高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质学业分层测评 新人教B版选修2-1.doc

2.3.2 双曲线的几何性质(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1等轴双曲线的一个焦点是f1(6,0)，则它的标准方程是()a.1b1c.1 d1【解析】设等轴双曲线方程为1(a0)，a2a262，a218，故双曲线方程为1.【答案】b2已知双曲线方程为x21，过p(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l()a4条 b3条c2条 d1条【解析】因为双曲线方程为x21，所以p(1,0)是双曲线的右顶点，所以过p(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点p(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选b.【答案】b3双曲线c：1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线c的焦距等于()a2 b2c4 d4【解析】由已知得e2，所以ac，故bc，从而双曲线的渐近线方程为yxx，由焦点到渐近线的距离为，得c，解得c2，故2c4，故选c.【答案】c4若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()a实半轴长相等 b虚半轴长相等 c离心率相等 d焦距相等【解析】若0k0,16k0，故方程1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c2，离心率e；同理方程1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c2，离心率e.可知两曲线的焦距相等，故选d.【答案】d5双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为()a2 bc. d【解析】双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为yx，即1，e.【答案】c二、填空题6在平面直角坐标系xoy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_. 【导学号：15460041】【解析】c2mm24，e25，m24m40，m2.【答案】27已知f为双曲线c：1的左焦点，p，q为c上的点若pq的长等于虚轴长的2倍，点a(5,0)在线段pq上，则pqf的周长为_【解析】由双曲线方程知，b4，a3，c5，则虚轴长为8，则|pq|16.由左焦点f(5,0)，且a(5,0)恰为右焦点，知线段pq过双曲线的右焦点，则p，q都在双曲线的右支上由双曲线的定义可知|pf|pa|2a，|qf|qa|2a，两式相加得，|pf|qf|(|pa|qa|)4a，则|pf|qf|4a|pq|431628，故pqf的周长为281644.【答案】448设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点a，b，若点p(m,0)满足|pa|pb|，则该双曲线的离心率是_【解析】由得点a的坐标为，由得点b的坐标为，则ab的中点c的坐标为，kab，kcp3，即3，化简得a24b2，即a24(c2a2)，4c25a2，e2，e.【答案】三、解答题9双曲线与椭圆1有相同的焦点，它的一条渐近线为yx，求双曲线的标准方程和离心率【解】由椭圆1，知c2641648，且焦点在y轴上，双曲线的一条渐近线为yx，设双曲线方程为1.又c22a248，a224.所求双曲线的方程为1.由a224，c248，得e22，又e0，e.10已知双曲线1的右焦点为(2,0)(1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x2围成的三角形的面积【解】(1)双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且双曲线方程为1，c2a2b23b24，b21，双曲线的方程为y21.(2)a，b1，双曲线的渐近线方程为yx，令x2，则y，设直线x2与双曲线的渐近线的交点为a，b，则|ab|，记双曲线的渐近线与直线x2围成的三角形的面积为s，则s2.能力提升1已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均与曲线c：x2y26x50相切，则该双曲线的离心率等于() 【导学号：15460042】a. bc. d【解析】圆c的标准方程为(x3)2y24，所以圆心坐标为c(3,0)，半径r2，双曲线的渐近线为yx，不妨取yx，即bxay0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d2，即9b24(a2b2)，所以5b24a2，b2a2c2a2，即a2c2，所以e2，e，选a.【答案】a2设f1，f2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点p，满足|pf2|f1f2|，且f2到直线pf1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()a3x4y0 b3x5y0c5x4y0 d4x3y0【解析】由题意可知|pf2|f1f2|2c，所以pf1f2为等腰三角形，所以由f2向直线pf1作的垂线也是中线，因为f2到直线pf1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|pf1|24b，又|pf1|pf2|2a，所以4b2c2a，所以2bac，两边平方可得4b24aba2c2a2b2，所以3b24ab，所以4a3b，从而，所以该双曲线的渐近线方程为4x3y0，故选d.【答案】d3过双曲线x21的左焦点f1，作倾斜角为的直线ab，其中a，b分别为直线与双曲线的交点，则|ab|的长为_【解析】双曲线的左焦点为f1(2,0)，将直线ab的方程y(x2)代入双曲线方程，得8x24x130.显然0，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，x1x2，x1x2，|ab| 3.【答案】34已知中心在原点的双曲线c的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线c的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线c恒有两个不同的交点a和b，且2，其中o为原点，求k的取值范围【解】(1)设双曲线c的方程为1(a0，b0)，由已知得a，c2.又因为a2b2c2，所以b21，故双曲线c的方程为y21.(2)将ykx代入y21中，得(13k