期末复习提纲V1.2.pdf

自动控制原理 期末复习 1 考试范围 2 2 重点内容 2 3 内容讲解 3 3 1 系统建模和转换 3 3 2 控制系统时域分析 4 3 3 控制系统的复域分析 6 3 4 控制系统的频域分析 9 3 5 频域稳定性 12 3 6 控制系统设计 14 3 7 非线性系统 19 自动控制原理 期末复习 1 考试范围 2 2 重点内容 2 3 内容讲解 3 3 1 系统建模和转换 3 3 2 控制系统时域分析 4 3 3 控制系统的复域分析 6 3 4 控制系统的频域分析 9 3 5 频域稳定性 12 3 6 控制系统设计 14 3 7 非线性系统 19 1 考试范围考试范围 铺盖全书内容 以系统建模 时域分析 复域分析 频域分析 系统设计和非线性系统 稳定性为主要考试内容 1 系统建模 时域分析在半期考试已经考察 本次不作为重点内容单独考察 2 复域分析 根轨迹的绘制和分析 3 频域分析 Bode 图的绘制和绘制 4 频域稳定性 Nyquist 稳定性判据 5 控制系统的串联校正设计 超前校正 滞后校正 Bode 根轨迹 6 非线性控制系统稳定性和自持振荡 2 重点内容重点内容 复习时重点掌握五张图的绘制和分析 二阶系统时域响应图形 根轨迹图形 Bode Nyqiust 图 含极坐标图 负倒描述曲线 具体说明如下 1 二阶系统时域响应图形 sin 1 1 tety n t n 上升时间 调整时间 超调量 2 根轨迹图形 角条件和模条件 180 12 180 1 ksHsG sHsKG 绘制步骤 分析 3 Bode 在对数坐标上严格绘制 基本环节分解 幅频特性 斜率相加 相频特性 五点法光滑曲线连接 4 Nyqiust 图 含极坐标图 映射关系求解 与负实轴交点求解 Z N P 5 负倒描述曲线 非线性部分负倒描述函数求解 负倒描述函数的起点与终点 曲线 自持振荡稳定性判断 3 内容讲解内容讲解 3 1 系统建模和转换系统建模和转换 1 控制系统的组成 比较点比较点 传函传函 分支点分支点 G s Gc s H s R s Y s 有向信号线有向信号线 2 基本控制方式 微分方程微分方程 G s G jw L L 1F F 1 s jw 开环控制 闭环控制 复合控制 3 数学模型 应用 Laplace 变换求解微分方程 传递函数的求解和化简 模型之间的熟练转换 主要难点是传递函数和状态空间方程 状态方程 传递函数 DuCxy BuAx x DU s CX s Y s BU s AX s sX s DU s CX s Y s BU s A sIX s 1 U s DBA C sIY s 1 传递函数 状态方程 常数分子项传递函数 状态方程 多项式分子传递函数 输出方程 0 1 1 1 asasa n n n n 0 1 1 bsbsb m m m m 3 2 控制系统时域分析控制系统时域分析 21 10 q N m pspspss zszszsk sG 1 控制系统的零点和极点 输入信号的极点决定了强迫响应类型 传递函数的极点决定了自然响应类型 零点影响了各种运动模态在响应这的比重 极点越远离虚轴 衰减越快 G s 1 R s Y s E s 高阶系统的主要响应由主导极点决定 2 时域响应 一 二阶系统 动态特性 以二阶欠阻尼系统的振荡响应为例 2 2 2 2 nn n sssR sY 10 arccos 1 sin 1 1 2 tety n t n 2 1 n j n n 1 2 2 1 nn s arccos 100 4 2 1 e T n s 稳态特性 系统类型 0 1 2 误差系数 p ss s p K esGimlK 1 1 0 v ss s v K essGimlK 1 0 a ss s a K esGsimlK 1 2 0 稳定性 代数稳定判据 劳斯判据 3 3 控制系统的复域分析控制系统的复域分析 1 根轨迹的定义 G s R s K Y s H s 基本条件 0 1 sHsKGsq 角条件和模条件 180 12 180 1 ksHsG sHsKG 当控制系统开环增益 K 0 发生变化时 系统的闭环极点也随之发生改变 通 过选择合适的 K 值获得系统闭环根的分布 从而得到满意 预期 指定的系统特性 2 根轨迹的绘制 基本绘制规则和步骤 写出特征方程 求解开环零极点 在复平面标注出开环零极点 确定实轴上的根轨迹 确定根轨迹的分支数 根轨迹关于实轴对称 如果有 根轨迹的渐近线 如果有 应用劳斯判据求解根轨迹与虚轴的交点和临界开环增益 Kcr 如果有 确定实轴上的分离点 如果有 求解开环交点的出射角和开环零点的入射角 确定满足相角条件的根轨迹上的点 超调量 确定闭合根对应的参数值 K 3 根轨迹的分析和计算 根据阻尼比求解对应增益 K arccos 100 4 2 1 e T n s 根据给定增益K值确定闭环系统特征根 采用主导极点近似方法 计算系统的动态 性能指标 在给定 K 值情况下系统闭环稳定性分析 根轨迹与虚轴的交点 该点对应的临界增益值 在给定 K 值情况下稳态性的分析 系统类型 误差系数 例 1 P7 3 已知根轨迹如下 例 1 P7 3 已知根轨迹如下 14 12 10 8 6 4 2024 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 求 1 写出系统的开环传递函数 2 实轴上的分离点以及该点对应的增益 K 3 当有两个 闭环特征根位于虚轴时 系统的增益和特征根 4 K 6 时的闭环特征根 求 1 写出系统的开环传递函数 2 实轴上的分离点以及该点对应的增益 K 3 当有两个 闭环特征根位于虚轴时 系统的增益和特征根 4 K 6 时的闭环特征根 解 解 1 写出系统的开环传递函数 5 2 sss K sG 2 实轴上的分离点以及该点对应的增益 K 令0 ds dK ds sdG 得 解得 01073 2 ss 78 3 88 0 6 7614 2 1 s 舍去 根据幅度条件1 5 2 88 0 s sss K 得 06 4 K 3 当有两个闭环特征根位于虚轴时 系统的增益和特征根 如图根据根轨迹与虚轴的交点有 0 5 2 107 1 23 sss Ksss sGsp 令 js 带入得 0107 33 Kjj 07 010 2 3 K 得 70 10 K 10 2 1 s 4 K 6 时的闭环特征根 当 K 6 时 特征方程 06107 23 sss 显然 K 6 时 系统存在一个位于 4 之间得实根和一对共扼复根 试根法 ps ssssp 6107 23 s 5 p 6 s 6 p 18 s 5 5 p 3 62 s 5 3 p 0 7530 s 5 34 p 0 0641 12 166 1 34 5 6107 223 ssssss 解得 s1 5 3369 s2 3 0 8315 0 6579i 根轨迹主要特征点如图 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 14 12 10 8 6 4 2024 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 0 160 30 460 60 72 0 84 0 92 0 98 0 160 30 460 60 72 0 84 0 92 0 98 24681012 System sys Gain 4 06 Pole 0 88 Damping 1 Overshoot 0 Frequency rad sec 0 88 System sys Gain 69 3 Pole 0 00261 3 15i Damping 0 000831 Overshoot 99 7 Frequency rad sec 3 15 System sys Gain 6 Pole 0 824 0 657i Damping 0 782 Overshoot 1 95 Frequency rad sec 1 05 3 4 控制系统的频域分析控制系统的频域分析 1 频域特性函数 定义 js sGjG 相频响应函数 幅频响应函数 arctan jG jGG GjG 几何表示方法 极坐标图 Nyquist 图 稳定性判据和稳定裕量的定义 对数频率图 Bode 图 系统的分析和校正 对数幅相图 Nichols 图 了解 2 基本环节的几何图形 比例环节 常数增益 K KjGKsG 积分 微分环节 原点处极点 零点 j jG s sG 1 1 一阶惯性 微分环节 实轴上的极 零点 1 1 1 1 Tj jG Ts sG 二阶振荡 微分环节 共轭复极点 复零点 1 2 1 12 1 222 TjTj jG TssT sG 3 复杂系统 bode 图的绘制 a 将开环传函分解为基本环节之积 b 确定开环增益 比例环节 和转折频率 一 二阶环节 c 画出各单元渐近线 d 从左向右 每遇到一个转折频率将各曲线斜率相加 e 将各相频曲线相加 关键点进行精确计算确定 例 1例 1 36 1 1 8 1 1 2 1 sbsss assK sG 解 如图 在低频段903 0 20 1log8 log 20lg20 K 8 K 转折频率 36 24 8 4 2 54321 对比可得 24 1 4 1 ba 36 1 24 1 8 1 4 1 2 1 8 ssss ss sG 例 2 已知系统传递函数为例 2 已知系统传递函数为 120 8 12 15 0 4 2 ssss s sG 绘制图形并分析性能 绘制图形并分析性能 a a 绘制 Bode 图 绘制 Bode 图 120 8 12 15 0 4 2 jjjj j jG 幅频特性 幅频特性 1 分解为基本环节 确定各转折频率 2 确定低频段与纵轴的截距 然后在各转折频率点出斜率相加 相频特征 相频特征 1 选取 80 8 2 5 0 05 0 点计算 arctan jG 的值 标注在 图上 根据对幅频图形的判断 添加幅值增益为 0 时对应的频率为 w1 初的相位 2 用光滑曲线连接 Bode Diagram Frequency rad sec 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 270 225 180 135 90 Phase deg System sys Frequency rad sec 7 69 Phase deg 180 100 50 0 50 100 Magnitude dB System sys Frequency rad sec 1 46 Magnitude dB 1 07 b 计算幅值增益为 0 时对应的频率为 w1 和相位为 180 时对应的频率 w2 根据绘制的 Bode 图进行读取 c 增益裕量 log20 2 jGGM 相位裕量 arg 180 1 jG M 3 5 频域稳定性频域稳定性 1 极坐标图 定义 以 位参变量 当 从 0 发生变化时 G j 在复平面形成的曲线 G jXRjG 对物理可实现系统 n i i i m j j j R k kkk M m m N Q i i ja jb jjjj jK jG 0 0 1 2 1 1 2 1 1 1 在低频段 N j K G 0 高频段 mn n m ja b G 1 0 型系统 I 型系统 II 型系统 0 型系统 I 型系统 II 型系统 n m 1n m 1 n m 2 n m 3 n m 2 n m 3 n m 4n m 4 2 Nyqiust 判据 基于复变函数的科西映射定理 G s H s R s Y s E s 当 sD sN sH sD sN sG H H G G 时有 1 sDsD sNsNsDsD sHsGsF HG HGHG 通过 D 型围线的选取 考察0 1 sHsGsp的根的分布情况 a D 型围线 b 广义 D 型围线 Nyqiust 判据 考察映射后形成的像围线绕 1 0 点的圈数 顺时针为正 PNZ 其中 P 不稳定开环极点个数 由给定的开环传递函数确定 N 像围线绕 1 0 点的圈数 从 Nyquist 图中读取 Z 不稳定闭环极点的个数 计算并判断 例 1 已知系统开环传递函数为例 1 已知系统开环传递函数为4 4 2 K sss K sGH 利用 Nyquist 图形判 断系统稳定性 求与实轴的交点 并指出稳定范围 利用 Nyquist 图形判 断系统稳定性 求与实轴的交点 并指出稳定范围 18090 0 4 90 4 0 4 90290180290 90 90180290 90 0020 0 二相限 三相限 je K eee K CeC eee K BeB eee K AeA jjjj j jjj j jjj j 1 4 1 2 1 0 8 0 6 0 4 0 20 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 如图 当 K 发生变化时 曲线与实轴的交点发生变化 4 2 Re 20 4 Im 4 4 4 2 222 2 2 K jGH KjGH jjK jj K jGH 所以 当时 曲线与实轴交点在 1 0 的右侧 Z 0 P 0 N 0 40 K 系统稳定 3 6 控制系统设计控制系统设计 1 串联校正方式和校正网络 G s H s R s Y s E s Gc s n j j m i i c ps zs KsG 1 1 a 超前校正网络 T s T s Ts Ts sCR RR R sCR RR R sGc 1 1 1 1 1 1 11 21 2 11 21 2 其中1 2 RR R 21 b 滞后校正网络 T s T s Ts Ts sCRR sCR sGc 1 1 1 1 1 1 1 221 22 其中1 21 2 RR R c 滞后 超前校正网络 2 校正方法 a 频域校正 性能指标 误差系数 增益裕量 相位裕量 dbGsK MMv 10 50 20 1 校正原则 低频段 系统稳态误差 增益足够大 保证误差系数 中频段 系统动态响应 充足的稳定裕度 良好的动态特征 高频段 系统抗干扰能力 尽可能快的下降 衰减高频干扰噪声 校正步骤 串联超前校正 1 根据误差系数确定开环增益 K 绘制未校正系统的 Bode 图 计算系统 的相角裕度 2 根据给定的相位裕量 确定所需要的最大超前相角 m 3 根据超前校正网络特性 计算系数 4 计算新的幅穿频率点 c m 5 计算极点和零点 6 绘制校正后的系统 Bode 图 验证相位裕度是否满足了设计要求 串联滞后校正 1 根据稳态指标 确定系统开环增益 K 绘制对应 Bode 图 2 计算为校正系统的幅穿频率和相位裕量 3 计算能满足相角裕度设计要求的交点频率 附加滞后相角 4 配置滞后网络的零点 通常取零点频率比预期交点频率小 10 倍频程 5 根据交点频率和为校正系统的幅值增益曲线 确定校正网络需提供的增 益衰减 2olog 从而确定 6 计算校正网络的极点频率 完成设计 7 绘制校正后的系统 Bode 图 验证相位裕度是否满足了设计要求 b 根轨迹校正 性能指标 误差系数 调整时间 超调量 17 2 5 1 stsK sv 校正原则 系统通常近似为二阶主导极点系统进行分析设计 最后进行主导性验证 n s nn t e j p 4 3 cos 100 1 2 1 2 21 校正步骤 串联超前校正 1 根据系统性能指标 求出主导极点的预期位置 2 绘制未校正系统的根轨迹 验证系统是否具有预期主导极点 3 当主导极点位于根轨迹左侧 校正网络需增加超前相角 采用超前校正 网络形式 4 求出需增加超前相角 采用平方角度法来确定控制器零极点 30210180180 10 SG c 92824 75sin 45sin sin sin 4645 sin sin 45180 2 1 Z P nc n c c c 5 根据根轨迹幅值条件 确定校正后的 K 值 6 验证闭环极点的主导性和性能指标 sv tK 串联滞后校正 1 根据系统性能指标 求出主导极点的预期位置 2 绘制未校正系统的根轨迹 验证系统是否具有预期主导极点 3 当主导极点位于根轨迹上 采用滞后校正网络形式 4 确定未校正系统在主导极点位置的增益取值 计算此时的误差系数 5 根据校正前后的误差系数 计算 p z K K v v 校正前 校正后 6 选取零点 z 为原系统参数最大时间常数为 1 秒的十倍 原系统考原点最 近稳定实根的 1 10 求得零极点 7 根据幅值条件 确定校正后总的开环增益 K 8 验证闭环极点的主导性和性能指标 sv tK 例 1 对照校正步骤 复习讲义中的例子 认真理解每一步 例 2 已知单位负反馈系统的开环传函为 1 01 20 ss sG 串联校正装置传函为 110 1 s s sG 1 绘制校正前后的 Bode 图 幅频和相频 2 计算校正前后的截至频率 幅值增益为 0 时对应的频率 及相位裕量 3 判断系统采用何种校正方式 解 1 Bode 图 100 50 0 50 100 150 Magnitude dB 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 180 135 90 45 0 Phase deg Bode Diagram Frequency rad sec 2 校正前 146 10log log40 cc 2 37 14 180 jG M 校正后 26 1log log20 cc 5 54 14 180 jG M 3 校正前后 幅频左移 截至频率降低 稳定裕量增大 校正网络为滞后相角 故采用滞后校正方式 Bode D