高数期末考试试题.pdf

南开大学 2008 级物理类高等数学统考试卷2009 年 1 月 8 日 一 求极限 共三道题 每小题 6 分 1 213 lim 22 nnnn n 2 2 1 0 sin lim x x x x 3 x x x x e 1 1 0 12 lim 二 10 分 求隐函数 xy xexy 2 在 1 0 点的切线方程 三 9 分 求函数 x xxy 1 2 的一阶导数 四 共两道题 每小题 9 分 求下列不定积分 1 dxex x 2 22 1 3 xx xdx 五 共两道题 每小题 9 分 求下列定积分 1 4 0 sin1 x dx 2 1 0 1ln dxx 六 10 分 设 x xtt dt y sin 2 1 求 dx dy 七 10 分 设 eyx 证 yx xy 八 7 分 设 xf在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 且 1 0 ff 证 对 3 2 n存在1 0 21 n 使 n i i f 1 0 南开大学 2009 级物理类高等数学统考试卷2009 年 1 月 8 日 一 计算下列各题 共 30 分 每小题 10 分 1 试求a的值 使函数 0 0 1 sin xea x x x xf x 在0 x处连续 2 设 函 数 xvxu 在 上 可 导 且 0 xxu 求 函 数 xv xuxy s i n 的导数 3 计算不定积分 dxx lnsin 二 求函数 1 2 xxxf在区间 2 0上的最大值和最小值 10 分 三 讨论函数 21 x axf的单调性和凹凸性 其中1 a 10 分 四 计算定积分 dx x xxx 1 1 2 2 2 1 tanarctan 15 分 五 计算极限 2 0 2 0 cos1 sinsin lim x dttx x x 15 分 六 设函数 xf在区间 ba 内可导 证明 函数 xf在区间 ba 内可导 其 中1 七 设函数 xgxf 在闭区间 ba 上连续 且 dxxf b a 0 证明 存在 ba 使 0 dxxfgf a 南开大学 2010 级物理类高等数学统考试卷2011 年 01 月 17 日 一 求下列极限 18 分 9 2 1 ln 1 ln limxxx x 2 2 0 3coscos lim x xx x 二 12 分 6 2 1 求函数 x xy sin 的导数 2 设隐函数 xyy 由方程 xyyx 33 确定 求 dx dy 三 12 分 6 2 求下列不定积分 1 1 xx dx 2 dx xxx x 22 1 23 四 18 分 9 2 计算 1 dx x x x 1 12 23 4 2 arcsin 2 2 0 0 3 0 sin lim x x x tdt dtt 五 12 分 给定曲线92 2 xxy 确定b 使得直线bxy 为该曲线的切线 六 12 分 证明不等式 1 2 1ln 2 x x xx 0 x 七 10 分 设 xf在 ba上连续 在 ba内可导 ba 0 bfaf 证明存在 ba 使得 ln 2 22 f ab a b f 八 6 分 设函数 xf在 上连续 函数dttfxfx x 0 单调递减 证明 0 xxf 南开大学 2011 级物理类高等数学统考试卷2012 年 1 月 9 日 一 求下列极限 20 分 5 4 1 nnnn n 3lim 2 1 3 1 ln1 lim x x x 3 xx x x 1 sin 1 cotlim 0 4 1ln cos1 1 cossin3 lim 2 0 xx x xx x 二 10 分 设函数 xyy 由 23 1ln tty ttx 确定 求 dx dy 三 10 分 求曲线yxyln 在点 1 ee 处的切线方程 四 10 分 求函数 x xxf 在 0 上的最小值 五 10 分 求曲线 1ln 2 x 的凹凸区间和拐点 六 10 分 10 分 5 2 求下列不定积分 1 cosdxx 2 dx x xx 1 arctan 2 2 七 10 分 5 2 计算 1 1 0 1 12 dx x x 2 dxxxx 2 2 223 cossin 八 8 分 设 0 0 0 x x x exg xf x 其中 xg有二阶导数 且1 0 g 1 0 g 1 求 x f 2 讨论 x f 在 上的连续性 九 6 分 设函数 xf在闭区间 1 1 上具有连续的三阶导数 且 0 1 f 0 0 1 1 ff求证 在开区间 1 1 内至少存在一点 使得 3 f 十 6 分 设 xf在 0 aba上连续 且0 dxxf b a 求证 存在 ba 使得 fdxxf a 南开大学 2012 级物理类高等数学统考试卷2013 年 1 月 7 日 一 求下列极限 15 分 5 3 1 nnn n 12lim 2 2 x xx x cos1 11 lim 232 0 3 21ln 11 1 1 arctan lim 232 tan 0 xxxx x x ee xx x 二 10 分 设 xyy 是由方程xydtex y t 1 2 2所确定的隐函数 求 dx dy 及 0 xdx dy 三 10 分 已知参数方程 2arcsin 2sin 2 ty ttx 求 dx dy 四 20 分 10 2 求下列不定积分 1 1 2 arctan dx x e x 2 1ln 2 dx x x 五 20 分 10 2 计算定积分 1 1 1 23 1 1 dxxx 2 2 0 2 sin xdxex 六 10 分 设 0 0 0 x xx xfy x 讨论 xf的连续性 并求单调区间 极值与渐近线 七 5 分 已知 xf为连续函数 且1 0 f 求极限 xx dttxfx x x sin lim 0 2 0 八 5 分 设 xf在 ba上连续 在 ba内可导 且有aaf 2 1 22 abdxxf b a 求证 在 ba内至少有一点 使得1 ff 九 5 分 求 1 2dx ex xe x x 南开大学 2013 级物理类高等数学统考试卷2014 年 1 月 7 日 一 求下列极限 15 分 5 3 1 2 lim 32 n nn n 2 x x x ex 1 0 lim 3 2 0 1ln sin1tan1 lim xxx xx x 二 10 分 设 xyy 是由方程xye yx cos 所确定的隐函数 求 0 x dy 三 10 分 求曲线 tey tex t t cos 2sin 在点 1 0 处的法线方程 四 20 分 10 2 求下列不定积分 1 1 1 dx ex 2 sin sinln 2 dx x x 五 20 分 10 2 计算定积分 1 4 4 sin1 1 dx x 2 1 0 1ln dxx 六 10 分 已知 bxaxxxf 23 在1 x处有极值2 1 试确定系数ba 并求 xfy 的所有极值 凹凸区间和拐点 2 计算由平面区域 0 10 yxfxyxD绕x轴旋转一周所生成的 旋转体的体积 七 7 分 设函数 xf在 3 0 上连续 在 3 0 内有二阶导数 且 2 0 3 2 0 2ffdxxff 证明 存在 3 0 使得0 f 八 8 分 设 0 0 sin 1 0 1 cos 2 coscos1 1 1 lim lim x xf x dx x x x x n n n x n x n xf n n n n 1 讨论 xf在0 x的连续性 可导性 可导时求出导数 0 f 2 求函数 xf在 上的最大值 2014 级一元函数微分统考试卷2014 年 11 月 29 日 一 选择题 每小题 4 分 共 20 分 1 1x 是函数 2 1 1 x f x x 的 间断点 A 可去间断点 B 跳跃间断点 C 第二类间断点 D 以上都不是 2 要使 0 0 0 sin 1 x x x b x xa be xf ax 在 x 0 处连续 a b 的取值为 A a 1 b 1 B a 1 b 0 C a 0 b 1 D a 0 b 0 3 假设 2 1 xxf 则 xff A 232 x B 222 x C 314 x D xx22 2 4 3 0 sin lim 3 x x xx A 1 3 B 1 C 0 D 5 可导的偶函数的导数是 A 偶函数 B 奇函数 C 非奇非偶函数 D 不确定 二 填空题 每小题 4 分 共 20 分 1 请指出间断点的类型 x 0 是函数 1 sinf x x 的 间断点 2 2 lim 1 x x x 3 若 1arctan 2 xxf 则 xf 4 若 1 1 arctan 2 t tf 则 6 f 5 f x 在 a 处可导 导数为 f a 则 h afhaf h 2 lim 0 三 计算下列各题 每小题 5 分 共 20 分 1 求极限 2 1 2 sinlim x x x x 2 求由方程 ln 2yxyxxy 所确定的隐函数 xyy的微分dy 3 一根线长 200 要用它构成一个正方形和一个圆形 问如何分配 才能使它构成 的图形面积和最小 4 设 xf在1 x处连续 且2 1 lim 1 x xf x 求 1 f 四 设 sin xtftx ty 其中f为可导函数 求 dx dy 7 分 五 已知 xf在 内可导 且 limexf x 1 limlim xfxf cx cx x x x 求c的值 7 分 六 设xy 0 1 p 试用微分中值定理证明 11 yxpxyxyxpy pppp 7 分 七 设函数 f x在 0 x处有二阶导数 且 0 lim0 0 2 x f x f x 求 1 0 lim 1 x x f x x 7 分 八 证明方程xxxcos 2 1 4 1 在 内只有两个实根 6 分 九 设函数 f x在 a b内可导 且 fx 单调 求证 fx 在 a b内连续 6 分 2014 级一元函数积分统考试卷2015 年 1 月 19 日 一 选择题 共 6 题 每小题 5 分 共 30 分 1 4 3x xdx A C x 3 arcsin 32 1 2 B C x 3 arcsin 2 1 C 2 arcsin 32 1 x D C x 3 arcsin 2 1 2 2 设 2 1 2 1 0 xfdttf x 则 xf A 2 x e B 2 2 1 x e C x e2 D x e2 2 1 3 xdxxcos A Cxxx cossin B Cxxx cossin C Cxxx cossin D Cxxx cossin 4 3 0 2 0 sin lim x dtt x x A 0 B 1 C 3 1 D 5 设ba 是两个非零向量 则下列命题中必能推出ba 结论的是 A 22 2 baba B baba C bababa D 2 2 22 bababa 6 过空间直角坐标系原点 且法向量为 1 1 1 n 的平面方程是 A 01 zyx B 01 zyx C 0 zyx D 02 zyx 二 填空题 共 6 题 每题 5 分 共 30 分 1 设 xf的一个原函数是xsin 则 dxxf 2 已知 xf的一个原函数为 x xsin 则 dxxf x 2 3 22 ax dx 4 曲线xyln 与两直线 xey 1及0 y所围平面图形的面积是 5 5 5 24 23 12 sin xx xdxx 6 已知 a 4 b 3 求l使得a lb与a lb垂直 三 设 F x是 f x的一个原函数 2 1 4 F 若当0 x 时 有 arctan 1 x f x F x xx 试求 f x 6 分 四 已知函数f x连续 0 1cos x tf xt dtx 求 2 0 f x dx 6 分 五 设 Cxdxxxf arcsin 求 xf dx 6 分 六 计算 2 0 6 sin1 dxxx 6 分 七 计算极限 1ln arctan lim 2 2 0 sin 0 xx dtee x tx x 4 分 八 求函数 dtetxxf t x 0 在区间 1 0 上的最大值和最小值 4 分 九 设函数 f x在 a b上连续且严格单调增加 求证 dxxf ba dxxxf b a b a 2 4 分 十 设函数 f x是 0 1 上的非零连续函数 且 1 0 0f x dx 0 1 0 dxxxf 试证 在区间 1 0内 f x至少有两个零点 4 分 2015 级一元函数微分统考试卷2015 年 11 月 28 日 一 选择题 每小题 6 分 共 24 分 1 函数 0 cos 0 cos xx xx xf在0 x处的左 右极限是 A 左 右极限均为1 B 左 右极限均为1 C 左极限为1 右极限为1 D 左极限为1 右极限为1 2 x ex x sin 1 lim 0 A 0 B 1 C 2 1 D 3 1 x是函数 23 1 2 2 xx x xf的 A 可去间断点 B 跳跃间断点 C 第二类间断点 D 以上都不是 4 设 1 1 3 2 2 2 xx xx xf 则 xf在1 x处 A 左右导数都存在 B 左导数存在 右导数不存在 C 左导数不存在 右导数存在 D 左右导数都不存在 二 填空题 每小题 6 分 共 24 分 1 设 1 x x e e y 则 dy 2 设隐函数 xyy 由方程xyyx ln 2 确定 则 y 3 函数 2 3 xxy在区间 3 0 上的最大值是 4 曲线 2 3 1 1 x x y的斜渐近线是 三 求函数 3 2 xxy的单调区间和极值点 10 分 四 求曲线 x xey 的凹凸区间及拐点 10 分 五 设方程 0 2 sin 123 2 yyt ttex 确定y为x的函数 其中t为参变量 求 0 t dx dy 10 分 六 求 2 0 11 1sin lim x xex x 10 分 七 证明不等式 x x x x 1 2 1 0 x 6 分 八 设 xf在 21 xx上可导 且 21 0 xx 试证 21 xx内至少存在一个 使 21 1221 xx xfxxfx ff 6 分 2015 级一元函数积分学统考试卷2016 年 1 月 5 日 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 设 xfxF 则下列函数中是 dxxf dx d 的原函数的是 A xf B xF C x f D dxxf 2 由1 2 xxf和3 2 xxg所围图形的面积是 A 3 8 B 3 4 C 3 16 D 3 10 3 不定积分 xx dx ln1 等于 A Cx ln1 B Cx ln12 C Cx ln1 2 1 D C x ln1 1 4 定积分 1 1 2 1 sin dx x x 等于 A 0 B 1 C 1 D 二 填空题 每小题 5 分 共 20 分 1 不定积分 dxxe x 2 设Cxedxxf x 则 xf 3 已知 x xdttf 0 32 则 1 0 dxxf 4 定积分 e dx x x 1 ln1 三 计算下列积分 每题 8 分 共 24 分 1 1 2xx ee dx 2 1 0 arctanxdxx 3 2 4 cos1 x dx 四 计算xxf 和xxxgsin 0 x所围图形的面积 8 分 五 计算不定积分dx x x x x 2 2 2 1 1arcsin 8 分 六 设 xf二阶可导 1 0 0 0 ff 求极限 4 0 32 0 lim x dttttf x x 8 分 七 设 f x在 1 0上可导 0 1 0 ff 且在 1 0上Mxf 求证 4 1 0 M dxxf 6 分 八 设 f x在 0 1 上可导 2 0 d x F xt f tt 且 1 1 Ff 证明 至少存在 一点 0 1 使得 2 f f 6 分 2016 级一元函数微分统考试卷2016 年 11 月 12 日 一 选择题 每小题 6 分 共 24 分 1 0 x 是函数 1 x x f x e 的 间断点 A 可去间断点 B 跳跃间断点 C 第二类间断点 D 以上都不是 2 如果函