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1 数学分析数学分析 1 测试题测试题 1 一 一 填空题 每小题填空题 每小题 3 分 共分 共 24 分 分 1 已知 2 1 1S n 则 supS infS 2 设 2 1 cos x f x x 那么 0 lim x f x 3 2 0 1 sin lim x x x x 4 1 lim 1 n n n a a a 当时 5 0 lim xx f x 存在的归结原则是 6 函数 3 0 sin2 1 0 x x f xx x 的间断点为 且为第 类间断点 7 cos f xx 在 x 处的导数不存在 8 已知 1 2 1 1 1 lim 1 x fxf f x 则 二 二 计算题计算题 每小题每小题 8 分分 共共 56 分分 1 求 1 lim nnn n nnnn n L 2 设 2 arctan1 f xxxxfx 求 3 设 ln x f xxfx 求 4 曲线的参数方程为 sin cos2 xt yt 求曲线在 4 t 处的切线 法线方程 5 已知 1 sin 0 0 0 xx f xx x 问 1 为何值时 f x 在 x 0 处连续 2 为何 值时 f x 在 x 0 处可导 6 求 3 0 sin lim x xx x 2 7 求 1 ln 0 cos lim sin x x x x 三 三 证明题证明题 每小题每小题 10 分分 共共 20 分分 1 用 定义证明 0 111 lim 2 x x x 2 证 明 当 12122121 0 sinsin 2 x xxxxxxx 求lim nnn n ab 2 设 2 1 f xxxfx 求 3 3 设 cos sin x f xxfx 求 4 已知 1 x f xxfx 求 5 已知 2 89 0 1 0 xxx f x axx b 2 试叙述 0 lim xx f x 存在的归结原则 并说明 0 1 limcos x x 不存在 3 试指出 2 sgn 1 f xx 的间断点 并说明类型 4 设 2 0 0 xx f x xx 试叙述保号性定理 并给出证明 9 分 3 10 分 设 f x 在 0 x 处可导 且 0 0f x 试用导数的定义证明 0 0 2 0 1 x x fx f xfx 数学分析数学分析 1 测试题测试题 4 一 填空题 每小题 3 分 共 24 分 1 已知 1 1 SnN n 则 supS infS 2 1 lim 1 n n n n 3 0 lim xx f xA 的定义是 5 4 设 sin3 0 1 0 x x f xx x 那么 0 lim x f x 5 当 2 0 x xe 时 1与 为等价无穷小量 6 0 1 ln 1 1 lim x x x 7 由图象及导数的几何意义知 cos f xx 在 x 处不可导 8 设 3 f xxxa b 则拉格朗日中值定理中的 a b 二 计算题 每小题 8 分 共 48 分 1 求 lim23 nnn n 2 试叙述 0 lim xx f x 存在的归结原则 并说明 0 1 limsin x x 不存在 3 试指出 2 sgn 31 f xxx 的间断点 并说明类型 4 设 cos 0 1 sin 0 xx f x xx 求 fx 5 设 2 cos sin x f xfx 求 6 设 sin 2 ax b f xed f x 求 三 证明题 共 28 分 1 用 定义证明 1 1 lim 12 x x x 9 分 2 设函数 0000 f xxg uuuf x 在 连续在连续 且证明 0 g f xx在处连续 9 分 3 设 f x 在 0 x 的某邻域内有定义 且在 0 x 可导 若 0 x 为 f x 的极值点 则必有 0 0fx 10 分 数学分析数学分析 1 测试题测试题 5 一 填空题 每小题 4 分 共 32 分 6 1 已知 2 0 1 2 S 中的有理数 则 MaxS infS 2 若 f x 在 D 上满足 则称 f x 在 D 上有界 3 将区间 0 2 中的点的 x 映射到区间 0 1 中的点 u 的映射 u 而将 2 6 映射 到 0 1 的映射 u 4 0 1 cos2xx 当时的等价无穷小是 5 sgn cos f xx 的所有间断点的集合为 且是 类间断点 6 曲 线 yf x 在 点 00 xf x处 的 切 线 方 程 为 法 线 方 程 为 7 试举一函数 f x 该函数在 0 x 处连续 但不可导 8 已知 0 2 0 0 2 lim sin x fxf f x 则 二 计算题 每小题 6 分 共 36 分 1 求 222 111 lim 12 n nnnn L 2 求极限 2 2 ln sin lim 2 x x x 3 求极限 2 2 2 1 lim 1 x x x x 4 设 2 1 3ln arcsin ytgxy x 求 5 设 ln x yx y 求 6 设 2 2 sin cos t t xet dy d y dx dx yet 求 四 证明题 每小题 2 分 共 20 分 1 用 定义证明 2 1 1 lim2 x x x 2 设 n a为递增且有上界函数 证明limsup nn n aa 并举例说明 3 设 2 x f xx e 证明 1 fx 在 0 3 上有界 2 用定义证明 f x 在 0 3 上一 致收敛 7 4 试求极限 1 2 1 lim11 x x x 并证明 lim10 k k n nn 0 k 求lim nnnn n abc 2 求极限 1 lim1 x x x e 3 求极限 1 0 lim 1 sin x x x 4 设 3 12sinln arc yxtgy x 求 5 设 cos sin x yx y 求 6 设 2 2 2 3 2 2 xtt dy d y dx dx ytt 求 三 证明题 每小题 2 分 共 20 分 1 用 定义证明 1 1 lim 12 x x x 8 2 设 0 0 1 sin 0 k x f x xx x 分别求 1 当 k 为何值时 f x 在 0 0 x 处可导 2 当 k 为何值时 0 0fxx 在连续 3 用定义证明 2 f xx f x 在 1 3 上一致收敛 问 f x 在 1 3 也一致收敛吗 为 什么 4 证明 若 f x 是以2 为周期的函数 则存在 使得 ff 数学分析数学分析 1 测试题测试题 7 一 填空题 每小题 3 分 共 24 分 1 用 定义叙述 函数 yf x 在 0 x 处的右极限是实数 A 的定义是 2 用N 语言陈述数列 n a不是柯西数列为 3 无界数列不是无穷大量 试利用子列的性质 列举一个在 n 时 不是无穷大量的无 界数列 4 设 1g xf x 且lim xa g xe 则lim xa f x 在 xa 时 函数 f x 收敛的理由 是 5 0 sin lim x mx tgnx 0 1 lim sin x x x 6 函数 f x 在 0 x 处连续是 f x 在 0 x 可微的 条件 函数 f x 在 0 x 处可微是 f x 在 0 x 连续的 条件 7 连续函数 f x 的局部保号性是指 8 若 函 数 f x 在 0 x 处有 0 0fx 则曲 线 00 yf xxf x 在点处的法线方 程 是 二 计算题 每小题 8 分 共 48 分 1 计算极限 1 21 32 lim 31 x x x x 2 2 0 21 lim sin1 cos x xx 9 2 已知 1 1 1 1 1 0fff 试求 2 22 2 1 d fxx dx 在时的值 3 2 89 0 0 xxx f x x ax b 验证 0f xx 在可导 并求出 fx 的表达式 2 求证 方程 3 310 xx 在 0 1 内有且仅有一个实根 3 试用数学分析的有关知识说明 当x位于原点附近时 近似公式 ln 1 xx 的合理性 即说明此式的由来 数学分析数学分析 1 测试题测试题 8 一 填空题 每小题 3 分 共 24 分 1 用 定义叙述 函数 yf x 在数集 D 上无界的定义是 2 函数 yf x 在 0 x 左连续的定义 用 语言叙述为 3 构造一个在 上定义 0 x 时为无穷大量的函数是 4 数列 n a收敛是 n a的任意子列收敛的 条件 5 0 sinsin4 lim lim 3 xx xx xx 10 6 运用函数增量与微分的近似关系式计算0 97 时 应取 f x 0 x x 0 fx 7 曲线 2 23yxx 上 斜率为 2 的切线是过点 的切线 8 设 ln yfx 则函数 f x 可导 则 2 2 d y dx 二 计算题 每小题 8 分 共 48 分 1 计算极限 1 lim 1 mx x k x 2 0 11 lim 1 x x xe 2 已知等式 22 11 xx df xdfx dxdx 成立 求 1 1 1 ff 的值 3 已知 2 3 3 xx f x axbx 当 当 在 x 3 可导 则 a b各取值 4 设 yxarctgx 求 2 d y 5 已知 1 1 y x 求 n y 对结论的正确性请作严密的论述 6 求数集 2 3 x x 则 4 若 2 89 0 0 xxx f x x ax b 求 2 求极限 2 53 lim 52 x x x x 3 求极限 2 2 ln sin lim 2 x x x 4 设 2 1 3ln arcsin ytgxy x 求 5 设 ln x yx y 求 6 设 2 sin 32 x yedy 求 7 设 2 2 sin 2 cos t t xet dy d y t dx dx yet 求并求当时曲线的切线方程与法线方程 三 证明题 8 9 10 27 分 1 用 定义证明 2 1 1 lim0 x x x 2 用拉格朗日中值定理证明 当0ba 时 有 ln babba baa 3 试叙述函数 f x 在区间 I 上一致连续的定义 并据定义证明 1 sinf x x 在区间 c 1 其中 0 c 在0 x 处连续 则 a 6 已知 1 lim 1 n n n a a a 则 7 31 lim sinsin2 x xx xx 8 设 0 0 0 2 lim sin2 x f xf f x 则 二 计算题 6 6 6 7 7 7 7 9 1 12 lim nnn n n n L 求 2 求极限 2 32 lim 31 x x x x 3 求极限 0 2 lim sin xx x eex xx 4 设arcsin ln 1 x