一道函数导数质检试题的命制过程与教学启示.pdf

一道函数导数质检试题的命制过程与教学启示一道函数导数质检试题的命制过程与教学启示 发表于 数学通讯 发表于 数学通讯 2013 7 82013 7 8 1 1 试题 试题 20132013 年泉州市质检理科年泉州市质检理科 2121 题 题 已知函数 3 10 n fxxnxx nN 求函数 3 fx的极值 判断函数 n fx在区间 1nn 上零点的个数 并给予 证明 阅读右边的程序框图 请结合试题背景简要描述其算法功能 并求出执行框图所表达的算法后输出的n值 2 2 命制过程命制过程 他山之石可以攻玉 研究他省高考试题或模拟考试题 借用他 人的命题背景 借鉴他人的命题手法是常见的一种命题方法 在平时的 试题研究中 笔者研究了 2012 年高考陕西卷第 21 题 设函数 n n fxxbxcnNb cR 设2n 1 1bc 证明 n fx在区间 1 1 2 内存在唯一的零点 设2n 若对任意 12 x x 1 1 有 2122 4fxfx 求b的取值范围 在 的条件下 设 n x是 n fx在 1 1 2 内的零点 判断数列 23 n xxx 的增减性 笔者欲参考此题进行试题编制 上述试题中 以n为参数构造了一个过定点的函数族 并 在此函数族的基础上展开研究 在 中主要考查函数的零点 在 中主要考查了二 次函数的值域问题 在 中考查了数列的单调性问题 以n为参数构造出过定点的函数族 是一种较新的命题方法 值得借鉴 因此笔者考虑 改变参数n的位置 构造出函数 3 10 n fxxnxx 并以此为载体展开思考 同时 在解答题中 函数的零点 也是一个较新的考查点 因此笔者打算把函数单调性判断与函数 的零点融合在一起 与 2012 年高考福建文科卷压轴题中零点的个数问题类似 意在强调思维 的严谨性及表达的规范性 于是生成了初稿中的第 问 接着 如何让问题继续进行下去 呢 笔者思考 既然函数 n fx的零点为 n a 是否可以转换方向 对数列 n a的性质进行研 究呢 这样就能使 两步有一定的关联性 同时 也有相对的独立性 这样的话学 生 在 未 能 得 解 的 前 提 下 也 能 对 展 开 研 究 由 知 1 12 nn nanan nN 求函数 3 fx的极值 证明 函数 n fx在区间 1nn 上有唯一零点 n a 在 前提下 设 n b为方程 n fxx 的解 试比较2 n nb 与1 n na 的 大小 初稿定稿后 感觉存在的主要问题有 1 在第 问中 考查的是 证明问题 这类问题比较缺乏探究的味道 同时 学生在答题时也容易 走江湖 考查目标是否达成 在评价中难以体现 也给评卷带来一 定的困难 2 在第 问中 要对2 n nb 与1 n na 的大小进行比较 难度偏大 3 试题考查知识点较为单一 为了解决上述问题 进一步完善试题 经过众命题老师的多次研讨 拟把第 问改为 了 判断函数 n fx在区间 1nn 上零点的个数 并给予证明 使问题具有一定的开 放性 具有探究的味道 把第 问改为研究 n a与区间 1nn 的中点 1 2 nn 的 关系 以适当降低试题的难度 同时 在问题中融入算法框图这一知识点 以呼应 2011 年泉 州市质检理科第题 19 题 本题为立体几何与算法框图交汇的应用题 可参阅 2011 年泉州市 质检理科卷 延续泉州质检的命题风格 3 3解题思路解题思路 在 中 把3n 代入 得 3 3 31fxxx 求导得 2 3 33fxx 所以当1x 时 3 0fx 当01x 时 3 0fx 所以当1x 时 3 fx取得极小值3 无极 大值 在 中 把区间 1nn 的左右端点分别代入函数 n fx的解析式并判断其符号 可得 0 n fn 所以 10 nn fnfn 所 以 n fx在区间 1nn 上单调递增 所以函数 n fx在区间 1nn 上的零点最 多一个 综上知 函数 n fx在区间 1nn 上存在唯一零点 在 中 由程序框图可知 其算法的功能是 找出最小的正整数n 使 n fx的零点 n a 满 足 1 2 n nn a 下 面我 们来 求解 满足 条件 的 n a 由 知 n fx在 区间 1nn 上 单 调 递 增 因 此 要 比 较 1 2 n nn a 的 大 小 只 需 要 比 较 1 0 2 n nn ff a 的大小 因为 1 2 n nn f 31 1 8 nn 所以当 03n 时 1 0 2 nnn nn ff a 所以输出的n值应为 4 4 4 试题亮点试题亮点 1 1 试题设计简约而不简单 试题设计简约而不简单 本题的表述非常简洁 寥寥数语即明确表达出命题者的考查意图 充分体现出数学的简 洁美 同时 本题的考查内容十分丰富 涉及了函数的零点 导数 极值 单调性 算法框 图等知识点 实现了知识的自然交汇 2 2 试题设计强调多思少算 试题设计强调多思少算 本题重在考查学生对数学基础知识 基本技能的掌握程度 以及综合分析问题 解决问题 的能力 题目虽然处于解答题的压轴题位置 但是并不是以增大计算量的方法来增大试题难 度 而是在问题的解决过程中 突出对数学思想方法的考查 尤其是对函数与方程思想 转 化与化归思想的考查 如 第 问零点个数虽然可从框图中得到暗示 如考生真能从框图 中找到暗示 也从某种程度上达到了对框图解读能力的考查意图 第 问 结合试题背 景简要描述其算法功能 对学生是绝对的挑战 但创新了一种新的考查方式且很好地体现了 课标的基本精神 5 5 检测功能检测功能 本题以 含参数n的过定点函数族 为载体 考查函数的零点 函数的单调性 导数 极 值 算法框图等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力以及应用意识和创新意识 考 查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 分类与整合思想 6 6 教学启示教学启示 1 1 下阶段复习应注意夯实数学基础知识 下阶段复习应注意夯实数学基础知识 从本题可以看出 题目新而不难 新而不怪 题目重点考查的还是高中数学的核心知识点 只是把核心知识点以新角度进行组合 新的呈现方式进行呈现 正所谓 万变不离其宗 如函 数背景虽在变化 其实质依然是三次函数 如判断函数零点的个数 虽然区间端点在变化 但是所采用的方法依然是函数零点存在定理 再如比较 1 2 n nn a 的大小 其本质依然 是函数的单调性问题 因此 复习教学中我们要重视基本知识 基本技能的再夯实 构建完善 的知识网络 以不变应万变 2 2 下阶段复习应注意渗透数学思想方法 下阶段复习应注意渗透数学思想方法 本题的问题 的解决过程中 需把 函数的零点 问题转化为 方程的根 问题 问题 的解决过程中 需把 比较 1 2 n nn a 的大小 问题转化为 函数的单调性 问题 充分考查了函数与方程 转化与化归等数学思想 我们说 数学思想方法是数学的精髓 它统领整个问题的解决过程 因此 为了进一步提高数学解题能力 我们要把数学思想方法 融合于复习教学过程 润物细无声 地进一步渗透数学思想方法 3 3 下阶段复习应注意培养学生的数学能力 下阶段复习应注意培养学生的数学能力 本题主要考查推理论证能力 运算求解能力以及应用意识和创新意识 同时 本题通过程 序框图考查数学阅读能力和数