数学竞赛中的体积问题.pdf

6 中 等 数 学 数 学 竞 赛 中 的 体 积 问 题 薛 党 鹏 陕西省西安中学 7 1 0 0 0 3 本讲适合高中 体积是立体几何研究的一个重要对象 体积问题 包括体积的计算和证明 是立体几 何中的一类重要问题 而体积法作为平面几 何中面积法的推广在立体几何中也有着广泛 的应用 1 几何体体积的计算 常见的几何体体积的求法有三种 1 直接法 根据相关的体积公式进行直接计算 2 祖日 恒 原理转化法 运用祖咂 原理构造等积且易求体积的几 何体进行计算 3 割补转化法 借助于切割或拼补将题设中的几何体转 化为易求体积的几何体进行计算 例1 试求边长为if 的正四面体的棱切 球 与所有的棱都相切的球 的体积 2 O 0 O 全国高中数学联赛 解法 1 如图 1 所示 设 0为正 四 面体A B C D的中心 在 R t O B F中 由 勾股定理求得此正 四面体的外接球半 径 A O 肋 口 图 l C 故知 棱切球半径 0 P 口 内 切球半径 0 P 口 中心 0为高线A F的四等分点 收稿日 期 2 0 0 4 0 9 0 3 修回日 期 2 0 o 4 1 2 1 5 从 而 棱 切 球的 体 积V r 口 J 解法2 过正四面体的每一条棱作对棱 的 平行平面 将正四面体补成棱长为 口的 二 正方体 则正四面体的棱切球即为正方体的 内切球 故r 口 以下同 解法 1 说明 正四面体的对棱间的公垂线段 即 对棱中 点的连线 就是棱切球的直径 例2 将抛物线Y 和直线 Y t 所 围成的封闭图形绕Y 轴旋转一周 求所得旋 转体体积 分析 考虑运用祖陋 原理求解 为此需要 分析旋转体的截面 构造与题设旋转体等积 且易求体积的参照体 解 将旋转体放在 一 平面上 用平行于该 平面且和其相距 h的 平面去截此旋转体 如 图2 易知截面圆的面 积为 S 截 h 这表明构造的参照体 的截面可以为一矩形 其 一 边长为常数 另一边 长为变数 h 进而易找到 参照体 如图3 以等腰直 角三角形为底面 两腰长 图3 为 t 高为 的直三棱柱 易知其体积为 说明 运用祖咂 原理求几何体的体积时 T i 维普资讯 2 I D年第 5 期 7 需要构造一个易求体积的参照体 此参照体 必须与原几何体在任何一个相同高度处的截 面面积相等 以放在同一平面上为前提 为 此 应从分析几何体的截面人手来进行构造 例3 在棱长为1 的正方体中 设以上 下底面各边中点为顶点的正四 棱柱的体积为 以左 右两侧面各边中点为顶点的正四 棱柱的体积为 试求 和 公共部分的 体积 解 如图 4 设 A B C D A B C D 为题 设的正方体 P Q R S P Q R S 及 脚 一 F R G R 分别为正四棱柱 和 Q C G C I 圈 4 注意到 与Q Q 交于K 又P R也为 面 与 的公共点 于是 截面K P R为 面 在 上的截面 而三棱锥 Q K P R 为 被这个平面截下的部分 其体积为 了 1 I 1 Q P P R Q K 1 由对称性知 被 的4 个侧面切去 了4 个这样的三棱锥 所以 和 公共部 分的体积为 1 1 4 1 了 1 例4 已知四棱锥 P A B C D的底面为 平行四边形 高为h 过底面一边 B C作截面 与侧面P A D交于 若截面将棱锥分成体 积相等的两部分 试求 到底面的距离 解法 1 设 与底面的距离为 则 分别是三棱锥E A B D与三棱锥F B C D的 高 设S 为底面面积 则 一脚 一 肋 喜 百 x S 因为三棱锥B A D E与三棱锥B D E F 等高 而 A D E与 D E F等高 则 一 A D E S 一 A D h v 8 一 D E F s 咂 F E F h x 即 一 肿 字 百x S 设截面与底面之间的多面体 A B C D E F 的体积为 则 V 一 脚 一 肋 一 肿 h 一 x S 3 h 一 x S 一 6 1 6 1 6 h 一 6 由 吉 一 一 喜 h S 得 三 垒 二 2 一 6 一 6 即 一3 h x h 0 解得 v 气 h 因 1 故应舍去 因此 所求距离为 解法 2 如 图 5 延长F E至G 使 得 F G A D 显然 三棱柱 A B G D C F 1 的体积 V 1 1 S x 二 可以将其扩充为 图5 一 个平行六面体 其底面面积为 S 高为 因三棱锥 E A B G与三棱柱A B G D C F同 底 故其体积为 一鹏 喜 喜 箐 从而 多面体A B C D E F的体积为 一 1 一 蠡 以下同解法 1 维普资讯 8 中 等 数 学 说明 为求不规则多面体A B C D E F的体 积 在解法1 中将它分割为三个三棱锥 在解 法2 中将它拼补为一个三棱柱 切割与拼补 是变不规则几何体为规则几何体的两种常用 方法 2 体积最值与体积不等式 体积最渣和体积不等式是立体几何中常 见的两类问题 解这两类问题常常需要将其 转化为函数问题 另外 引入辅助角也是一种 常用的策略 例 5 如图6 棱锥 S A B C D的底 面是平行四边形 过 顶点A和棱 的中 点 作一平面分别 交棱 S B S D 于点 求证 D 图6 吉 分析 若引进变量 S N 建立 关于 Y的函数关系式 可借助于研究函数 的 性 质 使 问 题 获 解 解 由 S A B C S A B D r r 一 可 求 得 专 吉 即 Y 3 x 1 3 L O 1 所 以 0 0 知 1 进 而 可知 当0 r c t a n 时 有 最小值 1 有最小值7 5 3 体积法 体积法是借助不同的方法计算同一体 积 从而得出未知量和已知量之间的等量关 系 进而解决相关问题的方法 它是平面几何 中的面积法在空间的直接推广 用体积法求 点到平面的距离时 可避免寻找距离线段或 论证垂直关系的推理过程 体积法多用于四 面体和长方体 因为它们对于底面的选取有 很大的自由度 可以方便地 换底 另外 体 积法常与割补法相伴 特别是涉及内切球 旁切球的问题时 也经常需要用到体积法 例8 在A A B C 中 C 9 0 B 3 0 A C 2 M为 A B的中点 如图9 将 A C M沿C M折 C 曰 图9 起 使A B间的距离为2 则点 A到面 B C M的距离d的值为 分析 显然 点 c 在面A B M上的射 影不易确定 但是 如图 l 0 由于三棱 锥的6 条棱都是已 知的 所以 4个面 图l O 的面积也是可求的 而点 在面A B C上的射 影易确定 因此 可以 运用体积法求解 解 由M A M B M C 2 知 点 在面 A B C 上的射影为AA B C的外心 由A C A B 4 8 1 2 c 2 知 B A C是直角 所以 A B C的外心为斜边上的中点 取 B C的中点G 联结 M G 即得三棱锥 M A B C的高 在等腰 M C B中 M G为高线 中线 角 平分线 有 M G 1 得 一 删 一 删 专 s M G 1 2 x 2 1 故 一 删 5 d 一 脚 所 4 3 o 删 J 例9 求证 对于任意四面体 A A A A 的高 h 和旁切球的半径r i 1 2 3 4 有 1 一 h i 一 分析 因 此题涉及四面体的高和旁切球的 半径 故考虑用体积法寻找h i 和 的 联系 解 记四面体的体 积为 V O 和 s 分别 是点A 所对旁切球的 球心和所对面的面积 月 如图 1 1 所示 则 1 一 A 1 3 4 一 t 2 A 4 一 2 A 3一 一 图 1 1 维普资讯 1 0 中 等 数 学 S 2 r 故 r l s z s S 4 一s 同理 1 s s s 4 一s z 1 s s s 一 s 1 s s 3 s 以上四式相加得 1 1 1 1 一 一 一 一 r l r 2 r 3 r 4 s S 4 由 告 s 知 1 1 1 1 1 1 s s s S 4 练 习 题 1 函 数 6 一 和 轴 所 围 成 的 封 闭 图 形绕 轴旋转一周 则所得旋转体的体积为 提示 类似于球体积推导 据祖呕原理知 此旋 转体体积可视为一圆柱 底面半径为 a 高为 b 挖 去一圆锥 底面半径为 a 高为 b 所得几何体的体 积 答案 7c 口 b J 2 四面体的一条棱长为 其他各棱长为1 若 将四面体的体积 表示为 的函数 厂 试求函数 的单调区间 提示 在四面体A B C D中 设棱 c D 其余棱 长均为 1 设 D到平面A B C的距离为 日 则 V 吉 s 日 日 所 以 函 数 V x 和 日 的 单 调 区间相同 设想面A B D绕着直线佃 从面A B C的位 置旋转 在此过程中 C D由0 开始逐步增大 考察点 D到平面A B C的距离的变化情况即可求得答案 答 案 0 为 递 增 区 间 为 递 减 区 间 3 求证 对于任何四面体都有不等式 r o 6 d 而此式易证 4 在每个边长均为1 的正三棱锥内有l 3 个点 其中任意三点不共线 任意四点不共面 试证 其中 定有一个以这些点中的4 个点为顶点的三棱锥 其 体积 提示 设边长为 1的正三棱锥为 A B C D A O 是它的高 在A O 上取一点0 I 使0 A 0 B 0 C 0 D D 以0 为顶点 A B C D的四个面为底 面 的 四 个 三 棱 锥 显 然 等 积 且 鱼4 8 在 A 一及 内的l 3 个点中 因为任意三点不共线 任意 四 点不共面 根据抽屉原理知 至少有四 个点落在以 0 为顶点的四个小三棱锥的同一个三棱锥内 那 么 以 这四 点为顶点的三棱锥的体积 5 三角形的面积由三条边的长度唯一确定 问 四面 体的体积是否由四 个面的面积唯一确定