令人惊奇的发现.doc

令人惊奇的发现几个有趣的几何结论数学世界是令人惊奇的世界，几何世界更是常让人拍案叫绝。前面我们已经见到一些几何中令人惊奇的结论，如三角形的外心、重心、垂心共线；三角形中的九个点共圆；四心共线；八点圆等等。下面再举出一些例子，与读者共同欣赏。法国皇帝拿破伦一世（1769年1821年）在历史上不仅是一位杰出的军事家和政治家，而且还是一位业余数学爱好者。据说，他在统治法国之前，曾与著名数学家拉普拉斯、拉格朗日等人一起研究和讨论过数学问题，甚至还在巴黎科学院报告过他所发现的一个有趣的定理。他在数学上的高深造诣和独到见解，使拉普拉斯和拉格朗日也感到十分吃惊！拿破伦所描述的定理如下：在已知三角形ABC的三边上，向外作出三个等边三角形，分别记为ABC，BCA，CAB。它们的中心为X、Y、Z，于是XYZ是一个等边三角形。拿破伦对这个定理的证明既简单又优美。他把X、Y、Z与离它们较近的ABC的顶点连结起来，然后以Y、Z为旋转中心，把所得的二个三角形XYC和XZB旋转上去，直至YC与YA重合，ZB与ZA重合，这时，C与A重合，B也与A重合，X与X重合。所得的新三角形XYZ与原来的三角形XYZ是一样的，但它的每个内角都不难算出等于60，所以XYZ是等边三角形。后人称这个三角形为拿破伦三角形。读者可以考虑：如果三边上的等边三角形不是向外作，而是向内作，这时以三个中心为顶点的三角形还是等边三角形吗？读者还可以考虑拿破伦三角形有些什么有趣的性质。早在公元二世纪时，希腊天文学家托勒密就发现：圆内接四边形中，两条对角线长度的积等于它的两组对边乘积的和！这个定理被称为托勒密定理，托勒密当年曾利用这个定理解决了不少天文学上的计算。无独有偶，著名数学家、物理学家牛顿爵士却对圆外切四边形有非常有趣的发现。他注意到如果任意作圆的外切四边形，那么这个圆的圆心将永远落在四边形两条对角线中点的连线上。你说奇怪不奇怪！我们可以随意画出两个大小不等的外离的圆，从每个圆的圆心向另外一个圆作两条切线。如果把不是切点的交点连结起来，得到的一个四边形竟然是矩形！对它的证明并不难。这真有点意外，不知道是谁最先发现了这件奇事。著名的阿基米德不仅善用杠杆，还发现了浮力定律，还发现了这样一个事实：在一个大的半圆中有两个互切的内切半圆，于是在大的半圆内形成一个由圆弧围成的曲边三角形（如图）。同时这两个内切半圆的公切线把这个曲边三角形分隔成两部分，这两部分的内切圆竟然是同样大小的！因为这个曲边三角形很像当时皮匠用来切削皮料的刀子，所以阿基米德把这个定理叫做皮匠刀定理。日本数学家的发现更加神奇。在日本的神庙里的塔壁上常会供上一些木牌，这是数学家们把自己的发现贡献给神的一种方式。公元1800年左右的一块木牌上记录着这样的事实：在圆内接多边形中，如果从某个顶点向其它顶点作对角线，那么多边形将被分成若干个三角形。接着在每个三角形内都作出它的内切圆，那么这些内切圆半径的和居然是一个常数，与顶点的选择无关！人们进一步还发现，即使从好几个顶点同时作出对角线，只要多边形也是被分割成若干个三角形的话，那么上述结论仍然能成立。近年来，莫斯科数学家发现一个几何定理：有两条平行线，如果以平行线的距离作为正方形的边长，那么当这个正方形任意放在平行线上时，正方形的四边与平行线能产生四个交点，交叉连结这些交点，每次都会形成一个45的夹角。你能证明一下这个结论吗？几何世界中，能令人惊奇的事情不胜枚举，有些已经被人们发现，有些仍有待于人们去发现。亲爱的读者，只要做一个有心人，你也可以发现令人惊奇的结果。【附录】一、【托勒密简介】托勒密（公元85年165年）古希腊著名的数学家、天文学家，是希腊天文学和三角术的集大成者。生于贵族家庭，长期居住在亚历山大城并卒于此地。托勒密聪明好学，博览群书，尤善三角学、天文学等，约于公元150年著书大综合论。该书共13卷，第一卷主要介绍了三角学方面的内容，第四卷介绍了测量学方面的内容，其他各卷均是天文学方面的内容。该书除托勒密自己的成就外，还吸收了古希腊著名数学家阿基米德、希帕霍斯、门纳劳斯等人的成就。是他传世的几部著作中最著名的，成为传世名著。托勒密用内插法求得圆周率=3.14167，处于当时世界的领先地位。托勒密是最早对欧几里得几何原本中的第五公设表示怀疑的人，并给出了证明，其证明虽然被后人指出有误，但对非欧几何有很大的影响。由于托勒密在三角学方面的卓越成就，被数学界公认为是三角学的主要奠基人。二、【牛顿简介】依萨克牛顿（1642年1727年）英国物理学家、数学家、天文学家，英国皇家学会会长。1642年12月25日生于英格兰林荷尔泽普地区林肯郡的一个村庄里，父亲是农场主，在牛顿出生前三个月去世。由于母亲改嫁，牛顿由外祖母抚养。舅舅威廉艾司考夫牧师监护和教养牛顿。牛顿从少年时代起，就有一股好学上进的劲头，几乎什么新事物都能引起他学习、研究的兴趣。喜欢动手和动脑，是牛顿的特点。牛顿幼时喜欢制作玩具，后来，也经常动手制作感兴趣的东西。小时候在研究了邻人利用风力磨面的风车后，自己也动手制作了一架；上中学时，看见了一本名叫空气和自然的奥秘的书中讲述的科学知识、介绍简单机械制造、画图、油漆和手工工艺等的书，他进行了认真学习钻研，真正动手动脑照着去做。牛顿曾用自己制作的三棱镜揭开了太阳光是七色组成的秘密，从而开创了光的分析科学。他还亲手制作了世界上第一台反射望远镜。18岁时进入剑桥大学三一学院，成绩优异。数学上得益于巴罗老师的指导，进步很快。牛顿曾参加了一项奖学金的考试，他虽然考得了这项奖学金，但评语中除了优点外，也谈到牛顿的弱点：对几何知识只是“一知半解”。牛顿非常重视这一批评，后来他认真地研读了欧几里得几何学并加强了数学学习，在十年后，他成了一名杰出数学家。1665年1666年，由于鼠疫流行，学校放假，牛顿回到家乡致力于数学和物理学研究。牛顿平生的三大发明：流数术、万有引力定律和光的分析，都发生在这期间，这时他才23岁。1667年牛顿回到剑桥，得硕士学位，并被选为三一学院院委。1669年，经巴罗推荐，牛顿继巴罗任卢卡斯讲座教授。自1670年起，牛顿主持了一系列重要讲座，先后讲授光学、代数、运动学和自然哲学的数学原理。1687年，三卷自然哲学的数学原理最终写成，并在哈雷的敦促与资助下正式出版。这一划时代的巨著奠定了牛顿在科学史上的不朽地位。牛顿以他的“运动三定律”