湖南省益阳市桃江一中高二数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年湖南省益阳市桃江一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知命题p：对任意xr，有cosx1，则( )ap：存在x0r，使cosx01bp：存在xr，使cosx1cp：存在x0r，使cosx01dp：存在xr，使cosx12已知函数y=f（x）在点p（1，f（1）的切线方程为y=2x+1，则f（1）=( )a2b3cd3若ar，则“a=3”是“a2=9”的( )条件a充分而不必要b必要而不充分c充要d既不充分又不必要4满足线性约束条件的目标函数x+3y的最大值是( )abc4d35一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达b处在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是东偏南20，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b、c两点间的距离是( )a10海里b10海里c20海里d20海里6已知抛物线y=x2的焦点为f，则过f的最短弦长为( )abc4d87已知等比数列an满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=( )a21b42c63d848下列命题为真命题的是( )a椭圆的离心率大于1b双曲线=1的焦点在x轴上cxr，sinx+cosx=da，br，9已知椭圆e的中心在坐标原点，离心率为，e的右焦点与抛物线c：y2=8x的焦点重合，a，b是c的准线与e的两个交点，则|ab|=( )a3b6c9d1210设等差数列an、bn的前n项和分别为sn，tn，若对于任意的正整数n都有=，则+=( )abcd二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上）11若过点p（5，2）的双曲线的两条渐近线方程为x2y=0和x+2y=0，则该双曲线的实轴长为_12等比数列an中，a4=4，则a2a6等于_13函数f（x）=（x2+x+1）ex（xr）的单调减区间为_14已知直线y=kx与双曲线4x2y2=16有两个不同公共点，则k的取值范围为_15已知实数x，y满足x2+y21，则（1）（x+2）2+（y2）2的最小值是_；（2）|2x+y4|+|6x3y|的最大值是_三解答题（本大题共六个小题，共75分）16设p：实数x满足x24ax+3a20，q：实数x满足|x3|1（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若其中a0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围17在abc中，a，b，c分别为a，b，c所对的边，且asina+bsinbcsinc=asinb（1）确定c的大小；（2）若c=，abc的面积为，求a+b的值18设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值（）求a、b的值；（）若对任意的x0，3，都有f（x）c2成立，求c的取值范围19（13分）已知x，y是正实数，且2x+5y=20，（1）求u=lgx+lgy的最大值；（2）求的最小值20（13分）已知数列an和bn满足a1=2，b1=1，an+1=2an（nn*），b1+b2+b3+bn=bn+11（nn*）（）求an与bn；（）记数列anbn的前n项和为tn，求tn21（13分）已知椭圆+=1（ab0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为f1（c，0），f2（c，0）（）求椭圆的方程；（）若直线l：y=x+m与椭圆交于a、b两点，与以f1f2为直径的圆交于c、d两点，且满足=，求直线l的方程2015-2016学年湖南省益阳市桃江一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知命题p：对任意xr，有cosx1，则( )ap：存在x0r，使cosx01bp：存在xr，使cosx1cp：存在x0r，使cosx01dp：存在xr，使cosx1【考点】命题的否定 【专题】常规题型【分析】已知命题p：对任意xr，有cosx1，根据命题否定的规则，对命题进行否定；【解答】解：已知命题p：对任意xr，有cosx1，p：存在x0r，使cosx01，故选c【点评】此题考查对命题的否定，注意常见的否定词，此题是一道基础题2已知函数y=f（x）在点p（1，f（1）的切线方程为y=2x+1，则f（1）=( )a2b3cd【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用【分析】根据导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率结合切线的方程即可得到所求值【解答】解：由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率可得在点p（1，f（1）的切线斜率为2，即f（1）=2故选：a【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率属于基础题3若ar，则“a=3”是“a2=9”的( )条件a充分而不必要b必要而不充分c充要d既不充分又不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】计算题【分析】先判断出“a=3”成立能推出“a2=9”成立，因为“a2=9时a=3，通过举例子a=3成立推不出“a=3”成立，利用充要条件的有关定义得到结论【解答】解：已知ar，则a=3a2=9；a2=9，可得a=3，当a=3时，满足a2=9，推不出a=3，“a=3”是“a2=9”的充分而不必要条件，故选a；【点评】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是知道一个正数的平方根有两个；4满足线性约束条件的目标函数x+3y的最大值是( )abc4d3【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用 【专题】数形结合；综合法；不等式的解法及应用【分析】画出满足条件的平面区域，由z=x+3y得：y=x+，结合图象得出答案【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，令z=x+3y得：y=x+，由图象得：直线y=x+过（0，）时，z最大，故z的最大值是：，故选：a【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查不等式问题，是一道基础题5一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达b处在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是东偏南20，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b、c两点间的距离是( )a10海里b10海里c20海里d20海里【考点】解三角形的实际应用 【专题】计算题；压轴题【分析】先根据题意画出图象确定bac、abc的值，进而可得到acb的值，最后根据正弦定理可得到bc的值【解答】解：如图，由已知可得，bac=30，abc=105，ab=20，从而acb=45在abc中，由正弦定理，得故选a【点评】本题主要考查正弦定理的应用考查对基础知识的掌握程度6已知抛物线y=x2的焦点为f，则过f的最短弦长为( )abc4d8【考点】抛物线的简单性质 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】当ab与y轴垂直时，通径长最短，即可得出结论【解答】解：由抛物线y=x2可得：焦点f（0，1）当ab与y轴垂直时，通径长最短，|ab|=2p=4故选：c【点评】本题考查了抛物线的焦点弦长问题，利用通径长最短是关键7已知等比数列an满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=( )a21b42c63d84【考点】等比数列的通项公式 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求【解答】解：a1=3，a1+a3+a5=21，q4+q2+1=7，q4+q26=0，q2=2，a3+a5+a7=3（2+4+8）=42故选：b【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题8下列命题为真命题的是( )a椭圆的离心率大于1b双曲线=1的焦点在x轴上cxr，sinx+cosx=da，br，【考点】命题的真假判断与应用 【专题】计算题；规律型；函数思想；简易逻辑【分析】利用椭圆，双曲线的简单性质以及基本不等式，三角函数的最值，判断选项即可【解答】解：因为椭圆的离心率小于1，所以a不正确；双曲线的焦点坐标的y轴，所以b不正确；sinx+cosx=，所以c正确；a，br，不满足基本不等式的条件，显然不正确；故选：c【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，椭圆、双曲线的简单性质，基本不等式体积三角函数的最值，是基础题9已知椭圆e的中心在坐标原点，离心率为，e的右焦点与抛物线c：y2=8x的焦点重合，a，b是c的准线与e的两个交点，则|ab|=( )a3b6c9d12【考点】圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的关系 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出a，b坐标，即可求解所求结果【解答】解：椭圆e的中心在坐标原点，离心率为，e的右焦点（c，0）与抛物线c：y2=8x的焦点（2，0）重合，可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=2，由，解得y=3，所以a（2，3），b（2，3）|ab|=6故选：b【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力10设等差数列an、bn的前n项和分别为sn，tn，若对于任意的正整数n都有=，则+=( )abcd【考点】等差数列的性质 【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式=，代值计算可得【解答】解：由题意可得+=+=故选：a【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及整体思想，属基础题二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上）11若过点p（5，2）的双曲线的两条渐近线方程为x2y=0和x+2y=0，则该双曲线的实轴长为6【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用共渐近线双曲线系方程设为x24y2=（0），求得，再求2a【解答】解：设所求的双曲线方程为x24y2=（0），将p（5，2）代入，得=9，x24y2=9，a=3，实轴长2a=6，故答案为：6【点评】利用共渐近线双曲线系方程可为解题避免分类讨论12等比数列an中，a4=4，则a2a6等于16【考点】等比数列的性质 【专题】计算题【分析】利用等比数列的性质：若p+q=m+n则有apaq=aman列出等式求出a2a6的值【解答】解：等比数列an中a2a6=a42=16故答案为16【点评】再解决等差数列、等比数列的有关问题时，有时利用上它们的性质解决起来比较简单常用的性质由：等比数列中，若p+q=m+n则有apaq=aman，等差数列中有若p+q=m+n则有ap+aq=am+an13函数f（x）=（x2+x+1）ex（xr）的单调减区间为（2，1）（或闭区间）【考点】利用导数研究函数的单调性 【分析】对函数f（x）=（x2+x+1）ex（xr）求导，令f（x）0，即可求出f（x）的单调减区间【解答】解：函数f（x）=（x2+x+1）ex，f（x）=（2x+1）ex+ex（x2+x+1）=ex（x2+3x+2）要求其减区间，令f（x）0，可得ex（x2+3x+2）0，解得，2x1，函数f（x）的单调减区间为（2，1），故答案为（2，1）【点评】解此题的关键是对函数f（x）的导数，利用导数求函数的单调区间是比较简单的14已知直线y=kx与双曲线4x2y2=16有两个不同公共点，则k的取值范围为（2，2）【考点】直线与圆锥曲线的关系 【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】直线y=kx与双曲线x2y2=4始终有两个不同公共点，求出双曲线的渐近线，即可推出k的范围【解答】解：由题意直线y=kx恒过原点，双曲线4x2y2=16的渐近线为：y=2x，2k2故答案为：（2，2）【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是将两曲线有交点的问题转化为方程有根的问题，这是研究两曲线有交点的问题时常用的转化方向15已知实数x，y满足x2+y21，则（1）（x+2）2+（y2）2的最小值是94；（2）|2x+y4|+|6x3y|的最大值是15【考点】圆方程的综合应用 【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆【分析】（1）画出x2+y21表示的平面区域，可得单位圆面，（x+2）2+（y2）2的几何意义为单位圆面内的点与a（2，2）的距离的平方，连接ao，与圆的交点即为所求；（2）由于1x1，1y1，可去掉绝对值可得103x4y，设103x4y=t，当直线3x+4y+t10=0与圆x2+y2=1相切时，t取得最值，计算即可得到所求最大值【解答】解：（1）画出x2+y21表示的平面区域，可得单位圆面，（x+2）2+（y2）2的几何意义为单位圆面内的点与a（2，2）的距离的平方，连接ao，与圆的交点即为所求，可得最小值为（|ao|1）2=（1）2=94；（2）由于1x1，1y1，可得32x+y3，4x+3y4，则|2x+y4|+|6x3y|=42xy+6x3y=103x4y，设103x4y=t，当直线3x+4y+t10=0与圆x2+y2=1相切时，t取得最值由相切的条件：d=r，即为=1，解得t=5或15故最大值为15故答案为：94，15【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意运用圆外一点和圆上的点的距离的最大值为d+r，最小值为dr，以及直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题三解答题（本大题共六个小题，共75分）16设p：实数x满足x24ax+3a20，q：实数x满足|x3|1（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若其中a0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】（1）若a=1，根据pq为真，则p，q同时为真，即可求实数x的取值范围；（2）根据p是q的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围【解答】解：（1）由x24ax+3a20得（x3a）（xa）0当a=1时，1x3，即p为真时实数x的取值范围是1x3由|x3|1，得1x31，得2x4即q为真时实数x的取值范围是2x4，若pq为真，则p真且q真，实数x的取值范围是2x3（2）由x24ax+3a20得（x3a）（xa）0，若p是q的充分不必要条件，则pq，且qp，设a=x|p，b=x|q，则ab，又a=x|p=x|xa或x3a，b=x|q=x|x4或x2，则0a2，且3a4实数a的取值范围是【点评】本题主要考查复合命题的真假关系以及充分条件和必要条件的应用，考查学生的推理能力17在abc中，a，b，c分别为a，b，c所对的边，且asina+bsinbcsinc=asinb（1）确定c的大小；（2）若c=，abc的面积为，求a+b的值【考点】余弦定理的应用 【专题】综合题；方程思想；综合法；解三角形【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式得到一个关系式，再利用余弦定理表示出cosc，将得出的关系式代入求出cosc的值，即可确定出角c；（2）利用abc的面积为，求出ab，再利用余弦定理，求a+b的值【解答】解：（）根据正弦定理，原等式可转化为：a2+b2c2=ab，cosc=，c为三角形的内角，c=60；（2）abc的面积为，=，ab=6，c=，7=a2+b22abcosc=（a+b）218，a+b=5【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值（）求a、b的值；（）若对任意的x0，3，都有f（x）c2成立，求c的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】计算题；分类讨论【分析】（1）依题意有，f（1）=0，f（2）=0求解即可（2）若对任意的x0，3，都有f（x）c2成立f（x）maxc2在区间0，3上成立，根据导数求出函数在0，3上的最大值，进一步求c的取值范围【解答】解：（）f（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f（1）=0，f（2）=0即解得a=3，b=4（）由（）可知，f（x）=2x39x2+12x+8c，f（x）=6x218x+12=6（x1）（x2）当x（0，1）时，f（x）0；当x（1，2）时，f（x）0；当x（2，3）时，f（x）0所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c则当x0，3时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c因为对于任意的x0，3，有f（x）c2恒成立，所以9+8cc2，解得c1或c9，因此c的取值范围为（，1）（9，+）【点评】本题考查了导数的应用：函数在某点存在极值的性质，函数恒成立问题，而函数f（x）c2在区间a，b上恒成立与存在xa，b，使得f（x）c2是不同的问题f（x）maxc2，f（x）minc2，在解题时要准确判断是“恒成立”问题还是“存在”问题在解题时还要体会“转化思想”及“方程与函数不等式”的思想的应用19（13分）已知x，y是正实数，且2x+5y=20，（1）求u=lgx+lgy的最大值；（2）求的最小值【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【专题】计算题【分析】（1）直接使用均值定理a+b2，即可求得xy的最大值，进而求得u=lgx+lgy=lgxy的最大值；（2）将乘以1=，再利用均值定理即可求得的最小值【解答】解：（1），xy10，（当且仅当x=5且y=2时等号成立）所以u=lgx+lgy=lgxylg10=1u=lgx+lgy的最大值为1（2）2x+5y=20， （当且仅当时等号成立）的最小值为【点评】本题考查了利用均值定理求函数最值的方法，利用均值定理求函数最值时，特别注意等号成立的条件，恰当的使用均值定理求最值是解决本题的关键20（13分）已知数列an和bn满足a1=2，b1=1，an+1=2an（nn*），b1+b2+b3+bn=bn+11（nn*）（）求an与bn；（）记数列anbn的前n项和为tn，求tn【考点】数列的求和 【专题】等差数列与等比数列【分析】（）直接由a1=2，an+1=2an，可得数列an为等比数列，