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布条缠绕圆行管道长度问题班级：数学（2）班 学号：1107022037 姓名：张柯摘要通过确定重合点，在已知布条宽度和圆形管道直径的情况下，运用一些简单的几何知识解决了布条与管道轴线的夹角问题，得到了该如何缠绕才能使布条长度最小。进而从管道表面积和布条面积相等的角度，采用剪切的方法把一个三维空间中布条缠绕圆形管道问题转化为平面上面积相等问题，在已知管道长度的情况下，求出了布条的长度。同时也考虑到了布条两端的影响。此外，分两种情况考虑了其他形状的管道的布条缠绕问题：布条紧贴于管道缠绕和布条不紧贴贴于管道缠绕。关键词：重合点 表面积 紧贴 等量 转化正文1 问题的提出用已知宽度的布条缠绕已知直径的圆形管道，布条应紧密排在一起且不能重叠，问布条应该如何缠绕，才能使所用布条长度最小。若管道长度给出，则所需布条的长度为多少。2 合理假设2.1 布条的厚度可忽略不计，即不会影响结果。2.2 布条缠绕在管道上不重叠时可以完全紧密地排在一起。2.3 布条是完全没有弹性的。2.4 变量的限定。表1 变量表布条的宽度布条的长度（不考虑两端影响时）布条的长度（考虑两端影响时）管道的直径管道的长度布条与管道轴线的夹角布条面积管道的表面积3 模型构建与求解模型一：夹角的模型图1 管道表面展开图不妨将管道表面展开如图1，黄色部分为缠绕的布条。由于要求布条完全缠绕于管道上且不重叠，那么A、B应该在管道上重合。则故模型二：布条长度的模型由于布条是完全缠绕于管道上的，且没有重叠，可以从管道表面积和布条面积相等来考虑。且 ，即 也即 但由于布条两端都成弧度，会有所浪费，因此也考虑两端的影响，即多加上图中AC段的长度。故 所需布条长度为4 模型优化与推广优化：布条厚度的考虑既然布条厚度为一个影响结果的因素，不妨考虑一下布条的厚度。设布条厚度为，圆形管道的横截面如图2。布条上表面伸展，下表面收缩，中间的长度不变。那么圆形管道的直径相当于故 图1 管道横截面图推广：其他形状的管道若管道的横截面是相等的，且布条完全贴于管道上，考虑方向就和圆形管道相同。只需将圆形管道的横截面周长换为其他形状管道的横截面周长即可。那么图2 五角星管道横截面图如图3，布条贴于五角星形状的管道缠绕，那么周长即为五角星的周长设五角星边长为，则有代入和的等式计算即可。若布条不是完全贴于管道上的，那么就以布条所缠绕的形状作为周长计算。比如五角星形状的管道，布条不贴于管道缠绕，如图4。那么计算周长时就不是计算五角星的周长了，而是计算布条缠绕所形成的五边形的周长。设五角星角之间的夹角为，则有图3 布条不完全紧贴管道横截面图代入和的等式计算即可。参考文献
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