22-2与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题22-2-自由摆动单摆机械能守恒问题新解.pdf

22 2 自由摆动单摆机械能守恒问题新解 125 2222 2 2 自由摆动自由摆动单摆单摆机械能守恒问题新解机械能守恒问题新解 李学生李学生 1 师教民 师教民 2 1 1 山东大学山东大学 物理学院物理学院 山东山东 济南济南 250100 2 2 石家庄广播电视大学石家庄广播电视大学 科学技术部科学技术部 河北河北 石家庄石家庄 050081 摘摘 要要 重新解答了自由摆动的单摆机械能守恒问题 得出 了在地面上和相对于地面做匀速运动的小车上观察 自由摆动的 单摆机械能都守恒的新结论 关键词关键词 单摆 动能 势能 机械能守恒 中图分类号中图分类号 O 313 1 文献标识码文献标识码 A 将摆锤质量为m 轻质摆线长为L的单摆挂在与地面相固连 的摆架上 将摆锤从单摆静止时的竖直下垂位置拉至摆角为 0时 自由放手 在忽略各种阻尼时 单摆就做自由摆动 0为最大摆 角 有一小车相对于光滑地面以恒速量值u沿单摆摆动方向运 动 试问在地面上和小车上观察 单摆的机械能是否守恒 并说 明理由 解解 在地面上观察在地面上观察时 以单摆静止时与摆线重合的向上的直 线为y轴 以单摆静止时摆锤的位置为坐标原点o 以过点o的 沿小车运动方向的水平向右的直线为x轴 建立平面直角坐标系 如图 1 所示 与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题 126 设在地面地面上观察上观察时 单摆在 0 时刻从最大摆角 0开始摆 动 在t时刻的摆角 速度 加速度 动能 势能 机械能分别 为 v a Ek t Ep t E t 在小车上观察小车上观察时 单摆t时刻 的速度 加速度 动能 势能 机械能分别为 v1 a1 E1k t E1p t E1 t 则在地面地面上观察 即以地面地面为静止系 时有 v t s d d t L d d 0 t L d d dt v Ld 0 0 mgsin ma gsin a t d dv Ld d v t L d d Ld d v v vdv gLsin d v v 0 dv gL 0 sin d 2 1 v2 gL cos cos 0 v2 2gL cos cos 0 v cos cos2 0 gL o 图图 1 1 自由摆动单摆自由摆动单摆机械能守恒问题新解机械能守恒问题新解 光滑水平地面光滑水平地面 小 车 u x y 0 22 2 自由摆动单摆机械能守恒问题新解 127 Ek t 2 1 mv2 mgL cos cos 0 EP t mgy EpJ t mg L Lcos 0 mgL 1 cos EpJ t 0的推导在 匀速圆动物体匀速圆动物体机械能守恒问题新解机械能守恒问题新解 中 E t Ek t EP t mgL cos cos 0 mgL 1 cos mgL cos cos 0 1 cos mgL 1 cos 0 所以在地面上观察在地面上观察时 单摆的机械能守恒 守恒值为 mgL 1 cos 0 在小车小车上观察 即以小车小车为静止系 时有 直觉判断直觉判断法法 这是前言里的低速力学新原理低速力学新原理中的新解法 因为地面地面及单摆都以匀速度量值u相对于小车沿x轴负向运 动 所以在小车上观察在小车上观察时 单摆的机械能比在地面上观察地面上观察时增 加 2 1 m u 2 2 1 mu2 所以在小车上在小车上观察观察时 单摆的机械能为 E1 t E t 2 1 mu2 mgL 1 cos 0 2 1 mu2 常数 所以在小车上在小车上观察观察时 单摆的机械能守恒 守恒值为 mgL 1 cos 0 2 1 mu2 数学推导法数学推导法 x1 v x v u vcos u 2 1x v x v 2 u 2 x v 2 u 2u x v y1 v y v 2 1y v 2 y v 2 1 v 2 1x v 2 1y v 2 x v 2 u 2u x v 2 y v 2 v 2 u 2u vcos 与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题 128 2gL cos cos 0 u2 2u cos cos2 0 gL cos E1k t 2 1 m 2 1 v mgL cos cos 0 2 1 mu2 mu cos cos2 0 gL cos x a1 t x d d 1 v t x d dv 0 x a y a1 t y d d 1 v t y d dv y a a1 a gsin m x a1 m x a m y a1 m y a ma1 ma mgsin mgL 1 cos 0 E1p t s ma 0 1ds t L mam 0 2 1 sincos v u dt mg 0 sin Ld mu L g 0 sincossin 2 v v Ld mgL 0 sind muL L gL g 0 cos cos2 cos 0 v dcos mgLcos 0 mugL 0 cos2cos2 cos 0 cos cos2 cosd 0 gL 22 2 自由摆动单摆机械能守恒问题新解 129 mgL cos cos 0 gL mugL 2 3 0 0 000 coscos cos 3 2 coscoscos d cos cos 0 mgL cos cos 0 gL mugL 2 3 3 2 cos cos 0 2 3 gL mugL 2 cos cos 0 2 1 cos 0 mgL cos cos 0 mu gL2 cos cos 0 2 3 mu gL2 cos cos 0 2 1 cos 0 mgL cos cos 0 mu gL2 0 coscos cos cos 0 cos 0 mgL cos cos 0 mu cos cos2 0 gL cos E1p t mgL 1 cos 0 mgL cos cos 0 mu cos cos2 0 gL cos E1 t E1k t E1p t mgL cos cos 0 2 1 mu2 mu cos cos2 0 gL cos 与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题 130 mgL 1 cos 0 mgL cos cos 0 mu cos cos2 0 gL cos mgL 1 cos 0 2 1 mu2 常数 所以在小车上在小车上观察观察时 单摆的机械能守恒 守恒值为 mgL 1 cos 0 2 1 mu2 参考文献参考文献 1 蔡伯濂 关于力学相对性原理与机械能守恒综述 J 大学物 理 1994 13 1 20 22 2 何红雨 机械能守恒定律与惯性参照系的选择 J 广西物 理 1997 18 3 27 29 3 高炳坤 力学中一个诡秘的错误 J 物理与工程 2002 12 2 14 15 30 4 赵 坚 机械能守恒定律理解中一个值得重视的问题 J 物 理通报 2006 25 6 19 21 5 钱广东 不同惯性系中机械能不一定都守恒 兼谈机械能守 恒定律是否服从力学相对性原理 J 物理教学 2006 28 2 42 43 6 白静江 两体问题中的功能原理及机械能守恒定律 J 大学 物理 1997 16 3 11 14 22 2 自由摆动单摆机械能守恒问题新解 131 Brand new explanation of mechanical energy conservation of the single pendulum free swinging Li Xue sheng1 Shi Jiao min2 1 1 School of Physics Shandongdong University Jinan 250100 China 2 2 Department of Science and Technology Shijiazhuang Radio and Television University Shijiazhuang 050081 China Abstract It refurbished the issue of mechanical energy conservation of the single pendulum free swinging which straightforwardly led to conclusion no matter we take reference frame of the earth itself or the cart moving in uniform speed to the earth the mechanical energy of the single pendulum free swinging is always conservative Key words the single pen