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固体 力学 期末 总结

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第一章第一章 静力学基本概念静力学基本概念 1 力力 力是物体间的相互作用 这种作用使物体发生机械运动状态的改变 静力学中对刚体适力是物体间的相互作用 这种作用使物体发生机械运动状态的改变 静力学中对刚体适 用 称为力的外效应 或者使物体发生变形 适用于变形体力学 称为力的内效应 用 称为力的外效应 或者使物体发生变形 适用于变形体力学 称为力的内效应 力的单位 牛 顿 N 1N 1kg m s2 达因 dyne 使 1 克质量产生每秒每秒 1 厘米加速度 1dyne 1g cm s2 1 牛顿 105达因 公斤 千克力 1 公斤 981000 达因 106达因 10 牛顿 力的三要素 力的大小 力的方向 力的作用点 力的三要素决定了物体运动状态的改 变 力的合成 力是向量 矢量 向量 矢量 力的合成与分解要做向量运算 如向量的加法和减法 在平面上 平面上力的平衡条件 2 刚体刚体 刚体是在任何情况下永远不变形的物体 是一种理想化的模型刚体是在任何情况下永远不变形的物体 是一种理想化的模型 通常 我们在考虑物体 机械运动的时候 如果物体形变相对于它的运动来讲要小的多 这时就可以忽略物体自身变 形而近似看作是刚体 刚性地体 这长时间尺度内的一个概念 与褶皱带相比 在外力作用下 刚性地块变形 要小得多 这种块体的 成熟度 要高得多 它是经过漫长地质年代的地质作用 岩浆作用 变质作用 褶皱作用等 的 千锤百炼 而形成的刚硬地块 所以在块体内部很少有地震 3 质点质点 在运动学里 质点是具有一定质量 但其形状与大小可以忽略不计的物体在运动学里 质点是具有一定质量 但其形状与大小可以忽略不计的物体 力作用在质点上不产生力矩 作用在刚体上会产生力矩 质点系是由有限个或无限个有着一定联系的质点所组成的质点群 4 自由体自由体和非自由体和非自由体 自由体是可以在空间作任意运动的物体 若物体运动时在某些方向受到其周围物体的限制 而不能沿这些方向有位移 这种物体 称为非自由体 5 约束和约束反力约束和约束反力 阻碍物体运动的限制条件称为约束 阻碍物体运动的限制条件称为约束 构成约束的周围物体本身 为方便起见也称为约束 约束限制了物体的自由运动 改变了物体的运动状态 因此 约束必然对物体有力的作约束必然对物体有力的作 用 这种力就称为约束反力 用 这种力就称为约束反力 约束反力不是对抗约束的力约束反力不是对抗约束的力 6 作用力和反作用力作用力和反作用力 总是同时发生 其大小相等 方向相反 沿同一直线分别作用在两个相互作用的物体上 的一对力 7 力矩力矩 力对 O 点转动的效果 取决于 O 点到力 P 的作用线的垂直距离 d 称力臂 P 和和 d n i xixnxxxx FFFFFR 1 21 n i yiynyyyy FFFFFR 1 21 22 yx RRR 0 x F 0 y F 的乘积称为力对的乘积称为力对 O点力矩 点力矩 O 点是给定的转动中心 矩心 力矩是向量向量 规定 产生逆时针转动的力矩为正产生逆时针转动的力矩为正 力矩的三要素 力矩的大小 力矩的方向 力矩的矩心 力矩的计算 空间中一个任意力对一条轴线的力矩 就是把这个力分解为两个分力 一 个平行轴线 另一个垂直于轴线 前者不产生对这个轴线的力矩 力矩等于后者乘以力臂 合力矩的计算 合力对一点的矩等于分力对同一点的矩的和 一般情况 平面 求 F 对 O 点的矩 O 点到 Fx 作用线的垂直距离为 y O 点到 Fy 作用线的垂直距离为 x 则 合力矩正负判断 将分力和坐标都带上各自的正负号代入公式 得出力矩的正负 计算空间的多个任意力对同一点 矩心 的力矩做法 将每一个力对此点的分力矩求出 来 然后将所有对 x 轴的矩相加 对 y 轴和 z 轴的矩也分别相加 以上三个对坐标轴的 矩的合向量就是这些力对该矩心的合力矩 8 内力和外力 内力和外力 内力 质点之间的相互作用力 这些力大小相等 方向相反 作用在同一条作用线上 内力总是成对出现的 外力 其它物体作用在这个物体上的 它分为面力 通过接触面传递的 它作用在接触 面上的每个质点 和体力 是物体内每个质点都受到的外力 它的大小和质量成比例 不通 过接触 而是相隔一定距离相互作用的 9 力偶和力偶矩 力偶和力偶矩 力偶 大小相等 方向相反而且不共线的两个力构成一组力叫做力偶 力偶矩 假设这两力作用线之间的距离为 d 则力偶矩 M Pd d 称为力偶臂 力偶矩 也是向量 它的方向的规定与力矩相同 力偶矩与矩心的位置无关 力偶矩与矩心的位置无关 一个力平移后 要增加一个附加力偶 力偶矩就是该力对新作用点的力矩 10 力系 力系 力系 作用于已知物体上的一群力称为力系 当所有力的作用线汇交于同一点时 则该 力系称为汇交力系 当所有力的作用线都互相平行时 则称为平行力系 否则称为任意力系 力系合力 合力偶矩M0等于原各力对 O 点力矩的合力矩 空间任意力系的平衡条件 R 0 M0 0 平衡条件的成立与坐标系的选择无关 但选取不同的坐标系时 表达式会不一样 所以 应当选取适当的坐标系 使表达式简单 11 流体静力平衡 流体静力平衡 流体内一点在各方向的压强相等 流体中的压强是随深度增加的 p gh yFxFMz xy n i i n i i FFR 11 第二章第二章 均匀情况下的应力与应变均匀情况下的应力与应变 1 连续体和均匀体连续体和均匀体 变形体 连续体或连续介质 的假设 1 物体是由包含由大量分子 原子组成的微团组 成的一个连续体 可以无限小地分割 2 均匀性和各向同性 均匀性指在物体内各部分取 出的微团都有相同的物理性质 各向同性是指这个微团各个方向的物理性质都相同 2 内力 内力 应力应力和应力摩尔圆和应力摩尔圆 1 内力 内力 内力是物体内部各部分之间的相互作用力 它是由吸引力和排斥力两部分组 成的 两者都是分子之间的相互作用力的宏观表现 2 附加内力附加内力 当物体受外力时内力将发生变化 达到一个新的数值 通常我们只研究 在外力作用下内力的变化量 我们称之为附加内力 3 应力 应力就是单位面积上的附加内力 应力 应力就是单位面积上的附加内力 A P 非均匀的时候 A F S A 0 lim 应力单位 帕斯卡 Pa 1Pa 1N m2 千克每平方厘米 kg cm2 1 kg cm2 105Pa 注意 对于力 主要考虑它的作用点 而对于应力 我们不仅要考虑点 还要考虑截面不仅要考虑点 还要考虑截面 例如过同一点 取不同方向的截面 都有它自己的正应力和剪应力 并且一般来说 不同截 面上的应力是不一样的 应力的正负 规定与外法线方向相同的应力是拉应力 为正 与外法线方向相反的应与外法线方向相同的应力是拉应力 为正 与外法线方向相反的应 力是压应力 为负力是压应力 为负 这刚好与地学中常用表述相反 4 斜截面的应力问题 斜截面的应力问题 作外法线 n 由柱体的轴线逆时针转到外法线 n 的角度 为正角 反之为负角 斜截面的面积 cos AAn 斜截面上的应力为 cos cos 1 A P A P S n n 斜截面上的应力还可以分解为垂直于该截面的及平行于该截面的两个分量 正应力分量 2 1cos cos nn S 以拉为正 压为负 剪应力分量 sincossin 1 nn S 以使物体产生顺时针转动趋势的剪应力为正 逆时针为负 5 应力摩尔圆 应力摩尔圆 2cos1 2 1 1 n 2sin 2 1 1 n 于是 2 1 22 1 2 1 2 1 nn 代表一个圆 心在 0 2 1 1 处 半径为 1 2 1 的圆 我们称之为应力摩尔圆 应力摩尔圆的一些性质 a 应力圆代表物体内一点的应力状态 经过这点的任一斜截 面上的应力分量 正应力和剪应力 由应力圆上的一个对应点代表 b 在物体内 截面逆 时针旋转 角 则在应力圆上也按同一方向旋转 不过圆心角是 2 因此 两个相互垂直 的截面上的应力分量对应于应力圆直径的两个端点 而且这两个垂直面上的剪应力总是大小 相等符号相反的 称为剪应力互等定理剪应力互等定理或剪应力成对定理剪应力成对定理 c 最大剪应力 1 2 1 n 最 小剪应力 n 0 d 最大和最小正应力的截面上剪应力为零 这些特殊的正应力又叫做主主 应力应力 它们的方向又叫主应力方向主应力方向或主方向主方向 图 421 6 二向受力状态下的应力圆 二向受力状态下的应力圆 2 1 2 2 cossin n cossin 21 n 经过数学变形 可以 得到 2 2 21 2 221 nn 代表一个圆心为 0 2 21 半径为 2 21 的圆 1 和 2 是主应力 最大剪应力是 2 1 21 图 821 应力圆的大小取决于两个主应力之差的绝对值的大小 如果两个主应力相等 圆退缩成 一个点 相当于物体受围压 这时 过该点的任一截面上的应力相同 7 纯剪切 纯剪切 正应力为 0 但剪应力不为 0 的应力状态叫做纯剪切状态 3 应变应变和应变圆和应变圆 1 线应变线应变 在物体内的 A 点 沿某一方向取一短线段 AB 设其在变形前的长度为l 变形后长度的改变量为 如果在 AB 段内每单位长度的改变量是相同的 则比值 l 称为 A 点沿 N 方向的线应变 若不均匀 则定义 dl d l l lim 0 线应变无量纲 拉应变为正 压应变为负 a 伸长度 e b 长度比 S 0 0 l ll e e l l S 1 0 c 平方长度比 2 剪应变剪应变 设有两个原来相互垂直的方向 如 AB 和 AD 如果从某一方向顺时针旋 转 90 到另一方向 例如从 AB 到 AD 这个角度 直角 在变形中减少的量 以弧度计算 称为前一方向的正的剪应变 如果直角增大 则剪应变为负 3 应变圆应变圆 由图可知 于是 经过数学变形 我们得到 对于在两个互相垂直方向上都有伸长时 如下图 4 应力与应变的关系应力与应变的关系 胡克定律胡克定律 1 胡克定律 胡克定律 在应力小于某个数值时 应力和应变是成比例的 通常用 E 来表示比例 系数 E 这就是通常我们说的弹性应力应变关系 又称为胡克定律 Hooke s law E 称为弹性模量或杨氏模量 它的单位和应力单位相同 2 泊松比泊松比 定义 由轴向拉应变引起的横向压应变 轴向伸长的拉应变 称为横向收缩比 或泊松比 泊松比 永远为正 2 1 1 cos cos cos a a r r cossin cos sin 1 1 a a r AC cossin2 11 2 1 22 2 1 2 1 2 1 2 21 22 21 2 2 1 2 222 0 1 eS l l 对于各向同性体 它的弹性模量和泊松比在 x y z 方向都取成一样的 3 二向受力情况下正应力与 二向受力情况下正应力与应变之间的关系应变之间的关系 线应变 剪应变 G 称为刚性模量 体积变化 有边长为 1 的立方体 在一个方向拉伸 使这个方向的长度从1 变到 1 立方体体积变化 如果泊松比小于 0 5 说明受轴向拉伸时 体积增大 反 之 轴向压缩时 体积收缩 如果泊松比等于 0 5 说明体积不变 如果泊松比大于 0 5 说 明受轴向拉伸时 体积收缩 反之 轴向受压应力时 体积膨胀 扩容现象 4 平面受力情况的胡克定律平面受力情况的胡克定律 5 空间应力状态空间应力状态 6 个独立分量 6 空间应力摩尔圆 空间应力摩尔圆 应力的点一定落在阴影区内 5 静不定问题 静不定问题 当未知力超过静力平衡方程所能提供的数目时 这就成为一个静不定问题 这时 需要 补充一些根据物体在受力后变形要连续的条件 并利用虎克定律把这些变形条件化成未知力 之间的关系 使方程的数目与未知力的数目相等 EE y x x EE x y y EE y x z xx E 1 2 xx G 21 V yzxzxyzyx 6 岩石破裂岩石破裂 1 定义 定义 拉破裂拉破裂 当拉应力达到岩石的抗拉强度时 在垂直于拉应力的方向上发生拉 破裂 剪破裂剪破裂 当两垂直方向的主应力之差达到一定数值后 沿某平面两侧的岩石将发生 相互错动的剪破裂 2 库伦破裂准则库伦破裂准则 为岩石的抵抗力 0为粘聚力 当正应力为零时的抗剪强度 为内摩擦系数 tan 为内摩擦角 在 n n坐标平面内 上式是两条直线 可称之 为剪破裂线 当应力状态达到这两条线上时 岩石将发生剪破裂 称为库伦剪破裂准则库伦剪破裂准则 根据库伦破裂准则 X 节理的锐角指向最大压应力 4 4 完整岩石破裂条件完整岩石破裂条件 决定破裂线的是内摩擦角 和截距 0 根据数学推导 当给定破裂线参数 0 岩石内一 点的应力状态为 1 3 将 1 0 代入上式求出 3 如果 3 3 岩石就会破 裂 否则不破 5 5 岩石软弱面重新滑动条件 岩石软弱面重新滑动条件 设岩体中已经存在一个与 1成 角的节理面 根据推导 当给定节理面重新滑动参数 0 和破裂线参数 0 将 3 0 代入上式求出 1 如果 1 1 岩石就会重新滑动 否则不 滑动 当软弱面有粘聚力时 上式变为 7 应力场叠加问题 应力场叠加问题 应力场是矢量 因此满足矢量叠加矢量叠加 n 0 ctgctg 0 2 13 2 tg tg 0 31 cos sin cos 0 000 31 C tg tg 1 先求应力场 A 和 B 在法线为 x y 的截面上的应力 再在同一 个面上叠加 x x a x b y y a y b x x a x b 最后再求等效应力场的主应力和主 方向 2 根据应力圆求解 8 弹性应变能 弹性应变能 1 简单拉伸 压缩 PU 2 1 或者 AE lP U 2 2 1 l AE U 2 2 AE Pl 单位体积 2 1 2 Al P u 或者 E u 2 2 2 2 1 Eu E E 2 剪切变形 TU 2 1 2 1 2 1 Al T u 或者 G u 2 2 2 2G u G 第三章第三章 梁的弯曲理论梁的弯曲理论 研究内容研究内容 用一根梁受垂直力作用发生弯曲变形来模拟横弯褶皱 问题处理步骤 1 根据外力平衡求出约束反力 2 求梁的截面上的附加内力的合力 剪 力 和合力矩 弯矩 3 求截面上的应力分布 正应力和剪应力 4 分析梁的弯曲变形 1 弯矩和剪力符号规定 弯矩和剪力符号规定 弯矩 弯矩 使梁的上层纤维缩短的弯矩为正 使梁的上层纤维伸长的弯矩为负 剪力 剪力 使物体有顺时针转动趋势的剪力为正 使物体有逆时针转动趋势的剪力为负 2 典型受力情况分析 典型受力情况分析 1 简单支撑 剪力图 弯矩图 2 纯弯曲情况 b x b y b x a x a y a x 剪力图和弯矩图 从图上可以看出 在 AB 段上 剪力等于零 而弯矩等于一个常量 Pa 好像这一部分 梁是在两端受到弯矩 M Pa 的作用 而没有剪力的作用 这种情况又称为纯弯曲纯弯曲 3 均布载荷 剪力图和弯矩图 4 总结 剪力沿轴的递减率等于在这里的分布载荷 弯矩沿轴的变化率等于在这里的剪力 剪力等于零的点 对应于弯矩的相对最大值或最小值 剪力最大或弯矩最大 的截面一般是特别要注意的容易发生破裂的截面 q dx dQ Q dx dM 3 截面上各点的截面上各点的应力分布应力分布 1 正应力分布正应力分布 剪力 Q 是由截面上各点的剪应力组合起来的 从静力学方程我们知道正应力的合力等 于零 即 0 这是一个静不定问题 在解决它时 我们还做了平截面假设平截面假设 即在纯弯曲的情况下 在纯弯曲的情况下 在在 y 方向没有力的作用 并且截面上也没有剪力 方向没有力的作用 并且截面上也没有剪力 可以假设可以假设 和剪应力都为和剪应力都为 0 那么原来垂 那么原来垂 直于中线的平面 在变形后仍然保持为平面并且垂直于弯曲后的中线 直于中线的平面 在变形后仍然保持为平面并且垂直于弯曲后的中线 通过对纯弯曲情况的分析 可以得出截面上的正应力分布 因此 截面 上正应力分布是和 y 成比例的 应力的最大值在梁的上下边缘 2 剪应力分布 剪应力分布 根据分析 弯矩 M 是由截面上各点的正应力组合起来的 正应力组成的合力矩为 M 我们无法据此确定剪应力的具体分布 通过正应力分布的情况 经过推导 求得剪应力分布为 因此剪应力的分布是一个抛物线 上 下表面为零 在中性面 y 0 达到最大 对矩形截面 这就是说 在矩形截面时最大剪应力是平均剪应力的在矩形截面时最大剪应力是平均剪应力的 1 5 倍 倍 4 主应力轨线主应力轨线 如果将梁的各截面各点的主应力方向都求出来 并将各点的最大和最小主应力方向分别 连接起来 就形成两组正交正交的曲线族 称为主应力轨线主应力轨线 两组主应力轨线总是正交的 并且由于在边界上剪应力等于零 该处的正应力就是主应 力 所以它们在上下边界处都是垂直于边界的 5 梁的弯曲变形 梁的弯曲变形 根据平截面假设 梁的变形可以完全由中线的变形来决定 中线的曲率半径是和截面上 所受的弯矩成反比例的 即 另外 根据微积分学在几何中的应用得知一条曲线 在某点的曲率半径和曲线在该点的一阶和二阶导数有以下关系 2 2 h h x bdyyQ 3 12 bh My x 2 h y 2 max 6 bh M x 2 2 h h x ybdyyM 4 2 2 2 y h J Q x 42 2 max h J Q x bh Q x 2 3 max EJ M R 1 xww 2 32 22 1 1 dxdw dxwd R 通过近似处理 我们可以得到如下关系 于是 求梁的弯曲变形就变成了 求该方程的原方程 具体求解时 会用到以下边界条件 1 Q 0 即 2 M 0 即 3 挠度曲线的斜率为零 即 4 挠度为零 W 0 6 关于梁的弯曲理论的讨论 关于梁的弯曲理论的讨论 梁的支撑情况 1 只有两个支反力或者一个支反力和一个反作用力矩 对于这样的支 撑 我们可以从静力学方程把这些支反力求出来 这种梁叫做静定梁 2 有三个或三个以 上简单的支承点 那么未知的支反力就有三个以上 这些支反力就不能单凭静力学方程求出 来了 这种梁叫静不定梁 求解静不定梁的时候 我们可以将其拆分为多个静定梁分别求解 第四章第四章 轴向力作用下的梁的弯曲轴向力作用下的梁的弯曲 1 偏心压缩问题偏心压缩问题 轴向力产生的应力 力矩 在力矩作用下产生的正应力为 两者联合 可得总应力 如下 再来考虑变形对应力分布的影响 设梁的中线的挠度为 w x 力矩 Ne 和轴向力 N 对截面中 心产生的弯矩总共是N e w 由于 w 未知 应先求挠度 由第三章结论可知 令 则 其通解为 代入边界条件 解得 1 在x l 2 处挠度最大 并且 EJ M dx wd 2 2 0 3 3 dx wd 0 2 2 dx wd 0 dx dw bh N x NeM 1 y bh Ne x 3 12 1 12 12 23 y h e bh N y bh Ne bh N x 2 2 we EJ N EJ M dx wd EJ N k 2 ekwk dx wd 22 2 2 kxBkxAewsincos 0 0 xw0 lxw sin 2 cos1 kx kl tgkxew 2 cos 1 1 2 sin 22 cos1 max kl e klkl tg kl ew 和原来相比 第二项 多了一个 而 因此 当 N 比较小的时候 变形对应力分布的影响可以忽略 而随着 N 增大 减小 增大 当 时 这时梁将失去抵抗 轴向力的能力 发生屈曲现象屈曲现象 在地质中 地层在这样的水平力作用下会发生很大的弯曲变 形 也就是褶皱现象褶皱现象 2 当 也就是 的时候 这时候我们 再取 n 0 可得使梁弯曲的最小轴向压力 称为梁的临界轴向压力临界轴向压力 除以面 积得 称为梁的临界压应力 可以看出 是和 成比例的 因此对于又薄又长的梁 地质体中又薄又长的沉积岩 不需要多大的压应力就可以使之发 生弯曲 3 考察 于是 这 时候 于是获得如下关系图 表明对不同的偏心距 e h 轴向压力 N 与最大挠度的关系 2 横 横向载荷和轴向压力的联合作用向载荷和轴向压力的联合作用 梁的弯曲方程为 同样令 并结合边界条件 y kl e bh N y bh weNl x x 2 cos 12 12 2 33 max 2 cos 1 kl EJ N lkl 2 1 2 1 1 2 cos kl 2 cos kl x 0 2 cos kl x 21 nkl 222 21 nl EJ N 0 2 cos kl 2 2 l EJ Ncr 2 2 12l hE bh Ncr cr cr 2 l h cr N N EJ Nl EJ Nl EJ N lkl 222 1 2 1 2 1 2 22 2 2 l EJ Ncr 1 2 sec 2 cos 1 1 max cr N N h e kl h e h w 2 2 2 w N Px EJ N EJ M dx wd EJ N k 2 我们可以解得 表明不论不论 横向力横向力 P多么小 只要轴向压力多么小 只要轴向压力 N趋近于临界压力趋近于临界压力 也将趋于无穷 也将趋于无穷 梁也将发生屈曲 梁也将发生屈曲 第五章第五章 弹性力学基础弹性力学基础 1 平面应力 平面应力应变应变状态状态 1 平面应力状态平面应力状态 垂直于 z 轴的截面上的应力分量为零 即 z 0 zy 0 zx 0 2 平面应变状态 平面应变状态 变形过程中在 z 方向没有伸长和缩短 垂直于 z 轴的面和相邻侧面 之间保持为直角 即 平面应变状态的变形完全在xy平面内进行 如果令 这样 应变状态 的虎克定律也有和应力状态完全相同的数学形式 3 求 求应力应力 应变应变问题需要满足的条件问题需要满足的条件 A 平衡 运动 方程 B 几何方程 张量下标表示 C 物理关系 这三组方程连同边界条件和初始条件共同组成了弹性力学的边值问题 2 平面情况下的平衡方程推导 平面情况下的平衡方程推导 1 应变协调方程 应变协调方程 0 0 xw 0 2 l x dx dw 2 1 2 1 1 2 max klkltg kN P w 1 yxx E 1 xyy E xyxy E 1 2 1 yxyxz EE 0 0 0 zxzyz 11 2 EE 1 EEE 1 2 1 1 1 2 1 2 2 0 i j ij X x 2 1 ijjiij uu 0 ixxx Tf 小立方体平衡方程 位移和应变关系推导 变形连续条件变形连续条件 应变应变协调方程协调方程 就是平面情况下三个应变分量要对应于同一组连续的位移分 布时所必须满足的方程 叫做变形协调方程变形协调方程 简称协调方程协调方程 2 平面应变情况下的应力协调方程 平面应变情况下的应力协调方程 或者另一种形式 当体力为零或为常量时 结合立方体平衡方程 我们可以确定平面应变情况下应力的具体分布 引进连续函数 F x y 使 x F y xy Xy F x 再引入 G x y 使 y G y xy Yx G x 再引入 x y 使F 1 2 Yx2 y G 1 2 Xy2 x 这样 将这些方程代入应力调和方程 可得 称为双调和方程 方 程的解 x y 称为双调和函数 3 一些具体的双调和函数 一些具体的双调和函数 0 X yx xy x x u x y v y 0 Y yx yyx x v y u xy 2 2 2 2 2 xyyx y x xy yxyxxy xyyy xx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 y Y x X yx yx 0 2 2 2 2 yx yx 2 2 yy F x 2 2 xx G y YxXy yx Xy x F xy 2 0 422 没有体力 x y 1 2 ax2 x 0 y a xy 0 沿 y 方向均匀压缩 x y 1 2 by2 x b y 0 xy 0 沿 x 方向均匀压缩 x y cxy x 0 y 0 xy c 矩形边界纯剪切应力状态 x y dy3 x 6dy y 0 xy 0 直梁纯弯曲应力状态 3 平面内应力坐标变换 平面内应力坐标变换 于是 4 应力边界条件 应力边界条件 物体表面上一点的应力和外力的关系 其中 为 N 与 x 轴的夹角 逆时针为正 这就是平面情况下在物体边界上一点的应力所 应满足的条件 叫做应力边界条件应力边界条件 5 典型例题 典型例题 A 内外壁受均匀压力的厚壁圆筒 内外壁受均匀压力的厚壁圆筒 两个正应力都是主应力 半径和切线方向都是主方向 如果让外圆趋于无穷 而且不受力 就成为一个圆柱形侵入体以压力p0向外扩张的情形 B 圆孔附近应力集中问题 圆孔附近应力集中问题 Nxxyx FyNxN cos cos Nyyxy FyNxN cos cos 90cos cos NyNxN FF 2sin2cos 22 xy yxyx 90sin sin NyNxN FF 2cos2sin 2 xy yx Fx xyx sincosFy yxy sincos 22 2 1 2 0 222 01 22 1 ab bpap rab ppba r 22 2 1 2 0 222 01 22 1 ab bpap rab ppba 0 r 2 2 0 r a p r 2 2 0 r a p 0 r 第六章第六章 平面弹性问题的有限单元法平面弹性问题的有限单元法 特点 1 可处理复杂的边界形状 2 可以处理由几种不同材料组成的结构物 3 位移函 数形式大大简化 有限单元法的解题过程包括三个步骤 1 离散化 2 单元分析 3 总体分析 1 离散化 离散化 A 应力变化较大的地方 应力集中区 单元要小 网格要密 而应力变化较平缓的 地方 单元可大些 网格稀疏些 这样可减少计算量同时不降低精度 B 三角形单元中尽量避免大的钝角 C 把一些特殊的点和线 支撑点 材料分界线等 取为单元的结点和边 D 利用对称性减少计算 2 单元分析单元分析 把结点的位移 对平面问题每个结点位移有两个分量 作为基本未知量 每个单元内部 各点的位移表示成单元的三个结点位移的函数 并导出计算单元内各点应变分量和应力分量 的公式 单元上所受载荷移置到结点上 成为与原作用载荷等效的结点载荷 简称结点载荷 邻 近单元的变形对该单元所产生的作用移置到结点上 得到与原作用力等效的集中作用于结点 的力 简称为结点力 通过单元分析 将导出用该单元的结点位移来表示单元内部的位移 应变 应力 结点力的公式 并算出单元的结点载荷 3 总体分析总体分析 把各个单元合在一起成为总体 列出所有结点的平衡方程 然后求出结点位移 在做单元分析和总体分析时 1 结点的位移为基本未知量 结点的位移为基本未知量 2 每个小单元内的 除每个小单元内的 除 结点外 各点位移用结点的位移函数来表示 结点外 各点位移用结点的位移函数来表示 3 单元内的应变用结点位移来表示 4 载 荷要移置到结点上 5 变形力要移置到结点上 6 建小单元体的平衡方程 单元刚度矩阵 7 建立总体平衡方程 总刚矩阵

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