陕西省咸阳市高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

陕西省咸阳市2015届高 考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符号要求的）1已知集合a=|x|x1|，b=|xy=|那么ab=( )ab（1，3c（1，3d（1，3）2复数z=（32i）i，则z2=( )a29ib2+9ic29id2+9i3陕西电视台为了了解观众对（央视快报）的满意度，通过都市热线随机调查观众，现从调查的观众中随机抽取12名，用精业图记录他们的满意度分数如图，则这12个分数的众位数和中位数分别是( )a92，92b91，91c92，91d92，91，54已知双曲线c：=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，则其离心率为( )abcd5执行如图的程序框图，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为( )atbtctdt6已知直线m平面a，直线n平面，则下列四个命题若，则mn若，则mn若mn，则若mn，则其中真命题的序号是( )abcd7在等差数列an中，a10，a10a110，若此数列的前10项和s10=36，前18项和s18=12，则数列|an|的前18项和t18的值是( )a24b48c60d848abc的内角a，b，c的对边分别是a，b，c，若b=2a，a=1，b=，则边c=( )a1b2cd2或19已知直三棱柱abca1b1c1的各顶点都在半径为的球面上，且边ab=ac=1，bc=，则这个直三棱柱的体积等于( )abcd10若（9x）n（nn*）的展开式中第2项的二项式系数为9，则其展开式中的常数项为( )a84b252c252d8411已知动点p（x，y）在抛物线y2=16x上，若a点坐标为（3，0），m是平面内一点，|=1，且=0，则|的最小值是( )a4b4c2d212已知函数f（x）=x+ex1（x0）与g（x）=x+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )a（1，1）b（，）c（，1）d（，）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13设向量，满足：|=1，|=2，（+）=0，则与的夹角大小为_14数列an的前n项和是sn，且sn+an=1，则数列an的通项公式为_15在不等式表示的平面区域中任取一点p，则点p（x，y）满足yx3的概率为_16将正整数排成如图，其中排在第i行第j列的数若记为a，例如a=8，则a=_三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知向量=（sin，cos），=（cos，），且=，为锐角（）求角的大小；（）求函数f（x）=cos2x+4cossinx（xr）的值域18已知：在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，pd=cd=bc=2ad，adbc，bcd=90（）求证：bcpc；（）求直线pa与平面pbc所成的正弦值19从某中学1000名学生中随机抽取m名学生进行问卷调查根据问卷取得了这m名学生星期日运动锻炼时间（单位：分钟）的数据频率分布直方图，如图，已知抽取的学生中星期日运动时间少于60分钟的人数为5人（）求m的值并求星期日运动时间在内的概率（）若在第一组，第二组，第七组，第八组中共抽取3人调查影响星期日运动时间的原因，记抽到的“星期日运动时间少于60分钟”的学生人数为，求的分布列及期望20已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，它的顶点构成的四边形面积为4过点（m，0）作x2+y2=b2的切线l交椭圆c于a、b两点（1）求椭圆c的方程；（2）设o为坐标原点，求oab面积的最大值21已知函数f（x）=，g（x）=（e为自然对数的底数）（）求函数y=f（x）的单调区间；（）当x1时，不等式f（x）g（x）恒成立，求实数k的取值范围四、选修4-1几何证明选讲（从22,23,24中任选一题，注意，只能做选定的题目，如果多做，则按所选做的第一个题目计分）22如图，已知圆上的弦ac=bd，过c点的圆的切线与ba的延长线交于e点（）求证：ace=bcd；（）若be=8，cd=2，求bc的长五、选修4-4;坐标系与参数方程23已知曲线c1的极坐标方程为=2cos，直线c2的参数方程为（t为参数）曲线c1与直线c2相交于a，b两点（）求|ab|的值；（）求曲线c1上的点到直线c2的距离的最大值六、选修4-5;不等式选讲24设函数f（x）=|x1|x2|（）求不等式f（x）2x的解集；（）若存在xr，使得f（x）t2t+1成立，求实数t的取值范围陕西省咸阳市2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符号要求的）1已知集合a=|x|x1|，b=|xy=|那么ab=( )ab（1，3c（1，3d（1， 3）考点：交集及其运算 专题：集合分析：先化简b=x|3x3，再根据交集运算的定义即得结果解答：解：根据题意可知=x|3x3，由于a=x|x1，所以ab=x|1x3，故选：c点评：本题考查集合的交集运算，先化简集合b是解题的关键，属基础题2复数z=（32i）i，则z2=( )a29ib2+9ic29id2+9i考点：复数代数形式的混合运算；复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出解答：解：复数z=（32i）i=3i+2，则z2=（2+3i）2（23i）=2+3i4+6i=2+9i，故选：b点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题3陕西电视台为了了解观众对（央视快报）的满意度，通过都市热线随机调查观众，现从调查的观众中随机抽取12名，用精业图记录他们的满意度分数如图，则这12个分数的众位数和中位数分别是( )a92，92b91，91c92，91d92，91，5考点：茎叶图 专题：概率与统计分析：根据众数和中位数的概念，求出结果即可解答：解：这组数据出现次数最多的是92，众数是92；把这组数据按从小到大的顺序排列，排在第6、7位的是91、92，中位数是=91.5故选：d点评：本题考查了数据的中位数与众数的应用问题，是基础题目4已知双曲线c：=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，则其离心率为( )abcd考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：双曲线c的渐近线方程为y=，所以便得到，所以便得到其离心率e=解答：解：由已知条件得：；即；椭圆c的离心率为故选：a点评：考查双曲线渐近线方程的概念及求法，以及双曲线离心率的计算公式：e=，系数a，b，c的关系：c2=a2+b25执行如图的程序框图，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为( )atbtctdt考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：第一次执行循环结构：n0+2，第二次执行循环结构：n2+2，此时应终止循环结构求出相应的x、a即可得出结果解答：解：第一次执行循环结构：n0+2，x2t，a21；n=23，继续执行循环结构；第二次执行循环结构：n2+2，x22t，a41；n=43，应终止循环结构，并输出34t由于结束时输出的结果不小于3，故34t3，即4t1，解得t故选：a点评：理解循环结构的功能和判断框的条件是解决问题的关键，属基础题6已知直线m平面a，直线n平面，则下列四个命题若，则mn若，则mn若mn，则若mn，则其中真命题的序号是( )abcd考点：平面与平面之间的位置关系 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：由已知中直线m平面，直线n平面，我们根据面面平行的性质及线面垂直的性质和几何特征，可以判断的真假，根据面面垂直的几何特征可以判断的真假，根据面面平行的判定定理，可以判断的对错，根据面面垂直的判定定理，可以判断的正误，进而得到答案解答：解：直线m平面，直线n平面，当时，直线m平面，则mn，则正确；直线m平面，直线n平面，当时，直线m平面或直线m平面，则m与n可能平行也可能相交也可能异面，故错误；直线m平面，直线n平面，当mn时，则直线直线n平面，则，故正确；直线m平面，直线n平面，当mn时，则直线n平面或直线m平面，则与可能平行也可能相交，故错误故选：b点评：本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间直线与平面之间各种关系的几何特征是解答本题的关键7在等差数列an中，a10，a10a110，若此数列的前10项和s10=36，前18项和s18=12，则数列|an|的前18项和t18的值是( )a24b48c60d84考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：根据已知条件，求出其正负转折项，然后再求数列|an|的前18项和解答：解：a10，a10a110，d0，a100，a110，t18=a1+a10a11a18=s10（s18s10）=60故选c点评：求数列|an|的前n项和，关键是求出其正负转折项，然后转化成等差数列求和8abc的内角a，b，c的对边分别是a，b，c，若b=2a，a=1，b=，则边c=( )a1b2cd2或1考点：余弦定理 专题：解三角形分析：利用正弦定理列出关系式，将b=2a，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出cosa的值，再由a，b及cosa的值，利用余弦定理即可求出c的值解答：解：b=2a，a=1，b=，由正弦定理得：，cosa=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosa，即1=3+c23c，解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），则c=2故选：b点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题9已知直三棱柱abca1b1c1的各顶点都在半径为的球面上，且边ab=ac=1，bc=，则这个直三棱柱的体积等于( )abcd考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：如图所示，分别取bc，b1c1的中点d，d1，连接dd1，设dd1的中点为o，由边ab=ac=1，bc=，可得abac，因此点d为abc的外心，可得da=db=dc可得dd1平面abc，且点o到各个顶点的距离相等，则点o为外接球的球心可得od，利用直三棱柱的体积=sabcdd1即可得出解答：解：如图所示，分别取bc，b1c1的中点d，d1，连接dd1，设dd1的中点为o，边ab=ac=1，bc=，abac，点d为abc的外心da=db=dcdd1平面abc，且点o到各个顶点的距离相等，则点o为外接球的球心oc2=od2+cd2，+，od=，dd1=这个直三棱柱的体积=sabcdd1=故选：a点评：本题考查了直三棱柱的体积计算公式、球的性质、线面垂直的判定及其性质、勾股定理的逆定理、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10若（9x）n（nn*）的展开式中第2项的二项式系数为9，则其展开式中的常数项为( )a84b252c252d84考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值解答：解：由题意可得=9，n=9，故（9x）n即（9x）9，故（9x）9的展开式的通项公式为tr+1=99r，令9=0，求得r=6，故其展开式中的常数项为93=84，故选：d点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题11已知动点p（x，y）在抛物线y2=16x上，若a点坐标为（3，0），m是平面内一点，|=1，且=0，则|的最小值是( )a4b4c2d2考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：确定m点轨迹是以a（3，0）为圆心，1为半径的圆，pm为圆的切线，|2=|pa|21，故求|pa|的最小值即可解答：解：m是平面内一点，|=1，m点轨迹是以a（3，0）为圆心，1为半径的圆=0，说明pmam，pm为圆的切线|2=|pa|21，故求|pa|的最小值即可，|pa|=3，即|pa|的最小值为3，|的最小值是2，故选：d点评：本题考查抛物线方程，考查向量知识，考查学生的计算能力，比较基础12已知函数f（x）=x+ex1（x0）与g（x）=x+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )a（1，1）b（，）c（，1）d（，）考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：由题意可化为ex1ln（x+a）=0在（0，+）上有解，即函数y=ex1与y=ln（x+a）在（0，+）上有交点，从而可得ln（a）11=0，从而求解解答：解：由题意知，方程f（x）g（x）=0在（0，+）上有解，即ex1ln（x+a）=0在（0，+）上有解，即函数y=ex1与y=ln（x+a）在（0，+）上有交点，函数y=ex1与y=ln（x+a）在（0，+）上的图象如下：则lna11=0，即a1，则a的取值范围是：（，1）故选：c点评：本题考查了函数的图象的变换及函数与方程的关系，属于基础题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13设向量，满足：|=1，|=2，（+）=0，则与的夹角大小为考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：将等式展开，利用数量积公式得到关于向量夹角的等式求之解答：解：由已知，|=1，|=2，（+）=0，设夹角为，所以，所以1+2cos=0，解答cos=，所以=；故答案为；点评：本题考查了向量的数量积于是以及利用数量积公式求夹角；属于基础题14数列an的前n项和是sn，且sn+an=1，则数列an的通项公式为an=考点：数列递推式 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：在sn+an=1，令n=1可得a1=再由当n2时，sn1+an1=1，用减去可得an=an1，数列an是以为首项，以为公比的等比数列，由此可得数列an的通项公式解答：解：数列an的前n项和为sn，sn+an=1，令n=1可得a1=再由当n2时，sn1+an1=1，减去可得 an+anan1=0，an=an1，故数列an是以为首项，以为公比的等比数列，故an=（）n1=，故答案为：an=点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等比数列的通项公式，属于基础题15在不等式表示的平面区域中任取一点p，则点p（x，y）满足yx3的概率为考点：几何概型 专题：概率与统计分析：易得总的平面区域为1，由定积分可得满足yx3的面积，由概率公式可得解答：解：由题意可得不等式组表示x=0，x=1和y=0，y=1四条直线围成的正方形，其面积为1，而yx3所表示的面积s=，所求概率p=，故答案为：点评：本题考查几何概型，涉及定积分求面积，属基础题16将正整数排成如图，其中排在第i行第j列的数若记为a，例如a=8，则a=2016考点：归纳推理 专题：计算题；推理和证明分析：先找到数的分布规律，求出第n1行结束的时候一共出现的数的个数，即可求得结论解答：解：由排列的规律可得，第n1行结束的时候共排了1+2+3+（n1）=个数，第63行第62列的数a=+63=2016故答案为：2016点评：本题借助于一个三角形数阵考查等差数列的应用，属基础题三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知向量=（sin，cos），=（cos，），且=，为锐角（）求角的大小；（）求函数f（x）=cos2x+4cossinx（xr）的值域考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算 专题：函数的性质及应用；三角函数的求值；平面向量及应用分析：（）由平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用化简已知可得：sin（）=，又为锐角，即可求得的值（）化简可得：f（x）=2sin2x+2sinx+1，令t=sinx，则y=2t2+2t+1（1t1），由二次函数的图象即可求函数f（x）的值域解答：解：（）由平面向量数量积的运算可得：cossincos=，即，所以sin（）=，又因为为锐角，所以=（）f（x）=cos2x+2sinx=2sin2x+2sinx+1，令t=sinx，则y=2t2+2t+1（1t1），由二次函数的图象可知：当t=时，ymax=，当t=1时，ymin=3，所以函数f（x）的值域为点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，二次函数的图象和性质，考查了函数值域的求法，转化思想，属于中档题18已知：在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，pd=cd=bc=2ad，adbc，bcd=90（）求证：bcpc；（）求直线pa与平面pbc所成的正弦值考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）首先根据已知条件利用线面垂直转化成线线垂直，进一步利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，最后转化成线线垂直（）首先利用直线间的两两垂直，建立空间直角坐标系，利用法向量求出线面之间的夹角解答：证明：（）在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，所以：pdbc，又bcd=90，所以：bccd，则：bc平面pcd，则：bcpc（）由于在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，adbc，bcd=90，所以：adc=90建立空间直角坐标系dxyz，pd=cd=bc=2ad，设ad=1，直线pa与平面pbc所成的角为，则：a（1，0，0），p（0，0，2），c（0，2，0），b（2，2，0），设平面pbc的法向量为：，由，整理得：，解得：，所以：sin=cos=点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，空间直角坐标系，法向量的应用，线面的夹角的应用19从某中学1000名学生中随机抽取m名学生进行问卷调查根据问卷取得了这m名学生星期日运动锻炼时间（单位：分钟）的数据频率分布直方图，如图，已知抽取的学生中星期日运动时间少于60分钟的人数为5人（）求m的值并求星期日运动时间在内的概率（）若在第一组，第二组，第七组，第八组中共抽取3人调查影响星期日运动时间的原因，记抽到的“星期日运动时间少于60分钟”的学生人数为，求的分布列及期望考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 专题：应用题；概率与统计分析：（）抽取的m名学生中星期日运动时间少于60分钟的概率为：（+）30=，由此能够求出m的值并求出星期日运动时间在内的概率（）由题设的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，能够得到的分布列和e解答：解：（）抽取的m名学生中星期日运动时间少于60分钟的概率为：（+）30=，m=5，m=100星期日运动时间在内的概率为1（+）30=；（）由图知：第一组1人，第二组4人，第七组10人，第八组5人，总计20人则的所有可能取值为0，1，2，3，p（=i）=，（i=0，1，2，3），的分布列为：0123pex=0+1+2+3=点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了离散型随机事件的分布列与数学期望的计算问题，考查了计算能力的应用问题，是综合性题目20已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，它的顶点构成的四边形面积为4过点（m，0）作x2+y2=b2的切线l交椭圆c于a、b两点（1）求椭圆c的方程；（2）设o为坐标原点，求oab面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）利用椭圆的离心率定义和菱形的面积公式可得椭圆方程（2）根据直线方程和椭圆方程联立方程组，求得弦长，求得三角形的面积，再根据均值不等式求得面积最大值解答：解：（1）又它的顶点构成的四边形面积为4，ab4=4，ab=4由解得a2=4，b2=1，椭圆方程为（2）（）由题意知，|m|1，当m=1时，切线l的方程x=1，点a、b的坐标分别为（），（）此时；当m=1时，同理可得|ab|=；当|m|1时，设切线l的方程为y=k（xm），由，得（1+4k2）x28k2mx+4k2m24=0，设a、b两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），则，又由l与圆x2+y2=1相切，得，即m2k2=k2+1，所以=，由于当m=3时，|ab|=所以，因为且，此时，|ab|=2，所以|ab|的最大值为2soab的最大值为点评：本题主要考查了椭圆方程的求法和直线与椭圆方程的位置关系的应用来求得三角形面积属难度较大题目，在2015届高考中属压轴题目21已知函数f（x）=，g（x）=（e为自然对数的底数）（）求函数y=f（x）的单调区间；（）当x1时，不等式f（x）g（x）恒成立，求实数k的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（）分别解不等式f（x）0及f（x）0即得单调区间；（）不等式f（x）g（x）变形后等价于不等式k=h（x） （x1），故只需判断出函数h（x）的单调性，解不等式kh（x）min即可得k的取值范围解答：解：（）由已知得f（x）=，由f（x）0得0x1；由f（x）0得x1；所以函数y=f（x）的单调增区间为：（0，1），单调减区间为：（1，+）；（）不等式f（x）g（x）恒成立不等式恒成立不等式恒成立，令h（x）= （x1），则kh（x）min，因为，记（x）=xlnx （x1），则h（x）与（x）同号，（x）=0 （当且仅当x=1时取等号），（x）在1，+）上递增，所以（x）（1）=10，即h（x）0，所以h（x）在1，+）上递增，所以h（x）min=h（1）=2，从而k2点评：本题利用导数求单调区间以及解不等式，通过合理的变形判断出单调性是解题的关键，属于中档题四、选修4-1几何证明选讲（从22,23,24中任选一题，注意，只能做选定的题目，如果多做，则按所选做的第一个题目计分）22如图，已知圆上的弦ac=bd，过c点的圆的切线与ba的延长线交于e点（）求证：ace=bcd；（）若be=8，cd=2，求bc的长考点：与圆有关的比例线段；弦切角 专题：选作题；立体几何分析：（i）由同圆中等圆弧的性质可得abc=bcd由弦切角定理可得ace=abc，即可得出证明（ii）利用弦切角定理可得cdb=bce，由相似三角形的判定定理可得beccbd，由相似三角形的性质可得，即可求出bc解答：（）证明：弦ac=bd，abc=bcd又ec为圆的切线，ace=abc，ace=bcd（）解：ec为圆的切线，cdb=bce，由（）可得bcd=abcbeccbd，bc2=cdeb=2