导数应用课件.ppt

第11课时导数应用 1 函数的单调性与导数在区间 a b 内 函数的单调性与其导数的正负有如下关系 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 如果 那么f x 在这个区间内为常数 思考探究 1 若函数f x 在 a b 内单调递增 那么一定有f x 0吗 f x 0是否是f x 在 a b 内单调递增的充要条件 提示 函数f x 在 a b 内单调递增 则f x 0 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充分不必要条件 f x 0 f x 0 f x 0 2 函数的极值与导数在包含x0的一个区间 a b 内 函数f x 在任何一点的函数值x0点的函数值 就说f x0 是函数f x 的一个极值 记作y极大 小 值 f x0 x0是极大 小 值点 极小值点 极大值点统称为极值点 极大值和极小值统称为极值 不大于 小于 大 小 3 函数的最值 1 如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 连续不断 极值 端点处的函数值f a f b 思考探究 2 极值点一定是最值点这句话对吗 提示 函数的极值表示函数在一点附近的情况 是在局部对函数值的比较 函数的最值是表示函数在一个区间上的情况 是对函数在整个区间上的函数值的比较 函数的极值不一定是最值 最值点也不一定是极值点 答案 B 2 函数f x 的定义域为R 导函数f x 的图象如图所示 则函数f x A 无极大值点 有四个极小值点B 有三个极大值点 两个极小值点C 有两个极大值点 两个极小值点D 有四个极大值点 无极小值点解析 设f x 与x轴的4个交点 从左至右依次为x1 x2 x3 x4 当x x1时 f x 0 f x 为增函数 当x1 x x2时 f x 0 f x 为减函数 则x x1为极大值点 同理 x x3为极大值点 x x2 x x4为极小值点 故选C 答案 C 答案 B 4 已知a 0 函数f x x3 ax在 1 上是单调增函数 则a的最大值是 解析 f x 3x2 a在x 1 上f x 0 则f 1 0 a 3 答案 3 5 面积为S的一矩形中 其周长最小时的边长是 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 令f x 0 求出它在定义域内的一切实根 3 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 4 确定f x 在各个开区间内的符号 根据f x 的符号判定函数f x 在每个相应小开区间内的增减性 注意 当f x 不含参数时 也可通过解不等式f x 0 或f x 0 直接得到单调递增 或递减 区间 变式训练 1 设x 1和x 2是函数f x x5 ax3 bx 1的两个极值点 1 求a和b的值 2 求f x 的单调区间 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 求方程f x 0的根 4 检查在方程的根的左右两侧的符号 确定极值点 最好通过列表法 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果f x 在点x0的左右两侧符号不变 则f x0 不是函数极值 2010 安徽卷 设函数f x sinx cosx x 1 0 x 2 求函数f x 的单调区间与极值 变式训练 2 已知函数y x3 3ax2 3bx c在x 2处有极值 且其图象在x 1处的切线与直线6x 2y 5 0平行 1 求函数的单调区间 2 求函数的极大值与极小值的差 解y 3x2 6x 0 得0 x 2 函数的单调递增区间是 0 2 单调递减区间是 0 2 2 由 1 可知函数在x 0时取得极大值c 在x 2时取得极小值c 4 函数的极大值与极小值的差为c c 4 4 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2010 重庆卷 已知函数f x ax3 x2 bx 其中常数a b R g x f x f x 是奇函数 1 求f x 的表达式 2 讨论g x 的单调性 并求g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 解得m 1 切线l不过第四象限 m 1 由于切点的横坐标为x 1 f 1 4 1 a b c 4 c 5 2 由 1 可得f x x3 2x2 4x 5 f x 3x2 4x 4 令f x 0 得x 2或x 当x变化时 f x 和f x 的变化情况如下表 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 根据实际意义确定定义域 2 求函数y f x 的导数f x 解方程f x 0得出定义域内的实根 确定极值点 3 比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小 获得所求的最大 小 值 4 还原到原实际问题中作答 变式训练 4 某市旅游部门开发一种旅游纪念品 每件产品的成本是15元 销售价是20元 月平均销售a件 通过改进工艺 产品的成本不变 质量和技术含金量提高 市场分析的结果表明 如果产品的销售价提高的百分率为x 0 x 1 那么月平均销售量减少的百分率为x2 记改进工艺后 旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y 元 1 写出y与x的函数关系式 2 改进工艺后 试确定该纪念品的销售价 使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大 解析 1 改进工艺后 每件产品的销售价为20 1 x 元 月平均销售量为a 1 x2 件 则月平均利润y a 1 x2 20 1 x 15 元 所以y与x的函数关系式为y 5a 1 4x x2 4x3 0 x 1 1 在利用导数确定函数单调性时要注意结论 若y f x 在 a b 内可导 且f x 0 则f x 在区间 a b 上是增函数 的使用方法 此结论并非充要条件 如f x x3 在 上是递增的 但f 0 0 因此已知函数的单调区间求函数关系式中字母范围时 要对f x 0处的点进行检验 2 可导函数极值存在的条件 1 可导函数的极值点x0一定满足f x0 0 但当f x1 0时 x1不一定是极值点 如f x x3 f 0 0 但x 0不是极值点 2 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 3 函数的最大值与最小值的理解最值是一个整体性概念 是指函数在给定区间 或定义域 内所有函数值中最大的值与最小的值 在求函数的最值时 要注意以下几点 1 最值与极值的区别极值是指某一点附近函数值的比较 因此 同一函数在某一点的极大 小 值 可以比另一点的极小 大 值小 大 而最大 最小值是指闭区间 a b 上所有函数值的比较 因而在一般情况下 两者是有区别的 极大 小 值不一定是最大 小 值 最大 小 值也不一定是极大 小 值 但如果连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 2 最值与极值的求法的区别在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 内可导的函数f x 它的极值可以通过检查导数f x 在每一个零点两旁的符号来求得 而f x 在 a b 上的最大 小 值 则需通过将各极值与端点的函数值加以比较来求得 其中最大 小 的一个即为最大 小 值 3 当f x 为连续函数且在 a b 上单调时 其最大值 最小值在端点处取得 每年全国及各省市的自主命题中都有导数应用的解答题出现 对导数的考查非常全面 既有选择题 填空题等客观题 又有解答题 通常以解答题为主 并且所占的分值较高 常见的考查方式有两种形式 一是直接把导数应用于多项式函数性质的研究 考查多项式函数的单调性 极值 最值等 二是把导数与函数 方程 不等式 数列等相联系 进行综合考查 主要考查函数的最值或求参数的值 或范围 2 在 1 1 上 f x 是增函数 当且仅当f