高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 两角和与差的三角函数 3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数第2课时学案 北师大版必修4.doc

3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数第2课时两角和与差的正弦函数学习目标重点难点1能利用两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，并记住这两个公式2灵活运用这几个公式解决有关求值、化简问题3记住辅助角公式及特点，并利用这个公式进行三角函数的化简、求值，进而研究三角函数的性质.重点：(1)灵活运用两角和与差的正弦公式解决有关求值、化简问题(2)辅助角公式及应用难点：两角和与差的正弦公式、余弦公式的正用、逆用和变形用疑点：在求值、化简问题中有关角的变换问题.1两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦ssin()_，r两角差的正弦ssin()_，r预习交流1根据公式c的识记规律，你能总结出公式s的记忆规律吗？2推导公式sin_，sin_；cossin ，cossin .3辅助角公式通常把asin xbcos x(a，b不同时为0)写成asin xbcos x_sin(x)的形式，我们把这种形式称为辅助角公式，其中cos _，sin _，角叫作辅助角对辅助角公式的认识和理解：(1)asin xbcos x(a，b不同时为0)中的角x必须为同一个角，否则不成立(2)通过化单角(x)为复角(x)，达到减少函数名称合二为一的目的最终化为一个(复)角的一种三角函数，有利于进一步研究相关性质(3)化简的形式不唯一由于选用的辅助角不一样，所以化简的结果也会不相同，这实际上是由化简过程中采用的公式决定的如f(x)sin xcos x可以写成f(x)2sin，还可以写成f(x)2cos.预习交流2已知函数f(x)sin xcos x.(1)求f(x)的周期与值域；(2)求f(x)的单调递增区间答案：1sin cos cos sin sin cos cos sin 预习交流1：提示：对比公式c的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式s的记忆规律：“正余余正，和差相同”2cos cos 3.预习交流2：解：f(x)222sin.(1)周期t2，值域为2,2(2)由2kx2k，得2kx2k(kz)故f(x)的单调递增区间是(kz)在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点1给角求值化简下列各式：(1)sin 14cos 16sin 76cos 74；(2)sincos.思路分析：本题给出了具体的角求值，根据公式的特点，解答(1)可先用诱导公式再用两角和的正弦公式；(2)可直接用辅助角公式化简求值或化简：(1)cossin；(2)sin 80cos 35sin 10cos 55；(3)sincos；(4).运用公式求值小技巧：解答这类题目一般先要用诱导公式把角化正、化小，化切为弦，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值2给值(式)求值(1)已知，sin()，sin，求sin的值；(2)已知sinsin ，0，求cos 的值思路分析：(1)观察发现()，进而可用s求解；(2)将已知条件展开、化简，即得cos，再利用角的变换.(2011广东高考，文16)已知函数f(x)2sin，xr.(1)求f(0)的值；(2)设，f，f(32)，求sin()的值解决这类问题的关键在于从整体上把握所求的角与已知条件中角的运算关系，具体有以下几种情况：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”如：已知角的相关三角函数值，那么要求角的三角函数值，就可以利用变换得到(3)角的拆分方法不唯一，要注意根据题目合理选择3利用辅助角公式asin xbcos xsin(x)(a，b不同时为零)研究三角函数的性质若函数f(x)(1tan x)cos x,0x.(1)把f(x)化成asin(x)的形式；(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值思路分析：本题关键是对f(x)进行合理化简，然后利用三角函数的相关性质，求单调性及最值1(1)函数f(x)sin xcos x的最小正周期是_；(2)函数f(x)sin xcos x的最小值是_2已知a(，1)，b(sin x，cos x)，xr，f(x)ab.(1)求f(x)的表达式；(2)求函数f(x)的周期、值域、单调区间辅助角公式化简的步骤及应用(1)“提”常数即提取，使asin xbcos x变成.(2)“定”值令cos ，sin 确定辅助角的值(3)用处多利用辅助角公式我们可以进一步研究这类函数的周期、值域、单调性、对称性等很多问题答案：活动与探究1：解：(1)原式sin 14cos 16sin(9014)cos(9016)sin 14cos 16cos 14sin 16sin(1416)sin 30.(2)原式222sin2sin.迁移与应用：解：(1)原式coscos sinsin sincos cossin cos sin cos sin cos .(2)原式sin 80cos 35cos 80sin 35sin(8035)sin 45.(3)原式sinsin.(4)原式cos 45.活动与探究2：解：(1)，2，.故cos()，cos.sinsinsin()coscos()sin.(2)由已知，得sin coscos sinsin ，sin cos .sin cos ，即sin.0，.cos.cos coscoscossinsin.迁移与应用：解：(1)f(0)2sin2sin 1；(2)f2sin2sin ，f(32)2sin2sin2cos ，sin ，cos ，cos ，sin ，故sin()sin cos cos sin .活动与探究3：解：(1)f(x)(1tan x)cos xcos xcos xsin x22sin.(2)0x，f(x)在上是增加的，在上是减少的当x时，f(x)有最大值2.迁移与应用：1.(1)2(2)解析：(1)f(x)sin，最小正周期是2.(2)f(x)sin，最小值是.2解：(1)f(x)ab(，1)(sin x，cos x)sin xcos x(xr)(2)f(x)sin xcos x22sin.t2，值域为2,2由2kx2k(kz)得f(x)的递增区间为，kz；由2kx2k(kz)得f(x)的递减区间为，kz.1对等式sin()sin sin 的认识正确的是()a对任意的角，都成立b只对，取几个特殊值时成立c对于任何角，都不成立d有无限个，的值使等式成立2计算sin 59cos 29cos 59sin 29的结果等于()a. b. c. d.3在abc中，已知sin(ab)cos bcos(ab)sin b1，则abc是()a锐角三角形 b钝角三角形c直角三角形 d等腰非直角三角形4函数f(x)sin xcos x1的最大值是_5(2012安徽重点中学模拟，17改编)已知函数f(x).(1)求函数f(x)的定义域；(2)若f(x)，求sin xcos x的值答案：1d2c解析：原式sin(5929)sin 30.3c解析：已知条件可化为sin a1，又sin a1，sin a1.a.故abc是直角三角形4.1解析：f(x)sin1，故f