27.1.2 圆的对称性1.ppt

如图 请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧 圆的两种定义 动态 如图 在一个平面内 线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周 另一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆 静态 圆心为O 半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形 圆的对称性 O 圆除了是旋转对称图形外 还是轴对称图形 提问 圆是什么对称图形 O A C B N M D 圆是轴对称图形 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 O A C B N M D 或 任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 任意一条直径都是圆的对称轴 将图中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度 在得到的图形中 同学们可以通过比较前后两个图形 发现有何关系 实践操作 如果 那么 在同圆 或等圆 中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 讨论 1 在同圆 或等圆 中 如果弧相等 那么所对的圆心角 所对的弦是否相等呢 2 在同圆 或等圆 中 如果弦相等 那么所对的圆心角 所对的弧是否相等呢 1 在同圆 或等圆 中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 结论 2 在同圆 或等圆 中 如果弦相等 那么所对的圆心角 所对的弧相等 以上三句话如没有在同一圆中 这个结论还会成立吗 3 在同圆 或等圆 中 如果弧相等 那么所对的圆心角 所对的弦相等 简称 知一推三 一 判断 1相等的圆心角所对的弧相等 2相等的弧所对的弦相等 二 如图 O中 AB CD 则 试一试你的能力 如图 在 O中 AC BD 求 2的度数 你会做吗 解 已知 分析 AB AC ABC是等腰三角形 解 AB AC 等弧对等弦 B C 如果求 A的度数该怎么办 练习 2 如图 AB是直径 BC CD DE BOC 40 求 AOE的度数 分析 BOC COD DOE AOE 解 BOC COD DOE 等弧对等弦 AOE 1 如图 AB CD EF都是 O的直径 且 1 2 3 弦AC EB DF是否相等 为什么 2 如图 AB是 O的直径 AC CD DE EF FB都是 O的弦 且AC CD DE EF FB 求 AOC与 COF的度数 练习二 3 如图 已知AD BC 试说明AB CD 4 如图 已知 O中 AB是直径 CO AB D是CO的中点 DE AB 求证 CE 2AE 拓展提升 三 小结 1 圆的对称性情况怎样 2 圆中的圆心角 弦和弧三者之间有何关系 在 O中 若则AB与CD的关系是 A AB 2CDB AB 2CDC AB 2CDD CD AB 2CD 如图23 1 7 如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB 垂足为P 再将纸片沿着直径CD对折 比较AP与PB 弧AC与弧CB 你能发现什么结论 探索2 再做一做 想一想 演示 P 结论 在 O中 如果CD是直径 那么 AP BP 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 已知 结论 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 如图 O直径CD与弦AB 非直径 交于点M 添加一个条件 就可得到点M是AB的中点 试一试你的能力 1 如图 在 O中 弧AB 弧AC B 70 求 C度数 达标练习 2 如图 AB是直径 弧BC 弧CD 弧DE BOC 40 求 AOE的度数 课堂小结 1 在同圆或等圆中 对应弧 弦 圆心角之间的关系 2 垂径定理 探究二 动手操作 如何将圆两等分 四等分 八等分 你还可以将圆多少等分呢 今天你学到了什么 1 采用了哪些数学方法 2 你有什么体会 还有什么疑惑 3 你认为哪一组的同学表现得最好 你说我说大家说 课题 垂直于弦的直径 2 垂径定理的推论 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 已知 结论 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 M O A C B N 直线MN过圆心 AC BC MN AB 弧AM 弧BM 弧AN 弧BN 探索一 结论 O A B M N 一个圆的任意两条直径总是互相平分 但是它们不一定互相垂直 因此这里的弦如果是直径 结论就不一定成立 推论1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 C D M O A C B N MN AB AC BC 直线MN过圆心O 弧AM 弧BM 弧AN 弧BN 探索二 推论1 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 M O A C B N MN AB AC BC 弧AM 弧BM 直线MN过圆心O 弧AN 弧BN 探索三 推论1 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 推论1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 简称 知二推三 1 过圆心2 垂直于弦3 平分弦4 平分优弧5 平分劣弧 回味引伸垂径定理及其推论1的实质是把 1 直线MN过圆心 2 直线MN垂直AB 3 直线MN平分AB 4 直线MN平分弧AMB 5 直线MN平分弧ANB中的两个条件进行了四种组合 分别推出了其余的三个结论 这样的组合还有六种 由于时间有限 课堂上未作进一步的推导 同学们课下不妨试一试 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 M O A B N C D 作直径MN垂直于弦AB AB CD 直径MN也垂直于弦CD 于是弧AM 弧BM 弧CM 弧DM 弧AM 弧CM 弧BM 弧DM即弧AC 弧BD C D A B E 例 平分已知弧AB 已知 弧AB 作法 连结AB 作AB的垂直平分线CD 交弧AB于点E 点E就是所求弧AB的中点 求作 弧AB的中点 C D A B E F G 变式一 求弧AB的四等分点 m n C D A B M T E F G H N P 错在哪里 等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线 作AB的垂直平分线CD 作AT BT的垂直平分线EF GH C A B E 变式二 你能确定弧AB的圆心吗 m n D C A B E m n O 你能破镜重圆吗 A B A C m n O 作弦AB AC及它们的垂直平分线m n 交于O点 以O为圆心 OA为半径作圆 破镜重圆 A B C m n O 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 作图依据 已知 AB CD是 O的两条平行弦 MN是AB的垂直平分线 求证 MN垂直平分CD M O A N C D B 圆内平行弦的垂直平分线是互相重合的 已知 AB CD是 O的两条平行弦 MN是AB的垂直平分线 求证 MN垂直平分CD M O A B N C D 分析 MN是AB的垂直平分线则有 MN过圆心O是直径 由AB CD MN AB则有 MN CD 由垂径定理 得 MN平分CD 所以 MN垂直平分CD M O B N C D 证明 MN是AB的垂直平分线 MN过圆心是直径 MN CD MN平分CD A AB CD MN A