辽宁省丹东市高考数学一模试卷 理（含解析）.doc

2016年辽宁省丹东市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合p=x|1x2，q=x|x22x0，若u=r，则puq=（）a0，2b（0，2c（1，2d1，22已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）a +ibic+idi3等差数列an中，a2=5，a4=9，则an的前5项和s5=（）a14b25c35d404在平面直角坐标系中，o为坐标原点，直线l：xky+1=0与圆c：x2+y2=4相交于a，b两点， =+若点m在圆c上，则实数k=（）a2b1c0d15若x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为（）ab1c2d36运行如图所示的程序框图后，输出的m值是（）a3bcd27如图，一个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转一周，它的最低点p0离地面2m，p0op1=15，摩天轮上的一个点p从p1开始按逆时针方向旋转，则点p离地面距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）abcd8随机变量a服从正态分布n（1，2），且p（0a1）=0.3000已知a0，a1，则函数y=ax+1a图象不经过第二象限的概率为（）a0.3750b0.3000c0.2500d0.20009某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）abcd10已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，且当x0时，f（x）=x2+ax1a，若函数f（x）为r上的单调减函数，则a的取值范围是 （）aa1b1a0ca0da111点s，a，b，c在半径为的同一球面上，abc是边长为的正三角形，若点s到平面abc的距离为，则点s与abc中心的距离为（）abcd112若存在x0（0，1），使得（2x0）e2+x0，则实数a的取值范围是（）a（ln3，+）b（1，+）c（，+）d（0，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13若cos2（+）=，则sin2=14平面向量与的夹角为60，=（0，3），|=2，若r，则|+|的最小值是15如图，f1，f2是双曲线c：的左右焦点，过f1的直线l与c的左、右两支分别交于b，a两点若abf2为等边三角形，则双曲线的离心率为16在正项等比数列an中，a6+a7=3，则满足a1+a2+ana1a2an的最大正整数n的值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在abc中，角a、b、c分别是边a、b、c的对角，且3a=2b，（）若b=60，求sinc的值；（）若，求cosc的值18如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，ad=2，ab=1，e、f分别是线段ab、bc的中点（）证明：pffd；（）若pb与平面abcd所成的角为45，求二面角apdf的余弦值；19某工厂新研发的一种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下6组数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（件）908483807568（）若90x+y100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为x，求x的数学期望；（）求y关于x的线性回归方程，并用回归方程预测在今后的销售中，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润l=销售收入成本）附：线性回归方程中系数计算公式：，其中、表示样本均值20已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆m的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点a与左右两焦点f1，f2构成的三角形中面积的最大值为（）求椭圆m的标准方程；（）若a与c是椭圆m上关于x轴对称的两点，连接cf2与椭圆的另一交点为b，求证：直线ab与x轴交于定点p，并求的取值范围21已知函数f（x）=2ex（xa）2+3，g（x）=f（x）（）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？（）当a1时，证明：g（x）在0，+）有唯一零点；（）当x0时，f（x）0，求实数a的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，正方形abcd边长为2，以d为圆心、da为半径的圆弧与以bc为直径的半圆o交于点f，连结cf并延长交ab于点e（1）求证：ae=eb；（2）求effc的值选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是，圆c的极坐标方程是=4sin（）求l与c交点的极坐标；（）设p为c的圆心，q为l与c交点连线的中点，已知直线pq的参数方程是（t为参数），求a，b的值选修4-5：不等式选讲24已知实数a，b，c满足a0，b0，c0，且abc=1（）证明：（1+a）（1+b）（1+c）8；（）证明：2016年辽宁省丹东市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合p=x|1x2，q=x|x22x0，若u=r，则puq=（）a0，2b（0，2c（1，2d1，2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：q=x|x22x0=x|x2或x0，uq=x|0x2，则puq=x|0x2，故选：b2已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）a +ibic+idi【考点】复数的基本概念【分析】把等式z（1+i）=1两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简复数z，求出z后可得z的共轭复数【解答】解：由z（1+i）=1，得，=故选：a3等差数列an中，a2=5，a4=9，则an的前5项和s5=（）a14b25c35d40【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式求解【解答】解：等差数列an中，a2=5，a4=9，an的前5项和：s5=35故选：c4在平面直角坐标系中，o为坐标原点，直线l：xky+1=0与圆c：x2+y2=4相交于a，b两点， =+若点m在圆c上，则实数k=（）a2b1c0d1【考点】直线与圆相交的性质；平面向量的基本定理及其意义【分析】设ab的中点为d，有=+=2，即圆心到直线的距离等于半径的一半，由点到直线的距离公式列方程解出实数k的值【解答】解：设ab的中点为d，有=+=2，|=2|=r=2，|=1由点到直线的距离公式得1=，解得k=0，故选：c5若x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为（）ab1c2d3【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分abc）由z=2xy得y=2xz，平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2xz经过点c时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大由，解得，即c（1，）将c的坐标代入目标函数z=2xy，得z=2=即z=2xy的最大值为故选：a6运行如图所示的程序框图后，输出的m值是（）a3bcd2【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出前几次循环得到的m，i的值，观察规律可知，m的取值周期为4，由于2016=5044，可得当i=2017时不满足条件i2016，退出循环，输出m的值为2【解答】解：模拟执行程序，可得m=2，i=1满足条件i2016，m=3，i=2满足条件i2016，m=，i=3满足条件i2016，m=，i=4满足条件i2016，m=2，i=5观察规律可知，m的取值周期为4，由于2016=5044，可得满足条件i2016，m=，i=2016满足条件i2016，m=2，i=2017不满足条件i2016，退出循环，输出m的值为2故选：d7如图，一个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转一周，它的最低点p0离地面2m，p0op1=15，摩天轮上的一个点p从p1开始按逆时针方向旋转，则点p离地面距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）abcd【考点】在实际问题中建立三角函数模型【分析】根据选择项设出函数的解析式，利用待定系数法结合三角函数的图象和性质求出a，和的值即可【解答】解：由选项设y=acos（x+）+k摩天轮12分钟旋转一周，则函数的周期t=12，即=12，则=，排除a，b最小值2，最大值为36+2=38，即a+k=38，a+k=2，得k=20，a=18，即y=18cos（x+）+20，当p0op1=15，对应的时间x=，函数取得最小值2，即18cos（+）+20=2，cos（+）=1，则+=2k，则=2k，kz，则当k=0时，=，即y=18cos（x）+20=18cos（x）+20，故选：d8随机变量a服从正态分布n（1，2），且p（0a1）=0.3000已知a0，a1，则函数y=ax+1a图象不经过第二象限的概率为（）a0.3750b0.3000c0.2500d0.2000【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】随机变量服从正态分布n（1，2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果【解答】解：y=ax+1a图象不经过第二象限，1a1，a2，随机变量服从正态分布n（1，2），且p（0a1）=0.3000，p（1a2）=0.3000，p（a2）=0.2000，函数y=ax+1a图象不经过第二象限的概率为=0.2500，故选：c9某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）abcd【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体一个直三棱柱截去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：由三视图得该几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥所得的组合体，其中截面是平面abc，且棱柱和棱锥底面是俯视图：等腰直角三角形，两条直角边是2，棱柱高为2，棱锥的高是2，底面面积s=22=2，几何体的体积v=，故选：c10已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，且当x0时，f（x）=x2+ax1a，若函数f（x）为r上的单调减函数，则a的取值范围是 （）aa1b1a0ca0da1【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数奇偶性的性质，结合函数单调性的关系进行求解即可【解答】解：函数f（x）是奇函数，f（0）=0，若函数f（x）为r上的单调减函数，则满足当x0时，函数为减函数，且当x=0时，1a0，此时，即，即1a0，故选：b11点s，a，b，c在半径为的同一球面上，abc是边长为的正三角形，若点s到平面abc的距离为，则点s与abc中心的距离为（）abcd1【考点】点、线、面间的距离计算【分析】设abc的外接圆的圆心为m，协s作sd平面abc，交mc于d，连结od，os，过s作mo的垂线se，交mo于点e，由题意求出mc=mo=1，从而得到me=sd=，进而求出md=se=，由此能求出点s与abc中心的距离【解答】解：如图，点s、a、b、c在半径为的同一球面上，点s到平面abc的距离为，ab=bc=ca=，设abc的外接圆的圆心为m，过s作sd平面abc，交mc于d，连结od，os，过s作mo的垂线se，交mo于点e，半径r=mc=1，mo=1，sdmc，memc，mesd是矩形，me=sd=，md=se=，sm=故选：b12若存在x0（0，1），使得（2x0）e2+x0，则实数a的取值范围是（）a（ln3，+）b（1，+）c（，+）d（0，+）【考点】函数单调性的性质【分析】由存在x0（0，1），使axln（2+x）ln（2x）能成立，0x1令f（x）=ln（2+x）ln（2x），则 axf（x）能成立，故a大于或等于f（x），再根据f（x）的单调递增，且f（0）=1，从而求得a的范围【解答】解：存在x0（0，1），使得（2x0）e2+x0，1，ax0ln（2+x0）ln（2x0），即 axln（2+x）ln（2x）能成立，0x1令f（x）=ln（2+x）ln（2x），则 axf（x）能成立（0x1），故直线y=ax不能恒在函数y=f（x）的下方，故直线y=ax的斜率a大于或等于f（x）则f（x）=+=1，f（x）在（0，1）上单调递增x（0，1），f（x）是增函数，又f（0）=1，f（x）0，故 a1，故选：b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13若cos2（+）=，则sin2=【考点】二倍角的正弦【分析】由条件利用半角公式求得sin2的值【解答】解：cos2（+）=sin2=，则sin2=，故答案为：14平面向量与的夹角为60，=（0，3），|=2，若r，则|+|的最小值是【考点】平面向量数量积的运算【分析】对|+|取平方，将问题转化为求关于的二次函数得最值问题解决【解答】解： =3， =32cos60=3|+|2=92+6+4=9（+）2+3当时，|+|2取得最小值3|+|的最小值为故答案为：15如图，f1，f2是双曲线c：的左右焦点，过f1的直线l与c的左、右两支分别交于b，a两点若abf2为等边三角形，则双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】设abf2的边长为m，则由双曲线的定义，abf2为等边三角形，可求m的值，在af1f2中，由余弦定理，可得结论【解答】解：设abf2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|bf1|=m2a|af1|=2m2a|af1|af2|=2a2m2am=2am=4a在af1f2中，|af1|=6a，|af2|=4a，|f1f2|=2c，f1af2=60由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）226a4ac=a=故答案为：16在正项等比数列an中，a6+a7=3，则满足a1+a2+ana1a2an的最大正整数n的值为12【考点】等比数列的前n项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n项和【分析】设正项等比数列an首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+an及a1a2an的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案【解答】解：设正项等比数列an首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为an=2n6记tn=a1+a2+an=，sn=a1a2an=25242n6=254+n6=由题意可得tnsn，即，化简得：2n1，即2n1，因此只须n，即n213n+100解得n，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12故答案为：12三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在abc中，角a、b、c分别是边a、b、c的对角，且3a=2b，（）若b=60，求sinc的值；（）若，求cosc的值【考点】正弦定理【分析】（）利用正弦定理化简已知可得3sina=2sinb，由已知可求sina，利用大边对大角可得a为锐角，可求cosa，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinc的值（）设a=2t，b=3t，由已知可求，利用余弦定理即可得解cosc的值【解答】（本题满分为14分）解：（）在abc中，3a=2b，3sina=2sinb又b=60，代入得3sina=2sin60，解得a：b=2：3，ab，即（）设a=2t，b=3t，则，则18如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，ad=2，ab=1，e、f分别是线段ab、bc的中点（）证明：pffd；（）若pb与平面abcd所成的角为45，求二面角apdf的余弦值；【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质【分析】（i）连接af，由勾股定理可得dfaf，由pa平面abcd，由线面垂直性质定理可得dfpa，再由线面垂直的判定定理得到df平面paf，再由线面垂直的性质定理得到pffd；（）由pa平面abcd，可得pba是pb与平面abcd所成的角，即pba=45，取ad的中点m，则fmad，fm平面pad，在平面pad中，过m作mnpd于n，连接fn，则pd平面fmn，则mnf即为二面角apdf的平面角，解三角形mnf可得答案【解答】（）证明：连接af，则，又ad=2，df2+af2=ad2，dfaf又pa平面abcd，dfpa，又paaf=a，（）pa平面abcd，pba是pb与平面abcd所成的角，且pba=45pa=ab=1取ad的中点m，则fmad，fm平面pad，在平面pad中，过m作mnpd于n，连接fn，则pd平面fmn，则mnf即为二面角apdf的平面角rtmndrtpad，且fmn=90，19某工厂新研发的一种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下6组数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（件）908483807568（）若90x+y100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为x，求x的数学期望；（）求y关于x的线性回归方程，并用回归方程预测在今后的销售中，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润l=销售收入成本）附：线性回归方程中系数计算公式：，其中、表示样本均值【考点】线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差【分析】（）根据题意，得出x的可能取值，计算对应的概率值，写出x的分布列与数学期望ex；（）计算、，求出、，写出y关于x的线性回归方程，得出利润函数l（x）的解析式，利用二次函数的性质求出l（x）的最大值与对应x的值【解答】解：（）x的可能取值为0，1，2；满足90x+y100的有3组，所以p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2）=；x的分布列为x012p数学期望为ex=0+1+2=1；（）因为=8.5， =80， =0.7，（xi）（yi）=14；所以=20， =250；y关于x的线性回归方程是=20x+250，利润函数l（x）=x（20x+250）4（20x+250）=20x2+330x1000；当x=8.25时，l（x）取得最大值361.25；故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润20已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆m的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点a与左右两焦点f1，f2构成的三角形中面积的最大值为（）求椭圆m的标准方程；（）若a与c是椭圆m上关于x轴对称的两点，连接cf2与椭圆的另一交点为b，求证：直线ab与x轴交于定点p，并求的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）利用椭圆的离心率，三角形的面积，椭圆几何量的关系，求出a，b，c得到椭圆的方程（）设a（x1，y1），b（x2，y2），c（x1，y1），推出ab：y=kx+m代入利用韦达定理，以及b，c，f2共线，得到，推出m=4k说明ab与x轴交于定点p（4，0），然后求解的取值范围【解答】解：（）由题意知，a2=c2+c2，解得c=1，a=2，椭圆的标准方程是（）设a（x1，y1），b（x2，y2），c（x1，y1），ab：y=kx+m将y=kx+m，代入得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0则，因为b，c，f2共线，所以，即整理得2kx1x2+（mk）（x1+x2）2m=0，所以，m=4kab：y=k（x4），与x轴交于定点p（4，0）因为，所以=因为2x12，所以的取值范围是21已知函数f（x）=2ex（xa）2+3，g（x）=f（x）（）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？（）当a1时，证明：g（x）在0，+）有唯一零点；（）当x0时，f（x）0，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可（）当a1时，求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数单调性的性质即可证明：g（x）在0，+）有唯一零点；（）当x0时，f（x）0的等价条件f（x）在0，+）最小值大于或等于，求函数的导数，利用函数最值和导数之间的关系即可求实数a的取值范围【解答】解：（）g（x）=2（exx+a），设曲线y=g（x）与x轴相切于点（x0，0），则g（x0）=0，g（x0）=0即，解得x0=0，a=1，因此当a=1时，x轴是曲线y=g（x）的切线 （）由（）知，当a=1时，曲线y=g（x）与x轴相切于点（0，0）当x0时，g（x）=2（ex1）0，g（x）在0，+）单调递增当a1时，g（0）=2（1+a）0所以曲线y=g（x）在y轴两侧与x轴各有一个交点因此g（x）在0，+）有唯一零点（）当x0时，f（x）0，等价于f（x）在0，+）最小值大于或等于0首先，f（0）0，即2a2+30，解得当时，由（）知f（x）f（0）0所以f（x）在0，+）内单调递增，f（x）f（0）0；当时，f（x）在0，+）有唯一零点，设零点是t，则et=ta当x（0，t）时，f（x）0；当x（t，+）时，f（x）0所以f（x）在（0，t）上单调递减，在（t，+）上单调递增所以f（x）在0，+）最小值是f（t）=2et（ta）2+3=（et+1）（et3）由f（t）0，得0tln3由于a=tet，设h（x）=xex，当x（0，+）时，h（x）=1ex0，h（x）在（0，+）单调递减因为0tln3，所以a=t