第98讲 理论力学(八)(2010年新版).doc

（三）点的速度合成定理可以证明，动点的三种速度va，ve，vr之间有如下关系式：va=ve+vr即动点的绝对速度等于它的牵连速度和相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。根据此定理可知va，ve，vr构成一速度平行四边形，其对角线为绝对速度va。由于每个速度矢量包含大小和方向二个量，因此上式总共含有六个量，当已知其中任意四个量时，便可求出其余两个未知量。应当指出，由于存在相对运动，所以不同瞬时，动系上与动点相重合的那一点即牵连点，在动系上的位置也随之而变化的。（四）点的加速度合成定理动点的加速度合成与牵连运动的性质有关，当牵连运动为平动或转动时，动点的加速度合成定理如下：牵连运动为平动：aa=ae+ar牵连运动为转动：aa=ae+ar+ak式中 ak称为科氏加速度。它是由于牵连运动与相对运动相互影响而产生的。ak的矢量表达式为ak=2vr其中 为动系的角速度矢。设与vr间的夹角为 (图429)，则ak的大小为 ak=2vrsinak的指向由与vr的矢积确定。 对于平面机构，因aa、ae、ar和ak等各加速度矢都位于同一平面中，所以运用加速度合成定理只能求解大小或方向共两个未知量。由于aa或ae或ar都可能存在切向与法向两个加速度分量，因此在求解中，常应用合矢量投影定理进行具体计算。（五）应用速度或加速度合成定理解题的一般步骤和方法1分析机构的运动情况，根据题意适当地选取动点、动系和静系。它们的选取方法，一般可从两个方面来考虑：其一，动系相对静系有运动，动点相对动系也有运动；其二，除题意特别指明动系或动点外，尽可能使选取的动点对动系有明显而简单的相对运动轨迹。在一般机构中，通常可选取传递运动的接触点为动点，与其邻接的刚体为动系。2分析绝对运动、相对运动和牵连运动。绝对运动和相对运动都是指动点的运动。在相对运动的分析中，可设想观察者站在动系上，观察到的动点运动即为它的相对运动。而牵连运动是指动系的运动，也就是固结着动系的刚体相对静系的绝对运动。3根据题意，分析动点的各种速度或加速度，并图示速度或加速度矢量图。动点的va、aa和vr、ar一般可以根据其绝对运动和相对运动进行分析。而在分析ve和ae时，关键在于明确该瞬时牵连点的位置，然后根据动系运动性质分析牵连点的速度和加速度，亦即动点的牵连速度ve和牵连加速度ae；或可以认为动点暂不作相对运动，而把它固结在动系上，则动点随动系运动的速度和加速度即为ve和ae另外，在动点的各加速度分量中，当牵连运动为平动时，不含有科氏加速度ak。4根据速度和加速度合成定理求解。(1)运用ae=ve+vr，求解未知量时，一般可应用半图解法，即作出速度平行四边形，然后根据图示的几何关系求得待求量。(2)应用加速度合成定理时，首先要区分牵连运动是平动还是转动，然后列出相应的矢量式，即aa=ae+ar，或aa=ae+ar+ak，因在最一般情况下，加速度合成定理可写为 所以，通常应用合矢量投影定理进行具体计算。不过，应当防止类似于ax=0或“已知矢量投影=未知矢量投影”等这类错误出现。（六）例题例4-24 曲柄OA长为r，以匀角速度绕轴O逆时针向转动，从而通过曲柄的A端推动滑杆BC沿铅直方向上升，如图4210所示。求当=600时，滑杆BC的速度和加速度。解 取OA上的A点为动点，滑杆BC为动系。动点A的绝对运动是圆周运动；相对运动是水平直线运动；牵连运动是滑杆BC的平动。动点A的速度和加速度矢量图如图4210所示。由图4210所示的速度和加速度平行四边形，得滑杆BC的速度v和加速度a的大小为方向如图示。 本题若取滑杆上的A1点为动点，OA杆为动系。则A1点的相对轨迹显然不是一条水平直线。我们可以这样思考，设杆OA不转动，仅BC杆运动，则A1点相对杆OA作铅垂直线运动；反之，若扦BC不动，仅OA杆转动，则A1要相对杆OA作顺时针向的圆周运动。实际上，杆OA与BC同时在运动，故Al点相对杆OA的相对运动应是铅垂直线运动和圆周运动的合成运动，即相对轨迹为一平面曲线，故在加速度计算中，除多一项ak外，还因相对轨迹未知，造成了arn的计算困难。这就表明，若以不恒是运动过程中的接触点A为动点，则将给求解带来不便。例425 图示平面机构中，杆AB以匀速u沿水平方向运动，并通过滑块B推动杆OC转动。试求=600时，滑块B相对杆OC的加速度和杆OC的角加速度。解 取滑块B为动点，杆OC为动系。动点的绝对运动是水平直线运动；相对运动是沿杆OC的直线运动；牵连运动是杆OC绕轴O的转动。动点B的速度分析如图4-2-11所示。由图示的几何关系，得因OB=bsina，则=600时，杆OC的角速度为转向顺着ve的指向，如图4211所示。根据牵连运动为转动时点的加速度合成定理，可作出动点B的加速度矢量图如图4212所示。因aa=0，故得式中将上述矢量式分别向x轴和y轴投影，得由此可解得杆OC的角加速度和ar分别为应当注意，图中标示的转向要与ae的指向保持一致，故得负值，表示与图示的转向相反，即为逆时针转向。若将角视为变量，求vr和对时间的一阶导数，则亦可解得ar和，即因的转向与正向相反，故有ddt=，将此关系式和=600代入以上二式，则得这里ar取正值，表示与vr方向一致；取负值，表示与转向相反。此结果与上述结果相同。注意，关系式ae=dve/dt是