常微分-第四章练习题.pdf

习题四习题四 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 一 填空题一 填空题 1 若随机变量 若随机变量 X 服从区间 服从区间 a b 的均匀分布 则 Eb 的均匀分布 则 EX D DX 2 若随机变量2 若随机变量 X 服从参数为服从参数为 的泊松分布 且已知的泊松分布 且已知 E X 1 X 2 1 则 则 3 设随机变量3 设随机变量X服从正态分布服从正态分布N 2 k b为常数 则有E 为常数 则有E kX b D D kX b 4 若随机变量4 若随机变量 X 服从二项分布服从二项分布 B n p 且 且 EX 6 DX 3 6 则 则 n p 5 设 随 机 变 量5 设 随 机 变 量 X1 X2 X3互 相 独 立 且互 相 独 立 且 X1 U 0 6 X2 N 0 X 2 2 3 P 3 记 记 Y X1 2X2 3X3 则 则E Y D Y 6 设设X与的联合分布律为 与的联合分布律为 则则 Y X与与Y的联合相关系数的联合相关系数 Y X 1 0 1 XY 0 0 07 0 18 0 15 1 0 08 0 32 0 20 7 设随机变量设随机变量 X 在区间在区间 1 2 上服从均匀分布 则随机变量上服从均匀分布 则随机变量 1 0 Y 若X 0 若X 0 1 若X 二 选择题二 选择题 1 设随机变量设随机变量 X 的概率密度函数为的概率密度函数为f x 0 1 0 10 00 x ex x 则 则 E 2X 1 A 1 2 B 41 C 21 D 20 2 设设X是随机变量 是随机变量 EX 1 DX 3 则 则E 3 X 2 2 A 18 B 9 C 30 D 36 3 设设X是随机变量 是随机变量 EX DX 2 则对任意常数 则对任意常数C 必有 必有 A E X C 2 EX2 C2 B E X C 2 E X 2 C E X C 2 E X 2 D E X C 2 E X 2 23 4 设随机变量4 设随机变量 X 的密度函数为的密度函数为 2 1 1 f xx x 1 独立同分布独立同分布 且其方差为 且其方差为 2 0 令令 1 1 n i i Y n X 则 则 2 2 11 22 11 Cov 2 1 AX YBX Y n nn CXYDXY nn Cov D D 三 计算三 计算 1 设随机变量设随机变量X1服从服从 1 2 的指数分布 的指数分布 X2的概率分布密度函数的概率分布密度函数 2 0 00 x cxex f x x 求 求 1 E X1 D X1 2 求 求c及及E X1 24 2 已知随机变量已知随机变量 X 的概率密度函数为的概率密度函数为 2 2 2 2 0 00 x a x ex f x a x 求随机变量 求随机变量Y 1 X 的数学期望的数学期望 3 某工程队完成某种工程的天数某工程队完成某种工程的天数 X 是一随机变量 具有分布律是一随机变量 具有分布律 X 10 11 12 13 14 p 0 2 0 3 0 3 0 1 0 1 所得利润 以元计算 为所得利润 以元计算 为 Y 1000 12 X 求 求 1 EX 2 EY 4 已知随机变量已知随机变量 X Y 的分布率的分布率 Y X 1 3 5 求求 E X 2 Y 2 0 10 0 20 0 10 4 0 15 0 30 0 15 25 5 设二维随机变量 设二维随机变量 X Y 的联合密度函数为 的联合密度函数为 01 0 Axx f x y 其它 y 求 求 1 A 2 EX EY 3 XY Y X 1 3 6 已知随机变量已知随机变量 X 和和 Y的联合分布为的联合分布为 试求试求 Z sin 2 XY 的数学期望和的数学期望和 0 1 0 10 0 15 0 25 0 20 方差 方差 2 0 15 0 15 7 某商场对某种商品的销售情况作了统计 知顾客对该商品的日需求量7 某商场对某种商品的销售情况作了统计 知顾客对该商品的日需求量X服从正态分布服从正态分布 N 2 且日平均销售量为 且日平均销售量为 40 件件 销售机会在 销售机会在 30 到到 50 件之间的概率为件之间的概率为 0 5 若进货不足 则每件利润损失为 若进货不足 则每件利润损失为 70 元 若进货量过大 则因资金积压 每件损失元 若进货量过大 则因资金积压 每件损失 100 元 求日最优进货量 元 求日最优进货量 26 8 8 设A B是二随机事件 随机变量 设A B是二随机事件 随机变量 11 1 1 XY A 若A出现 若B出现 若 不出现若B不出现 试证明 随机变量 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 相互独立 试证明 随机变量 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 相互独立 9 9 设二维随机变量 X Y 的密度函数为 设二维随机变量 X Y 的密度函数为 12 1 2 f x yg x ygx y 其中 和都是二维正态密度函数 且它们对应的二维随机变量的相关系数分 别为 其中 和都是二维正态密度函数 且它们对应的二维随机变量的相关系数分 别为 1 g x y 2 gx y 1 3 和和 1 3 它们的边缘密度函数使对应的随机变量的数学期望都是零 方差都是 1 它们的边缘密度函数使对应的随机变量的数学期望都是零 方差都是 1 1 求随机变量 1 求随机变量 X 和和 Y 密度函数密度函数 12 f xfy和 及 及 X 和和 Y 的相关系数 可直接利 用二维正态密度的性质 的相关系数 可直接利 用二维正态密度的性质 2 2 X 和和 Y 是否独立 为什么 是否独立 为什么 27 1010 对于任意二事件 对于任意二事件A和和B 0 P A 1 0 P B 1 P ABP A P B P A P B P A P B 称作事件 A 和 B 的相关系数 称作事件 A 和 B 的相关系数 1 1 证明事件 A 和 B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零 证明事件 A 和 B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零 2 利用随机变量的相关系数的基本性质 证明利用随机变量的相关系数的基本性质 证明 1 1111 设A B为随机事件 且 设A B为随机事件 且 111