（江苏专用）高考数学大一轮复习 第五章 解三角形 第31课 余弦定理与解三角形 文.doc

第31课 余弦定理与解三角形(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5p16练习1改编)在abc中，若abc=234，则cos c=.【答案】-【解析】直接利用余弦定理，可得cos c=-.2.(必修5p15练习1改编)在abc中，若a=2，b=2，c=2，则角a=.【答案】45【解析】由余弦定理，得cos a=，所以角a=45.3.(必修5p17练习6改编)在abc中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，那么角a=.【答案】60【解析】由(a+b+c)(b+c-a)=3bc，得b2+c2-a2=bc，所以cos a=.因为0ac.若=2，cos b=，b=3.(1)求a和c的值；(2)求cos(b-c)的值.【解答】(1)由=2，得cacos b=2.又因为cos b=，所以ac=6.由余弦定理，得a2+c2=b2+2accos b，又b=3，所以a2+c2=9+22=13.联立解得a=2，c=3或a=3，c=2.因为ac，所以a=3，c=2.(2)在abc中，sin b= =，由正弦定理，得sin c=sin b=.因为a=bc，所以c为锐角，所以cos c=.所以cos(b-c)=cos bcos c+sin bsin c=+=.结合正、余弦定理解三角形的面积问题例3(2015陕西卷)已知abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，向量m=(a，b)与n=(cos a，sin b)平行.(1)求角a的大小；(2)若a=，b=2，求abc的面积.【解答】 (1)因为mn，所以asin b-bcos a=0.由正弦定理，得sin asin b-sin bcos a=0，又因为sin b0，所以tan a=，由于0a0，所以c=3.故abc的面积s=bcsina=.方法二：由正弦定理，得=，从而sin b=.又由ab知ab，所以cos b=，故sin c=sin(a+b)=sin=sin bcos +cos bsin =，故abc的面积s=absin c=.【精要点评】(1)本题考查解三角形和求三角形的面积，利用正弦定理进行边角互化，继而求出角a的大小.利用余弦定理求出c的值，代入到三角形面积公式中求解计算.(2)高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，核心是 “变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.变式(2014安徽卷)设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且b=3，c=1，abc的面积为，求cos a和a的值.【解答】由三角形面积公式，得sabc=bcsin a=sin a=，所以sin a=.因为sin2a+cos2a=1，所以cos a=.2 当cos a=时，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos a=32+12-213=8，所以a=2.当cos a=-时，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos a=32+12-213=12，所以a=2.1.(2014福建卷)在abc中，若a=60，ac=2，bc=，则ab=.【答案】1【解析】由余弦定理得cos a=，即=，解得ab=1.2.(2014苏北四市期末)在abc中，已知ab=3，a=120，且abc的面积为，那么bc边的长为.【答案】7【解析】由题意得sabc=abacsin a=ac=，所以ac=5.由余弦定理得bc2=ab2+ac2-2abaccos 120=9+25-235=49，解得bc=7.3.在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知b-c=a，2sin b=3sin c，则cos a=.【答案】-【解析】因为 2sin b=3sin c，所以 2b=3c.又因为b-c=，所以 a=2c，b=c，所以cos a=-.4.(2015广东卷)设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.若a=2，c=2，cos a=，且bc，则b=.【答案】2【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos ，所以22=b2+(2)2-2b2，即b2-6b+8=0，解得b=2或b=4，因为bc，所以b=2.5.在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=8.(1)若a=2，b=，求cos c的值；(2)若sin acos2+sin bcos2=2sin c，且abc的面积s=sin c，求a和b的值.【解答】(1)由题意可知c=8-(a+b)=.由余弦定理得cos c=-.(2)由sin acos2+sin bcos2=2sin c，可得sin a+sin b=2sin c，化简，得sin a+sin acos b+sin b+sin bcos a=4sin c.因为sin acos b+cos asin b=sin(a+b)=sin c，所以sin a+sin b=3sin c.由正弦定理可知a+b=3c.又a+b+c=8，所以a+b=6.由于s=absin c=sin c，所以ab=9，联立解得a=3，b=3.【融会贯通】融会贯通能力提升已知abc的周长为4(+1)，且sin b+sin c=sin a.(1)求边长a的值；(2)若sabc=3sin a，求角a的余弦值.【思维引导】【规范答题】(1)根据正弦定理可将sin b+sin c=sin a化为b+c=a3分联立方程组解得a=46分所以边长a=47分(2)因为sabc=3sin a，所以bcsin a=3sin a，则bc=610分又由(1)可知b+c=4，所以cos a=13分所以角a的余弦值为14分趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第6162页.【检测与评估】第31课余弦定理与解三角形一、 填空题 1.在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.若a=2，b=，c=2，则b=. 2.在abc中，若a2-c2+b2=ab，则角c的大小为. 3.已知锐角三角形abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.若23cos2a+cos2a=0，a=7，c=6，则b=. 4.(2014江西卷)在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.若c2=(a-b)2+6，c=，则abc的面积为. 5.在abc中，a，b，c分别为角a，b，c所对的边，若lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg，则角a=. 6.在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.若(a2+c2-b2)tan b=ac，则角b的大小为. 7.在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.若a2+b2=2c2，则cos c的最小值为. 8.已知abc的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，那么abc的面积为.二、 解答题 9.(2015天津卷)在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知abc的面积为3，b-c=2，cos a=-.(1)求a和sin c的值；(2)求cos的值.10.(2015浙江卷)在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知tan=2.(1)求的值；(2)若b=，a=3，求abc的面积.11.在abc中，a2+c2=2b2，其中a，b，c分别为角a，b，c所对的边.(1)求证：b；(2)若b=，且a为钝角，求角a的大小.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在abc中，已知a=，2cos2=(-1)cos b，c=，求角a.(答案提示：a=60，请将条件补充完整)13.已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边，a=2，且(2+b)(sin a-sin b)=(c-b)sin c，则abc面积的最大值为.【检测与评估答案】第31课余弦定理与解三角形1. 2【解析】直接用余弦定理得b=2.2. 30【解析】由余弦定理可得cosc=，所以c=30.3. 54. 【解析】由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos c，再根据题意得-2ab+6=-ab，即ab=6，因此abc的面积为absin c=3=.5. 120【解析】由题意得lg(a+c)(a-c)=lgb(b+c)，所以(a+c)(a-c)=b(b+c).所以b2+c2-a2=-bc，所以cos a=-，所以a=120.6. 或【解析】由余弦定理，得=cos b，结合已知等式得cos btan b=，所以sin b=，所以b=或.7. 【解析】cos c=1-=.8. 15【解析】由题意可设三边长分别为a-4，a，a+4，则由余弦定理得(a+4)2=a2+(a-4)2-2a(a-4)cos 120，解得a=10，则sabc=a(a-4)sin 120=15.9. (1) 在abc中，由cos a=-，得sin a=，由bcsin a=3，得bc=24.又由b-c=2，解得b=6，c=4.由a2=b2+c2-2bccos a，可得a=8.再由=，得sin c=.(2) cos=cos 2acos-sin 2asin=(2cos2a-1)-sin acos a=.10. (1) 由tan=2，得tan a=，所以=.(2) 由tan a=，可得sin a=，cos a=.又a=3，b=，由正弦定理知b=3.又sin c=sin(a+b)=sin acos b+cos asin b=，所以sabc=absin c=33=9.11. (1) 由余弦定理得cos b=. 因为a2+c22ac，所以cos b.又由0b，得b. (2) 由正弦定理得sin2a+sin2c=2sin2b. 因为b=，故2sin2b=1，于是sin2a=cos2c.因为a为钝角，所以sin a=cos c=cos=sin，解得a=.12. 【解析】由题知1+cos(a+c)=(-1)cos b，所以1-cos b=(-1)cos b，解