《余弦定理》教学设计案例.doc

余弦定理教学设计案例教学基本信息课题人民教育出版社 余弦定理作者及工作单位王庆来 唐山开滦一中指导思想与理论依据美国心理学家布鲁纳说：“学习的最好动力是对学习材料的兴趣”，而教师的作用是创设学生感兴趣的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。 “设置情境-提出问题-解决问题-数学建构-数学运用”是新课程理念下数学课堂教学的一般模式。因此，通过恰当的情境提出数学问题应作为本节课教学的出发点，通过老师适度的启发与帮助让学生能较顺利的解决问题并较顺利的建构数学新知“余弦定理”，这个过程学生应真正成为解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。对于本节课主要解决以下两个问题创设一个怎样的问题情境能激发学生强烈的认知冲突；如何通过对问题情景的研究，引申出一般的数学问题的探究方法。 教材分析“余弦定理”是高中课程实验教科书（必修5）第一章“解三角形”的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“余弦定理”教学的第一节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。教学过程（一）问题情景：1在中，则若将上述问题条件中的改为，则如何求出的长度呢？设计意图：通过分析可以发现在已知的条件下的长度是确定的，当夹角是直角时，我们有勾股定理帮助计算的长度，但当改为时，我们甚至可以用直尺度量的长度，可却一时无法将它求出？通过将直角三角形变为一个特殊的锐角三角形，引发学生强烈的认知冲突。2已知，与的夹角为，求设计意图：通过一个简单的向量的模的计算问题，引导学生从向量的角度去思考问题1的解决办法，为用向量方法证明余弦定理埋下伏笔。教师准备如下的提问：（1）上述两个问题有何关系？（2）问题1的解决有一般意义吗？在学生思考后，给出如下问题：请仿照上面的方法，解决下面的问题： 如图， 在中，已知，求边的长度。设计意图：结合上面的分析，引导学生利用向量等式：两边平方。通过两边平方可将向量等式：数量化，可顺利得到余弦定理。并引导学生对定理的作用进行归纳，即在三角形中，已知两条边长和它们的夹角，可以求出第三条边长（二）数学建构：至此，学生自主发现余弦定理，数学知识成功建构。余弦定理：（形式1）（三）数学运用：例1在中，（1）求；（2）求设计意图：问题1是要学生初步熟悉余弦定理形式（1）的应用，真正让学生感受学有所用，通过对问题1的解决进一步认识余弦定理的结构特征。问题2是要学生感受余弦定理的另外一种形式，提高学生对公式的进一步理解。余弦定理（形式2）在得到余弦定理形式2后，适时的引导学生总结，在三角形中，利用余弦定理，可以解决如下的常见问题：（1）已知两边一夹角；（2）已知三边的解斜三角形问题例2在中，若，则是直角三角形；在中，若，则的形状是 练习1：（1）在中，若，则 （2）若3，4，x构成一个锐角三角形的三边长度，求x的取值范围设计意图：让学生充分认识到余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特殊形式。通过上述问题的解决，不但可以让学生体会到余弦定理运用的一般价值，而且可以进一步拓展学生的思维视角，提高学生的思维能力。例3在中，若，的中点为，且，求解法一：再由余弦定理易得。解法二：在中，由余弦定理可知：，在中，由余弦定理可知：，因为，则有，设，则可得。设计意图：解法一返回到对推导定理的方法的运用，让学生体会这种将向量等式的数量化的方法不只是在推导定理上有用，而且在实际解题中更有用。要让学生明白方法比结论更可贵。解法二是想让学生体会在有多个三角形的图形中如何认定目标三角形，在初中平面几何中，将条件集中到一个三角形是常用分析问题的方法，但如果无法将条件集中到一个三角形中我们应认定两个或更多的三角形，再通过它们的联系来求解，让学生明白这样的一个道理，余弦定理是刻画一个三角形的边与角的数量关系，在有多个三角形出现时，要学会科学合理选取研究的对象。教学反思1选用了两个问题作为情境来引入我的课题，一个是学生不熟悉的“已知三角形的两边一夹角，求第三边”，二是学生熟悉的“向量的模的计算”，通过画图不难发现其实它们是同一问题的两种不同呈现方式。通过设问：这种利用向量处理“已知三角形的两边一夹角，求第三边”的方法对一般三角形是否有用就直接帮助学生切入到了余弦定理的向量方法的证明上来了。玩转两个看似不同的问题，却发现了他们本是同一问题，更能发现其中蕴含的一般规律：“余弦定理”。2在建构“余弦定理”后，并没有把余弦定理的形式2直接呈现，而是通过问题已知三边求角的解决让学生体会三角形中的“方程思想”，通常，在一个三角形中，只要有三个关于边角的已知条件（三个角除外），就可以解三角形。充分体现正弦定理与余弦定理在解三角形问题上的一般价值。3数学的课堂不应该是结论的简单运用，研究问题方法应比问题结论更有价值。一般来说，结论（余弦定理）只呈现问题的形式，而研究的方法（向量等式的数量化）则呈现问题的本质。突出将向量等式数量化的方法的理解与运用是例3的出发点。4实际教学中的两点困惑：（1）如何在学生主体地位与教师主导作用之间寻找平衡点的困惑。在探索余弦定理的过程中，由于学生提出了用作垂线的方法证明余弦定理，在教学过程中对这种证明方法的研究化时间过长，导致最后未完成教学任务。在平时的教学过程中，给学生自主探究的空间，有时却意外频频，导致无法完成教学任务。怎样在学生的主体地位得到充分的保证的前提下确保课堂教学任务的顺利完成？（2）对于本节课的引入方法的困惑，这种引入方法的优点是能