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3 3几何概型 第三课时 例1 会面问题 甲 乙二人约定在12点到17点之间在某地会面 先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的 且二人互不影响 求二人能会面的概率 解 以X Y分别表示甲乙二人到达的时刻 于是 即点M落在图中的阴影部分 所有的点构成一个正方形 即有无穷多个结果 由于每人在任一时刻到达都是等可能的 所以落在正方形内各点是等可能的 二人会面的条件是 答 两人会面的概率等于 送报人可能在早上6 30 7 30之间把报纸送到你家 你父亲离开家去工作的时间在早上7 00 8 00之间 问你父亲在离开家前能得到报纸 称为事件A 的概率是多少 变式题 假设你家订了一份报纸 6 30 7 30之间报纸送到你家7 00 8 00之间父亲离开家问你父亲在离开家前能得到报纸 称为事件A 的概率是多少 提示 如果用X表示报纸送到时间用Y表示父亲离家时间那么X与Y之间要满足哪些关系呢 解 以横坐标X表示报纸送到时间 以纵坐标Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系 假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的 所以符合几何概型的条件 根据题意 只要点落到阴影部分 就表示父亲在离开家前能得到报纸 即事件A发生 所以 抛阶砖 是国外游乐场的典型游戏之一 参与者只须将手上的 金币 设 金币 的直径为r 抛向离身边若干距离的阶砖平面上 抛出的 金币 若恰好落在任何一个阶砖 边长为a的正方形 的范围内 不与阶砖相连的线重叠 便可获奖 例2 抛阶砖游戏 问 参加者获奖的概率有多大 设阶砖每边长度为a 金币 直径为r 若 金币 成功地落在阶砖上 其圆心必位于右图的绿色区域A内 问题化为 向平面区域S 面积为a2 随机投点 金币 中心 求该点落在区域A内的概率 于是成功抛中阶砖的概率 由此可见 当r接近a p接近于0 而当r接近0 p接近于1 0 r a 若r a 你还愿意玩这个游戏吗 练一练 2 在一张方格纸上随机投一个直径1的硬币 问方格多小才能使硬币与线相交的概率大于0 99 3 Bertrand问题 已知半径为1的圆的内接等边三角形边长是 在圆内随机取一条弦 求弦长超过的概率 1 在线段AD上任意取两个点B C 在B C处折断此线段而得三折线 求此三折线能构成三角形的概率 4 一个服务窗口每次只能接待一名顾客 两名顾客将在8小时内随机到达 顾客甲需要1小时服务时间 顾客乙需要2小时 计算有人需要等待的概率 回顾小结 1 几何概型的特点 事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中 有一个可度量的几何图形S 试验E看成在S中随机地投掷一点 2 古典概型与几何概型的区别 相同 两者基本事件的发生都是等可能的 不同 古典概型要求基本事件有有限个
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