在跳过程估计中 对观测数据用小波方法 7 l 1 0 1 分别得到以的所有跳跃 点和跳跃高度的估计量气和厶 从而记数过程m r 和彳缸的跳部分估计量分别 矾 f 圭 也 f 岩 璧 三材二 乞 其中 为示性函数 七 1 2 1 i 1 g 为了消除跳过程对数据的影响 仿照参考文献 2 8 我们可做如下的处理 1 8 记呓 一最 一 乙 k 1 2 在连续扩散价格模型中 对不同优化取样数据下的已实现波动率进行平均 得到积分波动率0 的最佳估计量 而在跳 扩散价格模型下 如果跳点和跳跃高 度的估计非常精确 跳过程对平均已实现波动率的影响将渐近可忽略 为证明 之 现引a 符q 记m 为整数 将整个样本进行稀疏 得到m 个子样本 并定义 k k p 面1 篇u 智 ui z 一吃小 2 击薯眩w 一圪 2 七1 1 2 k 巧p k k p 击萋鬈 叫一k 舷 一砭吣 击善 w 一吒玩川一瑶 记口 臣 荨 臣 妻 为了对比 用x 和巧表示x 和k 连续部分 则 e 上 b 凼 f d 既 瑶 戤 七 1 2 定义 k 巧p 吉薹警眩 脚一磁 万n 缶 g v q c w 一磁 2 七 2 k 巧r 阮 k m 万1 刍m 缶 v c 州一k 舷 一磁叭w 万1n 台 m v c w z 舷讲一磁 记口 臣 乏 f 阵 篓 注意 巧是不可直接观测到的 只是作为砭的一个理论比较 七 1 2 在文献 3 8 中 双尺度已实现波动率作为连续价格模型中波动率的估计 现把双尺度已实现波动率推广到两个资产跳 扩散价格模型中 得到0 的估计量 瓦2 阮射 其中 k 巧p 一吉k 巧 七 l 2 巨 幺 m 阮巧卜吉阢叫 定理3 2 1 设 l 0 9 2 专o 在彳 a 4 的条件下 有 1 9 秒 一秒c o p i 丹一 肘 1 1 0 9 2 刀1 成立 定理3 2 2 假设m o l n jl c o 在4 以的条件下 有 丸一目 q f 刀一 成立 为了证明定理 我们需要以下几个引理 引理3 2 1 7 i 1 0 1 在4 l 彳4 的条件下 有 骢p 饥2 吼 i l 一 l n 1l 0 9 2 1 1 1 x j 一1 k 1 2 成立 引理3 2 21 2 9 d o o b 不等式 4 m 窖帕e 讧 8 机d 卅m 砌 b 引理3 2 3 设以 o a n 写 q 限 且a n 色均大于0 以为正整数 则有 鼍 d a n 阮 观因为i 等l i 去 去卜 又知 舰尸 1 糟陪 i m 删 l 去l l 去l 噘 n l 刀一l 0 9 2n l 1 g 七 毒 由条件0 3 和引理3 2 1 知 l i m 尸 q 1 i o a 所以只需证明0 0 o p 刀一月 m 1l 0 9 2 力l 在q 中成立即可 注意到在q 中 以在长度为噘的区间i t ir w 上至多只有一次跳跃 且由于 形 g 1l 9 2 以 2 9 2n 一 则 与气的距离相差很小 所以有以下三种情 况 1 2 i t it h f h h 口 s 成立e i i t l d i d 气 口 成立 此时 玎眈一l 气一气i m i i i 不妨设 气 h 气 或f m p 日 气 口矗成立 此时 2 n r h 一气l 2 l 0 9 2 刀 在上述三种情况下 厶 o l u 一厶 厶或乞 相应地 瓴 t j w k x 乞t l 一呓 一心 一x t t 妇互w 一呒 o o p t l 一钏 q 三 一三 i t o 6 厶 i 川 q l k 呓w 一呓 2 一眩 一 2 0 0 p i l u 一厶1 q 6 k l l 乞i 1 先考虑非对角线上元素 k 巧p 一k 巧p 万1n 乙 m m w 一瓦玩i i 州 一毛 一亿 w 一巧i 玩w 一磁 由上面的讨论知 睇 巧p 一k 巧p 0 p i i 朋 其中 以 羔b l 一三 i 羔k 一三 i 1 m il 0 9 2n 小羔 t l u m i 2 1 0 9 2 玎善6 讣剐 由条件0 和文献 3 8 中定理3 1 1 知 l u 三一 o p 甩一 羔1 16 州址 q 1 所以由引理3 2 3 得 以 q 疗一 m il 9 2 刀 从而 k 巧p 一k c 巧p q 疗一 m il 9 2 万 2 现考