湖南省益阳市第六中学初中部七年级数学下册 第3章 因式分解小结与复习教案 （新版）湘教版.doc

因式分解一、因式分解的概念例1 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的为()a.a(x+y)=ax+ay b.x2-4x+4=x(x-4)+4c.10x2-5x=5x(2x-1) d.x2-16+6x=（x+4）（x-4）分析：要充分理解因式分解的概念和具体要求.选项a属于整式乘法；b只是分解了局部，没有整体化成整式的积的形式；而d左右两边不相等，不属于恒等变形，因而也不属于分解因式.解：选c.二、因式分解的方法例2 因式分解：2(a-3)2-a+3= .分析：注意到-a+3提出负号后可变成（a-3），所以考虑将负号提出，添括号后提取公因式（a-3）.解：2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)= (a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7).注意：注意本题在提取公因式(a-3)后要将剩余部分合并.例3 因式分解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n).分析：可将(m+n)看做一个整体，利用完全平方公式分解.解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n)= (2m)2+22m3(m+n)+ 3(m+n)2=2m+3(m+n)2= (5m+3n)2.注意：当所要分解的多项式符合公式的“项数”时，注意灵活进行整体运用.例4 因式分解：a2(2x-3)+9(3-2x).分析：先提取(2x-3)，然后用平方差公式分解，注意后一项的符号变化.解：a2(2x-3)+9(3-2x)=(2x-3)(a2-9)=(2x-3)(a+3)(a-3).三、因式分解相关的计算例5 已知x=a+b，y=a-b，用简便方法计算代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2的值.分析：将代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2用平方差公式分解后，每个括号内合并，然后观察与x，y的关系，再将x=a+b，y=a-b代入求解.解：(x2+y2)2-(x2-y2)2=(x2+y2+x2-y2)(x2+y2-x2+y2)=2x22y2= 4x2y2=4(xy)2=4(a+b)(a-b)2=4a4-8a2b2+4b4.例6 计算.分析：若直接计算，则分母中的计算量很大，考虑括号内的部分能否用完全平方公式分解.解：=.四、因式分解相关的说明例7 已知a2+b2=1，x2+y2=1.试说明： (ax+by)2+(bx-ay)2=1.分析：将所证式子的左边整理成用a2+b2和x2+y2表示，故考虑将左边因式分解. (ax+by)2+(bx-ay)2=a2x2+2abxy+b2y2+b2x2-2abxy+a2y2=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2=(a2+b2)x2+(a2+b2)y2=(a2+b2)(x2+y2).因为a2+b2=1，x2+y2=1，所以(ax+by)2+(bx-ay)2=1.注意：此题采用“欲进先退”的策略，即要进行分解因式，先进行整式的乘法，待到式子化简后，再分解因式进行说明.五、因式分解的实际应用例8 已知大正方形的周长和小正方形的周长相差88 cm，它们的面积相差836 cm2，求这两个正方形的边长.分析：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，则根据它们的周长相差88 cm，可得4(x-y)=88.又因为它们的面积相差836 cm2，所以x2-y2=836，根据这两个方程可求出x，y的值，但是两个方程的数值较大，计算复杂，因此可以考虑将x2-y2=836用因式分解法变形，求解.解：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，根据题意得 方程组等价于将代入，得x+y=38.和组成方程组得解得x=30，y=8.所以大正方形的边长是30 cm，小正方形的边长是8 cm.误区点拨误区一因式对分解的概念理解不透彻例1 下列从左到右的变形是分解因式的是( )a. b.c. d.=错解：选b、c、d.错因分析：b中只是将部分写成积的形式，不符合因式分解的概念，c中是整式的乘法，和因式分解正好互为逆运算；d中的a-1实质上是，不是整式，而分解因式是要求把多项式写成整式的积的形式，所以不正确.正解：选a.误区二 多项式分解不彻底例2 因式分解a4-2a2+1.错解： a4-2a2+1=(a2) 2-2a2+1=(a2-1)2.错因分析：括号内的a2-1还可以利用平方差分解，然后利用积的平方写成(a+1)2 (a-1)2.正解 ：a4-2a2+1=(a2) 2-2a2+1=(a2-1)2=(a+1)2 (a-1)2.误区三 利用公式出现偏差例3 因式分解 (x+y)2-4xy.错解 ：(x+y)2-4xy=（x+y+2xy）(x+y-2xy).错因分析： 4xy不是一个整式的平方的形式，不能直接利用平方差公式分解.正解： (x+y)2-4xy=x2+y2+2xy-4xy=x2+y2-2xy=(x-y)2.误区四 提公因式漏项例4 分解因式 3a2bc3-12abc2+3abc.错解