高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理课堂探究学案 新人教B版必修5.doc

1.1.1 正弦定理课堂探究一、判断三角形解的个数剖析：(1)代数法在abc中，已知a，b，a，由正弦定理可得sin bsin am当sin b1时，这样的b不存在，即三角形无解当sin b1时，b90，若a90，则三角形有一解，否则无解当sin b180时，三角形无解；当a180，且a180时，有两解；当a180时有一解(2)几何法根据条件中a的大小，分为锐角、直角、钝角三种情况，通过几何作图，得出解的情况作出已知a，以a为圆心，边长b为半径画弧交a的一边于c使未知的边ab水平，顶点c在边ab上方，以点c为圆心，边长a为半径作圆，该圆与射线ab交点的个数，即为解的个数，如下表所示：a为锐角a为钝角或直角图形关系式absin aabbsin aababab解的个数一解两解无解一解无解二、教材中的“探索与研究”在正弦定理中，设k请研究常数k与abc外接圆的半径r的关系(提示：先考察直角三角形)剖析：(1)如图1，当abc为直角三角形时，直接得到2r(a，b，c分别为abc中角a，b，c的对边，r为外接圆半径)(2)如图2，当abc为锐角三角形时，连接bo并延长交圆o于点d，连接cd因为ad，所以2r，同理2r，即2r(3)如图3，当abc为钝角三角形且a为钝角时，连接bo并延长交圆o于点d，连接cd，a180d，所以2r由(2)知2r，即2r综上所述，对于任意abc，2r恒成立归纳总结：根据上述关系式可得到正弦定理的常用变式：(1)asin bbsin a；asin ccsin a；bsin ccsin b(2)a；sin b(3)2r(r为abc外接圆的半径)(4)abcsin asin bsin c(5)边化角公式：a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c(6)角化边公式：sin a，sin b，sin c题型一解三角形【例1】 已知在abc中，c10，a45，c30，求a，b和b分析：正弦定理中有三个等式，每个等式都含有四个未知量，可知三求一当知道两个角时，即可知道第三个角，所以若再知道三边中任意一边，就可解这个三角形解：，a45，c30，a10，b180(ac)180(4530)105又，b20sin 75205()反思：本题给出了解三角形第一类问题(即已知两角和一边，求另两边和一角)的方法步骤，即先由正弦定理求得已知角的对边，然后利用内角和公式求得第三角，再用正弦定理求第三边【例2】 在abc中，已知a，b，b45，求a，c和c分析：已知两边和其中一边的对角的解三角形问题可运用正弦定理来求解，但应注意解的个数解：由正弦定理，知sin aasin bbac，得满足sin c的角c有两个正解：由正弦定理，得sin c因为abac，所以c60或120当c60时，a90，sabcabacsin a2；当c120时，a30，sabcabacsin a所以abc的面积为2或【例6】 在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，c，c30，求ab的最大值错解：因为c30，所以ab150，即b150a由正弦定理，得又因为sin a1，sin(150a)1，所以ab2()2()4()故ab的最大值为4()错因分析：上述解法错误的原因是未弄清a与150a之间的关系，这里a与150a是相互制约的，不是相互独立的量，sin a与sin(150a)不能同时取最大值1，因此所得的结果