概率论与数理统计答案 韦俊.pdf

1 目目录录 第一章随机事件极其概率 1 第二章一维随机变量及其分布 5 第三章二维随机变量及其分布 12 第四章随机变量的数字特征 20 第五章大数定律及中心极限定理 25 第六章数理统计的基本定理 29 第七章参数估计 31 第八章假设检验 39 第九章线性统计模型 50 2 第第一一章章随机事件极其概率随机事件极其概率 1 11 1 解 1 正 正 正 反 反 正 反 反 2 3 4 5 6 7 8 9 3 2 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 2 3 1 2 1 1 21 2 解 CBA CBA A BC ABC ABBCCA 1 31 3 解 样本点6 2 1 ii i 点出现表示 531 出现奇数点表示 A 3 5421 整除出现的点数不能被表示 B 32 6432 整除或出现的点数能被表示 BA 32 51 整除整除也不能被出现的点数既不能被表示 BA 6 6 整除出现的点数能被表示 AB 1 41 4 解 若事件A表示抽到的两张都是前 10 号考签 2 50 2 10 C C AP 037 0 1 51 5 解 2778 0 6 3456 1 4 AP 0046 0 6 6 4 0926 0 6 56 3 5556 0 6 456 2 4 4 3 4 4 2 4 EP C DP C BP 3 1 61 6解 74 0 100 30 100 15 100 10 100 6 100 5 100 3 100 2 100 AP 1 71 7 解 方法 1 若设A表示取出的 3 个产品中有次品 i A是取出的 3 个产品中恰有 i 个次品 i 1 2 3 AAAA 123 2526 0 3 50 2 45 1 5 1 C CC AP 0230 0 3 50 1 45 2 5 2 C CC AP 0005 0 3 50 3 5 3 C C AP 276 0 321 APAPAP 方法 2 A就是取出的 3 个产品全是合格品 724 0 3 50 3 45 C C AP276 0 1 APAP 1 81 8 解 基本事件的总数为 2 n 每对恰好排在一起可分为两步 第一步确定各对之间的 排序 共有 n种 然后每对新人内部均有 2 种排序 于是由乘法规则每对每对新人每 对恰好排在一起的排法共有 2n n 种 从而其概率为 2 2 n n n 1 91 9 解 625 0 16 10 AP 1 101 10 解 067 0 10 8 3 AP 1 111 11 解 6 5 1 1 3 10 3 6 C C APAP 1 121 12 解 151052 3030303 P ABP AP BP AB 1 131 13 解 1 A 2 A 3 A分别表示甲 乙 丙三厂生产 C表示次品 则 111 0 020 060 03 236 PC 0 035 1 141 14解 设A表示 考生选出正确答案 B表示 考生会解这道题 则全概率公式 BAPBPBAPBPAP 25 02 018 0 85 0 1 151 15 解 用 321 AAA分别表示 玻璃杯在第一 二 三次掉下时被摔碎 B表示 玻璃 杯被摔碎 则 321211 AAAAAAB 由于 321211 AAAAAA互不相容 所以 321211321211 AAAPAAPAPAAAAAAPBP 4 2131211211 AAAPAAPAPAAPAPAP 992 0 9 08 016 018 06 016 0 1 161 16 解 设事件 B 表示 出现次品 i A表示从第 i 个工厂所进商品 P AP AP AP A 1234 0 20 450 250 1 P B AP B AP B AP B A 1234 0 050 030 010 04 P B 0 20 050 450 030 250 010 10 040 03 1 171 17 解 设 i A分别表示事件 报名表是第i个地区考生的 3 2 1 i B表示 抽到的报 名表是女生的 则 3 1 321 APAPAP 5 1 15 7 10 3 321 ABPABPABP 90 29 332211 ABPAPABPAPABPAPBP 1 181 18 解 设事件A是试验结果呈阳性反应 事件B是被检查者患有癌症 96 0 95 0 004 0 BAPBAPBP 04 0 05 0 996 0 BAPBAPBP 1 BAPBPBAPBP BAPBP ABP 0 0871 故试验结果呈阳性的被检者患癌的可能性不大 要进一步检查才能确诊 2 BAPBPBAPBP BAPBP ABP 0 9998 这表明试验结果呈阴性反应的被检查者未患癌症的可能性极大 1 191 193 2 1 iiAi台不需要工人照看表示第设解 B 表示一小时内至多有一台需要工人照看 9 0 1 AP8 0 2 AP7 0 3 AP 321321321321 AAAAAAAAAAAAP0 902 1 201 20解 1 BP BAP BP BAP BP ABP BPAPBAPABPBPABP BPBAPBPABPABP 5 1 211 21 解 设 i A 第i次取得次品 1 2i 则 12 82 109 P A A 8 45 1 221 22解 0055 0 8 02 0 10 466 106 CP 1 231 23 解 设B 三次射击中恰好有一次命中 C 三次射击中至少有一次命中 i A 第i次命中 i 1 2 3 则 123123123 BA A AA A AA A A 123 CAAA 321321321 AAAPAAAPAAAPBP 0 36 123 P CP AAA 123 1P AAA 321 1AAAP 0 91 1 241 24 解 设设 i A是甲投中i次 i B是乙投中i次 003003 0033 0 70 3 0 60 4 0 027 0 064P A BCC 112112 1133 0 70 3 0 60 4 0 189 0 288P ABCC 221221 2233 0 70 3 0 60 4 0 441 0 432P A BCC 330330 3333 0 70 3 0 60 4 0 343 0 216P A BCC 00112233 0 321P CP A BP ABP A BP A B 6 第第二二章章一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布 2 12 12 12 1 解 的取值为 0 1 2 3 4 5 20 95 20 100 0 C p C 191 955 20 100 1 C C p C 182 955 20 100 2 C C p C 173 955 20 100 3 C C p C 164 955 20 100 4 C C p C 519 595 20 100 5 C C p C 的分布列 012345 P 20 95 20 100 C C 191 955 20 100 C C C 182 955 20 100 C C C 173 955 20 100 C C C 164 955 20 100 C C C 519 595 20 100 C C C 2 22 22 22 2 解 P cbP abP cdP ad 0 1 xxxx 2 32 32 32 3 解 的取值为 1 2 3 4 1 10 1 13 10 1 13 C p C 3 1133 2 13 13169 p 3 3 2 1272 3 132197 p 3 3 2 16 4 132197 p 的分布列 1234 P 10 13 33 169 72 2197 6 2197 分布函数为 01 10 12 13 1033163 23 13169169 163722191 34 16921972197 14 x x F xPxx x x 2 42 42 42 4 解 的分布列 12 P 2 5 3 5 7 所以分布函数为 01 2 12 5 12 x F xPxx x 2 52 52 52 5 解 222 1A nnn 2 1 A 2 62 62 62 6 解 的取值为 1 2 3 4 1 4 1 7 4 1 7 C p C 3 412 2 7 642 p 3 2 424 3 7 6 5210 p 3 2 1 46 4 7 6 5 4210 p 的分布列 1234 p 7 4 42 12 210 24 210 6 2 72 72 72 7 解 设随机变量 表示射中次数 400 0 0 98 p 11399 400 1 0 02 0 98 p C 2 1 0 1 0 997p p p 2 82 82 82 8 解 由题意知 12 1 2 ee 可得2 所以 4 22 22 4 4 3 p ee 2 92 92 92 9 解 由题意知 1 05 5 0 x f x 其它 3 0 13 3 55 p dx 2 102 102 102 10 解 1由1 xx A dx ee 可得 2 A 1ln3 2 0 1211 20ln3 26 xx pXdx ee 3F x 212 arctan x x ttdt e ee 8 2 112 112 112 11 解 11 10 1 222 FABFABAB 21p 11111 arctan1 arctan 1 222 3f x 2 11 1 Fx x 2 122 122 122 12 解 1715p 7 101015 10 222 p 2 5 1 5 0 9938 1 0 9332 0 927 2 10 102 10 9 222 dd pdp 则 d 3 29 2 132 132 132 13 解 706070 60 1 0 158715 9 1010 pp 708570 851 1 5 0 06687 1010 pp 2 142 14 解 250300 25012501 0 9236 35 pp 300300 0 957 75 3535 xx pxxx 即区间为 242 25 357 75 2 152 152 152 15 解 2 4 其中 的概率密度为 156 0 x fx 其它 2 4 4 y F yp ypyp 当 25 4 y 1 F y 所以 125 9 4 0 y yfyFy 其它 2 162 16 解 y a b ya F yp yp ab yp fx dx b yaya fyFyf bb 2 22 2 1 2 y a b b e b 2 172 172 172 17 解 的取值为 2 5 10 17 的分布列 251017 0 20 50 10 2p 2 182 182 182 18 解 2 F yp yp yp y 当0y 1 F y 所以 1 04 4 0 y fyFy 其它 2 192 192 192 19 解 的取值为 0 1 2 002 2 111 0 224 p C 1 2 1 11 1 2 22 p C 220 2 111 2 224 p C 的分布列 012 111 424 p 2 202 202 202 20 解 的取值为 1 2 3 4 5 1 0 9p 2 0 1 0 90 09p 2 3 0 10 90 009p 3 4 0 10 90 0009p 10 45 5 0 10 90 10 0001p 的分布列 12345 0 90 090 0090 00090 0001p 2 212 212 212 21 解 0 0 1 01 4 1 3 12 4 1 2 x x F x x x 3 211 1 1 4 pFF 3 3 112 4 ppp 2 222 222 222 22 解 2 2 1 3 ppp 的取值为 0 1 1 0 3 p 2 1 3 p 的分布列 01 12 33 p 2 232 232 232 23 解 1 4 0 8B 2 4 1111 0 2 0 9984pp 299n 2 22 22 22 28 8 8 8 解 当0 x 0F x 0 当01x 2 0 1 2 x F xxdxx 当12x 1F x 所以 2 2 0 0 1 01 2 1 21 12 2 1 2 x xx F x xxx x 2 22 22 22 29 9 9 9 解 71 11 88 p 即 2 1 3 0 31 8 x dx 所以2 2 2 2 2 30303030 解 0 1 1 21 2 x ce dxc 1 1 0 1 21121 2 x pe dxe 0 0 11 30 22 111 0 1 222 1 0 2 1 1 0 2 x xx x xxx x x xF xe dxe xF xe dxe dxe ex F x ex 当时 当时 2 2 2 2 31313131 解 1当0 x 0F x 0 12 当01x 232 0 12123 463 x F xxxdxxxx 当1x 1F x 所以 32 0 0 463 01 1 1 x F xxxxx x 20 2 0 2 0 392pF 30 10 5 0 5 0 1 0 256pFF 2 322 322 322 32 解 1 2 2 1 cos1 2 axdxa 20 4 p 4 0 12 cos 24 xdx 2 332 332 332 33 解 11A 2 01 2 0 xx f xF x 其它 30 30 7 0 7 0 3 0 4pFF 2 342 342 342 34 解 2 35 2 35 0 9906p 1 241 1 24 0 1075p 1 54 1 54 1 54 2 1 54 10 8764p 73373 7 2 5 1 222 pp 2 2 2 2 3 3 3 3解 20018020010 180118011 0 8665 18189 ppp 2 372 372 372 37 y b a yb Fypypbypf x dx a 13 1 y b a yb fyFyf x dxf aa 第第三三章章二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 3 13 13 13 1 解 34 00 1112 xy kedxdyk 21 34 00 201 02120 9499 xy pdyedx 3 23 23 23 2 解 12 2 24 0 0 4 416 p 1 2 12 24 1 0 4 416 C p 1 2 12 2 2 0 4 416 C p 1 2 12 24 0 1 4 416 C p 12 11 1 1 4 416 p 12 2 10 p 12 11 0 2 4 416 p 12 1 20 p 12 2 20 p 则联合概率分布表为 3 33 33 33 3 解 12 0 00 p 1 3 12 2 6 3 1 0 15 C p C 2 3 12 2 6 3 2 0 15 C p C 1 2 12 2 6 2 0 1 15 C p C 11 32 12 2 6 6 1 1 15 C C p C 12 2 10 p 2 1 012 0 4 16 4 16 1 16 1 4 16 2 16 0 2 1 16 00 14 2 2 12 2 6 1 0 2 15 C p C 12 1 20 p 12 2 20 p 则联合概率分布表为 3 43 43 43 4 解 2 1 1 arctanarctan 2223 xy xy xy f x yFx y 222 6 49xy 2 32 222 0 63 02 3 1649 pdydx xy 其它 21 2326 00 311 22611 xy pdyedxee 3 63 63 63 6 解 1 0 x yD f x yab 其它 3 73 73 73 7 解 12 联合概率分布表为 2 1 012 00 2 15 1 15 1 3 15 6 15 0 2 3 15 00 2 1 012 0 4 16 4 16 1 16 15 所以 3 3 3 3 8 8 8 8 解 1 1 0 10 40 1 4 p 1 0 20 40 2 2 p 1 0 30 40 1 4 p 1 1 10 60 3 2 p 1 1 20 60 1 6 p 1 1 30 60 2 3 p 0 10 20 11 201 10 30 32 p p p 3 93 93 93 9 解 23 00 116 xy AedxdyA 2当0 x 时 00fxdy 1 4 16 2 16 0 2 1 16 00 1 012 p 9 16 6 16 1 16 2 012 p 9 16 6 16 1 16 123 0 1 10 2 10 1 10 1 3 10 1 10 2 10 16 当0 x 时 232 0 62 xy x fxedye 所以 2 2 0 0 0 x ex fx x 当0y 时 00fydx 当0y 时 233 0 63 xy y fyedxe 所以 3 3 0 0 0 y ey fy y 3 103 10 解 222 2 1 1 0 xya f x ya 其它 2当xa 时 00fxdy 当xa 时 22 22 22 22 12 ax ax fxdyax aa 所以 22 2 2 0 axaxa fxa 其它 当ya 时 00fydx 当ya 时 22 22 22 22 12 ay ay fxdxay aa 所以 22 2 2 0 ayaya fya 其它 2222 22 1 32 0 ayxay f x y x fay y fy 其它 2222 22 1 2 0 axyax f x y y f ax x fx 其它 3 113 11 解 当0 1xx时 00fxdy 当01x 时 12 x x fxdyx 所以 2 01 0 xx fx 其它 17 当1 1yy时 00fydx 当10y 时 1 11 y fydxy 当01y 时 11 1 y fydxy 所以 1 10 1 01 0 yy fyyy 其它 3 123 123 123 12 1当0 1xx时 00fxdy 当01x 时 1 0 222 x fxdyx 所以 2 1 01 0 xx fx 其它 当0 1yy时 00fydx 当01y 时 1 0 222 y fydxy 所以 2 1 01 0 yy fy 其它 2 f x yfx fy 所以不独立 3 133 13 解 当0 1xx时 00fxdy 当01x 时 3 0 84 x fxxydyx 所以 3 4 01 0 xx fx 其它 当0 1yy时 00fydx 当01y 时 1 3 844 y fyxydxyy 所以 3 44 01 0 yyy fy 其它 因为 f x yfx fy 所以不独立 3 143 14 解 01 0 0 y exy f x yfx fyf x y 其它 3 153 15 解 1 2 1 0 2 0 0 x ex fx x 1 3 1 0 3 0 0 y ey fy y 当0z 时 0 Z fz 当0z 时 18 11 32 0 11 3636 0 11 23 1 1 6 z xzzx Z zz zxz fzfx fzx dxeedx eedxee 所以 36 1 0 0 zz z eez fz 其它 3 163 16 解 23 00 116 xy AedxdyA 6 2 3 23 3 00 260 983 x xy pdxedy 23 23 11 0 0 3 6 0 xy xy xy eexy F x yedxdy 其它 3 173 173 173 17 解 3 183 183 183 18解 1当0 x 时 00fxdy 当0 x 时 222 0 42 xyx fxxyedyxe 所以 2 2 0 0 0 x xex fx x 时 222 0 42 xyy fyxyedxye 所以 2 2 0 0 0 y yey fy y 2因为 f x yfx fy 所以独立 3 193 19 解 01 p 11 21 10 21 01 p 14 21 7 21 0123 10 3 8 3 8 0 19 3 203 20 解 222 22 224 3 22 00 4 11 0 5 22 xyr x pdxedyderdr 3 213 21 解 12 2 01 65 1 372 x xy pdxxdy 3 223 22 解 1 5 00 2 0 x fx 其它 5 25 00 2 0 0 y exy f x yfx fy 其它 2 0 2 5 00 250 3679 x y pxdxedy 3 233 23 解 222 1120 1625 A dxdyA xy 222 20 2 1625 1111 arctanarctan 4252 xy F x ydxdy xy xy 3 243 243 243 24 解 当0z 时 0 Z fz 当0z 时 222 222 22 2 222 22 00 11 1 22 xyrz z Z xyz Fzedxdyderdre 所以 2 2 2 1 0 2 0 0 z zz ez fzF z z 3 253 253 253 25 解 当0 1zz时 0 Z fz 当01z 时 3 1 8 00 1 8 20 3 1 00 01 0 3 333 22 zxx Z zx z x y zxy x zz Fzxdxdydxxdydxxdy 所以 2 3 1 01 2 0 zz zz fzF z 其它 3 263 26 解 当0 1xx时 00fxdy 当01x 时 1 0 42fxxydyx 所以 2 01 0 xx fx 其它 当0 1yy时 00fydx 当01y 时 1 0 42fyxydxy 所以 2 01 0 yy fy 其它 因为 f x yfx fy 所以独立 3 3 27 27 解 证明 由 12 XPYP 可知Z取一切非负整数 且 p Zkp XYk 0 1 2 k 0 k i p Xi Yki 0 k i p Xip Yki 12 12 0 ik i k i ee iki 1212 0 ik i k i e iki 12 12 0 1 k ik i i k e ikik 12 12 k e k 即 12 ZXYP 21 第第四四章章随机变量的数字特征随机变量的数字特征 4 14 1 解 3 1 4 1 2 12 1 1 6 1 2 1 6 1 0 3 1 1 XE 3 2 1 3 1 1 1 XEXE 24 35 4 1 2 12 1 1 6 1 2 1 6 1 0 3 1 1 222222 XE 4 24 2 解 由题知 9 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 XPXP XPXP XPXPXPXP 解之得 5 0 1 1 0 0 4 0 1 XPXPXP 4 34 3 解 引入随机变量 i X 22 1 i 0 i X 在第 层有乘客下电梯 否则 则 i X01 P m n 1 1 m n 1 1 1 又 n i i XX 1 且 n XXX 21 相互独立 故 m n i i n n nXEXE 1 1 1 4 44 4 解 3 1 1 2 1 0 dxxxdxxxfXE 4 54 5 解 00 2 22 2 dxxedxxeXE xx 3 1 0 3 0 22 dxedxeeeE xxxx 4 64 6 解 设球的直径为Y 则球的体积为 6 1 3 YX 由于Y在 ba上均匀分布 故 24 1 6 6 6 1 22333 babady ab yYEYEXE b a 4 74 7 解 设第i个人摸到红球数为 2 1 niXi 则n个人总共摸到红球数为 n i i XX 1 且 i X相互独立 由于 2 1 0 2 5 2 2 2 5 1 3 1 2 2 5 2 3 C C XP C CC XP C C XP iii 所以 36 0 8 0 ii DXXE 从而 nXDXDnXEXE n i i n i i 36 0 8 0 11 4 84 8 解 由题意知试开次数 X 的分布为 2 1 1 ni n iXP 故 2 11 1 n n iXE n i 23 2222 1 22 11 2 1 21 1 1 6412 n i n D XE XE Xi n nnnn 4 94 9 解 利用 X 与 Y 相互独立知 4 6 3 2 2 1 05 5 dyeyxdxxEYEXXYE y 4 104 10 解 由定义知 0 1 1 1 12 dx x xXE 1 02 2 2 1 1 2222 1 2 1 1 dx x x dx x xXEXEXEXD 直接计算得 4 1 1 02 2 dx x x 所以 2 1 XD 4 114 11 解 4 3 4 1 2 1 42 0 4 0 2 dyeydxexYEXEYXE yx dyeydxexYEXEYXE yx 0 42 0 222 4322 32 32 8 5 8 3 1 4 2 31 2 4 124 12 解 设 i X为第i次掷出的点数 则点数之和为 12 1i i XX 并且 i X相互独立 由此 可知 12 1 12 1 i i i i XDXDXEXE 由于 6 2 1 6 1 kkXP i 所以 12 35 12 136 2 7 2 16 ii XDXE 从而 35 12 35 12 42 2 7 12 XDXE 4 134 13 解 由定义知 24 0 6 0 6 0 21 0 7 0 7 0 6 0 4 02 0 1 3 01 0 0 7 0 4 03 0 1 2 01 0 0 222 222 YEYEYD XEXEXD pyYE pxXE ij ji j ij ji i 24 02 0 7 06 04 07 06 0 cov ji ijji pyxYEXEXYEYX 09 0 24 0 21 0 02 0 cov YDXD YX XY 4 144 14 解 由定义知 22 00 1 8 E Xxxy dxdy 2222 22 0000 22 22 22 0 00 11 88 1117 8246 xxy dxdydxxxy dy x yxydxxx dx 同理可算 6 7 YE 3 5 4 1 8 1 8 1 2 0 23 2 0 2 0 23 2 0 2 0 22 dxxx dxdyyxxdxdyyxxXE 所以 36 11 6 7 3 5 222 XEXEXD 同理可算得 36 11 YD 由于 3 4 8 1 8 1 2 0 2 0 23 2 0 2 0 dxdyxyyxdxdyyxxyXYE 所以 36 1 36 49 3 4 cov YEXEXYEYX 从而 11 1 cov YDXD YX XY 4 154 15 解 利用 X 与 Y 相互独立 2 0020101 2 2 2 2 22 2222 22222 YEXEEYYDEXXDYEXEYEXE XYEYEXEXYYXEYXE 4 164 16 解 由于 cov 2 YXYDXDYXD 2 YDXDYDXD XY 所以8536254 023625 YXD 类似地 2 YDXDYDXDYXD XY 所以 3736254 023625 YXD 25 4 174 17 解 设 2 1 0 1 ni ii Xi 否则 号盒内号球放入第第 则 1 1 n XP i 因此 1 n EXi 由于 n i i XX 1 所以1 1 n i i EXEX 4 184 18 解 由 YX的分布律易算得 0 0 0 ji ijj ji iji ji ijji pyYEpxXEpyxXYE 故 0 cov YEXEXYEYX 从而知 X 与 Y 是不相关的 但由于 8 3 1 8 3 1 8 1 1 1 YPXPYXP 可得 1 1 1 1 YPXPYXP 故 X 与 Y 不是相互独立的 4 194 19 解 由于X和Y相互独立 且都服从正态分布 0 2 N 所以 cov 22222 22222222 baYDbXDa EYbEXaYEbXEa bEYaEXbEYaEXbYaXbYaXE VEUEUVEVU 22222 baYDbXDaUD 22222 baYDbXDaVD 从而得 cov 22 22 ba ba VDUD YX UV 4 204 20解 X的k阶原点矩 0 1 dxexXE x kk 作变量替换t x 则dtdx 得 0 dtetXE tkkk 1 k k k k 26 第第五五章章大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理 5 15 1 解 设X表示n次重复独立试验中事件A出现的次数 则 8 0 nBX A出现的频 率为 X n 0 8 0 8 0 20 16E Xn D Xnn 则 22 0 790 810 80 01 0 16 11 0 01 0 0001 1600 1 X PP Xnn n D Xn nn n 由题意得 95 0 1600 1 n 32000 n 27 可见做 32000 次重复独立试验中可使事件A发生的频率在 0 79 0 81 之间的概率至 少为 0 95 5 25 2 解 证明 随机变量的数字特征为 11 0 22 k E Xlnklnk 2 11 22 kk D XEXLnkLnkLnk 1 1 0 n nk k E XEX n 222 1 11 12 n nk k nLnn D XD XLnLnLnnLnn nnnn 对于任意给定的正数 由切比雪夫不等式知 22 11 0 nn Lnn P XD X n 2 1 limlim0 n nn Lnn P X n 所以 n X服从大数定律 5 35 3 解 证明 任给n n aXb 则 当a x 故 0 n P Xbn 若 ba 则 28 0 n n ba P Xbn ba 所以任给 0b P n Xb 从而证得 5 45 4 解 记 i nXi 检查灯泡的数量 第 个灯泡的寿命 则 2 2250 250 ii E XD X 记X 检查灯泡的总寿命 则 2 2250 250E Xn D Xn 则通过检查的概率为 220012200P XnP Xn 22002250 10 997 250 nn n 即 1 2 75189 06 5 nn 因此 要使检查通过的概率不小于 0 997 应至少检查 190 只灯泡 5 55 5 解 记 12100 i Xii 第 个加工产生的误差 则 12 1 0 ii XDXE 记S 100 次计算产生的误差 则 S 100 1 100 i i X 则 1 0 1200 E SD S 根据中心极限定理得 3 33 20 212310 9974 12020 1200 PS 查表得 1 280 90 所以 0 98614 1 28 1000 0 013804 a a 可得19a 5 75 7 解 设第k位顾客的消费额为 1 2 10000 k Xk 商场日销售额为X 则 10000 1 k k XX 因为 k X在 1001000 上服从均匀分布 所以 2 2 1000 1001900 100 1000550 21212 kk E XD X 日平均销售额和销售额方差分别为 10000 5 k k 1 10000 55055 10E XE X 2 10000 k k 1 900 10000 12 D XD X 12 10000 k Xk 由于 独立同分布 由列维定理 有 55 5 5 55 102000055 1020000 2000055 1020000 2000055 1020000 100 90000 900100 900 121212 20000 2120 7710 56 100 900 12 PX PX X P 30 5454 55 102 10 55 102 100 56 因此 日销售额在 的概率为 5 5 8 8解 设 ii YX 分别表示在第i个小单元内 轰炸机和歼击机被打下的架数12 50 i 其分布规律分别为 00 6 10 4 1 2 50 ii P XP Xi 00 3 10 5 20 2 1 2 50 iii P YP YP Yi 数学期望和方差分别为 0 40 240 90 491 2 50 iiii E XD XE YD Yi nn XY设 分别表示在一次空战中轰炸机以及歼击机被打下的架数 则有 5050 11 nini ii XXYY 150150 XXYY 因为 是相互独立的随机变量 所以 5050 11 50 0 420 50 0 2412 nini ii E XE XD XD X 5050 11 50 0 945 50 0 4924 5 nini ii E YE YD YD Y 由列维定理知 50 1 50 1 20 12 45 24 5 ni i ni i XXN YYN 近似服从正态分布 近似服从正态分布 1 事件 空战中 有不少于 35 的轰炸机被打下 即50 35 n X 则 50 35 17 201720 1212 10 8660 8660 806 nn n P XP X X P 2 记M为歼击机被打下来的最大架数 则得 31 4504545 0 24 524 524 5 4545 24 524 5 n n YM PYMP M 4545 9 0900 90 24 524 5 M 而 于是 查表得 45 1 28 24 5 M 因为M为正整数 且51 34M 所以取52M 第第六六章章数理统计的基本定理数理统计的基本定理 6 16 1 解 1 20 25 2 1 165 6 26 2 解 1 2 3 10 NX 2 0 261 6 36 3 解 95 0 635 1 2 54 6 2 6 1 6 1 i i i i X PXP 6 46 4 解 1 3 325 2 2 088 3 27 488 4 6 262 6 56 5 解 1 2 228 2 1 813 3 1 813 4 2 764 32 6 66 6 解 1 3 23 2 39 3 1 3 85 2 1 4 2 06 6 76 7 解 1 n d Ld 这说明Lln是随 的增加而增加的 由于 n xxx 21 均大于等于 所以要使Lln最 大 只须 最大 而 max12 min n x xx 此值即为 的极大似然估计 即 12 min n x xx 2 直接求 XE 0 1 dyeydxexXE yx 由矩估计法 这里 已知 故 的矩估计为 1 X 1 1 n i i X n X其中 7 87 8 解 设随机变量1 XY因为 1 2 NX所以 0 2 NY dyeyYEXE y 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 0 22 0 2 2 2 2 yy edyey 1 11 1 1 22 n i i EXnE X nn 因为样本 i X与总体X同分布 故 n i i X n 1 1 21 为 的无偏估计 7 97 9 解 2 2 2 2 XEXEE所以 是 的无偏估计量 由于 max 21 nL XXX 而 n XXX 21 独立与总体X同分布 由已知 35 0 UX 所以 0 0 1 其他 x xf 1 0 0 0 x x x x xF 21 n xxx zFzFzFzFzF n 1 1 0 0 n n n z nz fzFznFzf z 其他 11 1 0 1 1 0 n n z n n dz z nzE n nn n L 因为 L E 所以 L 不是无偏估计 7 107 10 解 设 4min4 3 4 max 3 4 31 2 31 1 NXMX i i i i 由于 0 0 0 1 x x x x xF 故统计量M的分布函数为 0 0 0 1 33 x x x x xFxFM 而统计量N的分布函数为 0 0 0 1 1 1 1 1 33 x x x x xFxFN 从而 i i i i XNXM 3131 min max 的密度函数分别为 其他0 0 3 3 2 x x xfM 其他0 0 1 3 2 x x xfN 故 4 33 3 2 0 dx x xME 36 4 1 1 3 2 0 dx x xNE 因此 4 3 4 2 1 NEEMEE 故 2 1 均为无偏估计 80 3 4 3 3 22 3 2 0 222 dx x xMEMEMD 80 3 4 1 1 3 222 0 222 dx x xNENEND 因此 15 1 80 3 9 16 9 16 3 4 22 1 MDMDD 5 3 80 3 16 16 4 22 2 NDNDD 由于 2 1 DD 所以 2 1 较更有效 7 117 11 解 设一组样本值为 21n xxx 似然函数为 1 1 21 n i i x nnn n exxxxL ln 1 lnln ln 1 21 n i in xxnnnxxxL 令 0 ln 11 n i i n i i xnx n d Ld 得即为 的极大似然估计值 将样本值以样本随机 变量替代 则得 的极大似然估计量为 1 n i i nX 7 127 12 解 n i i X n XT 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 n n XE n TE n i i 1 1 1 242 1 22 n n XEXEXE n XE n TE n n i i 故 21 T T均是 的无偏估计量 2 2 4 1 2 4 1 2 1 2 2 22 2 1 1 n n n XnD n X n DTD n i i 37 1 1 2 2 1 22 n XnD n X n DTD n i i 故 21 TDTD m n m db TDd 故当ba nm b4 4 1 时 TD最小 即此时估计量T最有效 7 147 14 解 的置信区间为 1 1 025 0 025 0 n S ntx n S ntx 而 1259 12751250 5 1 5 xn 4 570 12591275 12591250 15 1 222 S 于是 2 570 5 339 14 4 5 S n n 查t分布表得 0 025 4 2 78 t 故 8 14339 5 78 2 1 2 n S nt 38 2 1244 8 141259 1 2 n S ntx 8 1273 8 141259 1 2 n S ntx 于是温度真值 的置信区间为 1244 2 1273 8 7 157 15 解 因为 01 0 2 NX 所以方差 2 巳知 求数学期望 的置信区间 125 2 X 01 0 1 0 16 n查标准正态分布表 得 645 1 05 02 uu 有 置信上限为 121 2 05 0 u n x 置信下限为 129 2 05 0 u n x 因此 的置信区间为 129 2 121 2 7 167 16 解 因为 2 未知 故只用t分布 此时 01713 0 125 2 sx 1 0 16 n查t 分布表 得 753 1 15 1 05 0 2 tnt 有 置信上限为 118 2 15 05 0 t n s x 置信下限为 133 2 15 05 0 t n s x 因此 的置信区间为 133 2182 1 7 177 17 解 由于 2 均未知 故选随机变量 1 nt nS X t 从而有 95 0 8 025 0 t nS X P 由9 n查t分布表得 31 2 8 025 0 t算得6 x 33 0 8 1 2 9 1 2 xxS i i 得 的置信区间为 44 6 56 5 8 8 025 0025 0 n S tx n S tx 7 187 18 解 已知方差 16 2 且为 16 N总体 应选随机变量 39 1 0 N n X U 已知 95 0 1 故有 1 2 UUP即 95 0 025 0 UUP 查表得 96 1 025 0 u置信区间为 025 0025 0 n ux n ux 置信区间长度 2 025 0 n uL 问题要求 2 1 L由此得2 196 1 2 n 所以 171 2 1 1696 1 2 2 1 96 1 2 2 22 2 n 故至少应抽查171名男生的身高 7 197 19 解 由已知条件 选随机变量U 1 0 N n X U 而 99 0 1 置信区间为 005 0005 0 n ux n ux 查标准正态分布表 得 166 4 400 57 2 005 0 xnu 算得置信区间为 400 4 57 2 166 400 4 57 2 166 514 166 486 165 5 57 2 166 5 57 2 166 7 207 20 解 05 0 73 75 10 2 Sn查 2 分布表 有 70 2 9 0 19 9 2 975 0 2 025 0 2 的置信限为 置信下限 87 35 0 19 73 759 9 1 2 025 0 2 Sn 置信上限 433 252 70 2 73 759 9 1 2 975 0 2 Sn 于是 2 的置信度为 0 95 的置信区间为 433 252 87 35 易得 的置信度为 0 95 的置信区间为 888 15 989 5 40 7 217 21 解 选 1 1 2 2 2 2 n Sn 因为 95 01 取双侧置信区间 使 95 0 2 2 1 查标准正态分布表 得 96 1 025 0 u 计算U值 75 1 40 6 7 5 78 4 76 U 因为96 175 1 故可以认为这届学生的语文水平和历届学生相比不相上下 8 28 2 解 本题是已知方差 检验均值 是否等于 8kg 的问题 因为有 50 条样本 比较大 因 此总体可近似为正态分布 5 0 8 00 2 kgkgN 题中待检验假设为 8 0100 HkgH 在 0 H成立条件下 选检验统计量 1 0 0 0 N n X U 01 0 得此问题的否定域为 005 0 005 0 01 0 uUuUR 或 查标准正态分布表 得 575 2 005 0 2 uu 由样本数据 得 5 0 50 8 7 0 nx 算得U值为83 2 50 5 0 0 88 7 U 由于575 283 2 故拒绝 0 H 从而认为这批抗菌素的某项指标与 23 0 有显著的差 异 即该日生产不正常 8 48 4 解 在 0 H成立条件下 1 0 0 0N n X 已知 1 1 2 2 2 n Sn 也就是 1 2 2 2 n Q 且相互独立 故 1 0 1 1 2 2 t Q nnX n Q n X T 故应填 1 Q nnX T 8 58 5 解 由题意知要检验的假设为 22 0 2 1 22 0 2 0 048 0 048 0 HH因为 未知 用 2 检验法 故统 计量为 2 0 2 2 1 Sn 在 0 H成立的条件下 1 22 n 这里05 0 9 n 查 2 分布表 有 5 17 8 1 2 025 0 2 2 n 18 2 8 1 2 975 0 2 2 1 n由样本值计算得 003653 0 2 S由此得 2 2 22 0 1 0 029224 12 684 0 048 nS 因5 17684 1218 2 故接受 0 H即认为这批维尼龙纤度的方差没有显著性的变化 8 68 6 解 本题