中学数学解题的标准化方法初探.pdf

收稿日期 2001 12 11 作者简介 张学哲 1947 男 河北辛集人 湖北民族学院计算机与数学系副教授 从事高等教育与数学教学论的 研究 文章编号 1007 9912 2002 02 0067 07 中学数学解题的标准化方法初探 张 学 哲 湖北民族学院 计算机与数学系 湖北 恩施 445000 摘 要 中学数学解题教学是提高教学质量的主要途径与标志 而所谓解数学题的思维过程从本质 上讲就是逐层施行标准化的过程 正因为如此 数学解题的标准化方法的研究有利于指导数学解题 教学和促成学生创新能力的形成 关键词 数学解题 标准化方法 数学教学 中图分类号 N42 文献标识码 B 中学数学教学需要不断地引导学生学习和掌握中学数学的思考方法和解题方法 以培养学生的 数学文化素质和创新能力 因此 解题的教学也是中学数学教学法研究中的一项重要而又比较艰难 的课题 1 而数学问题的标准化方法正是探讨这一课题的钥匙 1 数学解题的本质 要探讨解数学题的方法和规律 就得首先弄清它的本质 那么 什么是解数学题的本质呢 所谓 解数学题 就是依据问题的条件和一系列有关的数学原理及基本方法 按照一定的逻辑顺序 逐层施 行标准化 而最终得到数学问题所要求的答案 简言之 解数学题的本质就是有目的 有根据地逐步施 行标准化的过程 我们所说的标准化就是把数学题的非标准形式转化为某些基本的内容 基本的方法 即标准的类型 在标准化的过程中 那些有待于标准化的数学题的形式称为标准化对象 所要取而代 之的标准类型为标准化方向 在这里 我们之所以要用 方向 这个名词 是因为标准化是一个过程 为 了能充分说明解题之本质 我们通过一些解数学题的实例分析来加以阐明 并在解题过程中 把解题 思路和解题步骤不作区分 例1 设 n 为任意自然数 求证 f n 2n3 3n2 n 能被 6 整除 证明 要证 f n 能被 6 3 整除 但我们知道任意三个连续整数的积能被 3 整除 为此 需要 考查 f n 因式分解后的形式 而 f n 2n3 3n2 n n n 1 2n 1 这里的 2n 1 如果是 n 1或 n 2 就合适了 这就启示我们去寻找 2n 1 和 n 1 及 n 2之间的关系 而 2n 1 n 1 第 16卷第 2 期 甘肃教育学院学报 自然科学版 Vol 16 No 2 2002年 4 月 Journal of Gansu Education College Natural Sciences Apr 2002 n 2 于是可推得 f n n 1 n n 1 n n 1 n 2 从而证明得 f n 能被 6 整除 例2 Ptolemy 定理 圆内接四边形两对角线之积等于两组对边乘积之和 图 1 已知 四边形 ABCD 内接于圆 求证 AC BD AB CD AD BC 证明 所要求证的等式形式是比较复杂的 结合图形 图1 分析 其特点 我们试图转化这种复杂形式为等积式形式 这只要能在 BD 上找到一点 E 使得 AC BE AB CD 和 AC ED AD BC 同时成 立即可 那么 E 点的位置如何确定呢 而证明等积式往往是和证相 似三角形联系在一起的 为此 在 BD 上取一待定点 E 并连接 AE 要使 AC BE AB CD 成立 如果有 ABE ACD 就可以了 因 此 我们只要在 BD 上取定点 E 能使 BAE CAD 成立 这一点 显然能够作到 与此同时 如果 ADE ABC 也能成立 那么 AC ED AD BC 也成立 而由于 ADE ACB EAD BAD BAE BAD CAD BAC 则 ADE ABC 的条件也是满足的 于是命题得证 例3 求多项式 f x x x 9 1 2001 x 8 x3 1 2001里 x 的偶次项系数的和 解 题中所给多项式形式复杂 我们先考虑多项式的一般标准形式 f x a0 x n a1xn 1 an a0 第二步 比较两个有理数绝对值的大小 乘法勿需比 较 第三步 确定所得结果的性质符号 第四步 确定所得结果的绝对值 此程序中 除第三步确定结 果的性质符号属于本程序的新内容外 其余各步骤均为一个小的标准化过程 第一步里以减法 或除 法 为标准化对象 以加法 或乘法 为标准化方向 第二步是以有理数大小比较为标准化对象 以算术 数大小比较为标准化方向 第四步是以有理数四则运算为标准化对象 以算术数的四则运算为标准化 方向 但总的方法是直接利用两个有理数的四则运算法则来解决问题的 例5 解一元一次方程 可按下列程序进行 例题 4x 1 3 2 x 1 2 第一步 去分母 括分子 2 4x 1 12 3 x 1 第二步 去 括号 先定号 8x 2 12 3x 3 第三步 移项 反号 8x 3x 3 2 12 第四步 合并同类项 合并系数项不变 5x 7 第五步 方程两边同乘未知数系数的例数 未知项系数不为零 x 7 5 该程序中括号里的内容是执行该步的注意事项 在基本题解法程序中的过程中注明注意事项 在 数学教学过程中是很有必要的 一般来说 我们解一元一次方程正是按这一程序执行的 然而 在一元 一次方程解法的实际教学过程中 学生最开始是学习 ax b a 证法二以一元二次方程根与系数的关系为标准化方向 尔后 各自施行 不同的标准化步骤 最后分别使题设得证 可见 一个数学题的解题过程中 各个标准化层次里的标准化方向往往不是唯一的 这就显示出 标准化的多向性 正是由于某一数学问题的标准化过程中的多向性 才导致了这一数学题的多种解法 即一题多解性 为了寻求一个数学题的多种解法 就得从它所给出的已知条件或要求得的结果出发 等价化简它们的形式 并从不同的分支 不同的角度 不同的方向去联想有关的数学基本原理 解题基 本方法和基本题的特征 每一种合理的联想都能启示出一定的标准化方向 而导致各种不同的解题方 法 概括地说 标准化的多向性是数学中一题多解的根本原因 一题多解的关键就是设法导致出各种 不同的标准化方向 例7 设 P 是 ABCD 内部一点 且 PAB PCB 则 PBA PDA 图 3 证明 条件和结论在图中较为分散 考虑到 AD BC 可平移 ABP 到 DCQ 的位置 于是处到辅助线 DQ 和 CQ 此时 PAB 平移到 QDC PBA 平移到 QCD 现需证明 PDA QCD 联想到借助第三量作媒介的基本证题方法 需进行角的互相转化工 作 由 PDA 所处位置和平移的性质 连接 PQ 于是得到辅助线 PQ 显然有 AD PQ BC 于是 PDA DPQ 现只需证 QCD CDQ 即 C Q D P 确实共圆 题设得证 从证题过程中 可以看出 引辅助线 一是条件和结论过于分散 则应考虑应用初等几何变换以相 对集中之 从而得出相应的辅助线 例如平移 ABP 即是 二是联想数学基本原理 解题基本方法或一 些基本题的特征 以施行标准化 在标准化过程中得出相应的辅助线 例如连接 PQ 即是 更确切地 说 进行几何变换是为了集中条件或结论而引出相应的辅助线 其本质也是标准化过程 逐层标准化 是为了化非基本题为基本题而引出相应的辅助线 因此 我们完全可以这样说 把握住了几何变换和 标准化方法 就把握住了引几何辅助线的规律 概括起来就是 变换几何图形以利集中条件 施行标准 化以利引出辅助线 71 第 2 期 张学哲 中学数学解题的标准化方法初探 著名的数学教育家 G波利亚说 掌握数学意味着什么呢 这就是说善于解题 不仅善于解一些 标准题 而且善于解一些思路合理 见解独到和有发明创造的题 4 而数学解题的标准化方法是我们 掌握数学思想方法的一个有力工具 4 数学解题的标准化方法与中学数学教学 文章的开始我们就指出 数学解题的标准化方法是探讨解题方法的钥匙 那么 通过上述一系列 的问题的讨论 标准化方法对于中学数学教学究竟有什么启示呢 第一 解基本题的教学应当实行程序化 这不仅是由其解题本质所决定 而且具有条理清晰 步骤 直观的优点 便于学生迅速理解 记忆 当堂消化 运用 虽然程序化在形式上似乎有点呆板 但这仅仅 是解题的形式 只要教师适当加以启发和指点 学生是能灵活运用的 正象一个概念 一个定理 一个 公式 其形式是呆板的 只要适当启发 灵活运用就使其活 另外 解数学基本题的教学往往是紧跟随 着新的数学原理的教学而来的 实行解基本题的程序化 有利于学生进一步巩固和理解刚刚学到的新 的数学知识 符合由浅入深 由具体到抽象的认识过程 符合巩固与发展相结合的原则 第二 解基本题的教学要着眼于解非基本题 这就要求我们在教学过程中由特殊看到一般 由基 本看到非基本 例如 我们在教学提取公因式法时 可安排如下的一组题 1 ma mb 2 x y a x y b 3 ap aq bp bq 这组因式分解题蕴含着分组分解的逆程序 既巩固了提取公因式的教学 又为分组分解的教学打 下了基础 这样的教学正是提前置基本题于标准化方向的地位 有利于发展学生的解决问题能力 第三 解题教学应突出数学思维上的联想和解题过程中的化简 不讲清 联想 就给学生一个 天 上掉下来的 感觉 而当学生自己去解题的时候 就往往会感到无从下手 不讲清 化简 就不能使学 生明确 联想 的目的是什么 就不能为下一步联想提供新的条件 解题教学应以 联想 启示 化简 的 标准化方向 以 化简 创造 联想 的标准化对象 这样 就能使学生真正明白解题思路 把握住条件与 结论的内在联系 标准化过程中的 联想 和 化简 正体现着启发式与发现法的过程 解题教学突出了 这两点 学生自己解决数学问题的能力就会大大的提高 第四 在引导学生寻求 一题多解 的教学过程中 不能仅仅是停留在为了 一题多解 而 一题多 解 的基础上 也应该有计划有目的地培养学生通过实验 比较 类此和归纳 去发现对解某一类数学 题带有普遍性的解题方法 这不仅是为有关命题推广寻求所解题方法 而且在他们又遇到类似的数学 部下时 很快就会寻求到标准化方向 使问题得到解决 这样 就能使学生明确 一题多解 在揭示数学 问题内在本质方向的作用 提高和培养学生的创新能力 第五 应用数学解题标准化方法分析中学数学教材 有利于我们把握住各方面内容的内在联系 中学数学教学可以归结为解题的教学 一个例题是题 一个定理也是题 同样一个公式也是题 甚至一 个概念的进一步理解也要落实到解题 也就是说 中学数学教材的内容是由一个数学题接着一个数学 题而展开的 而展开的顺序是一个由特殊到一般 由具体到抽象 由基本到非基本 由标准到非标准 由低级到高级的过程 这种逆标准化的总程序 就要求我们在教学前面的内容时 要潜示这些内容作 为今后学习内容的标准化方向的作用 在教学后面的知识的时候 则应施行标准化过程的转化工作 如化立体为平面 化多边和三边 化分式为整式 化高次为低次等等 这样 就能使我们更全面地把握 教材的前后联系 有利于突破教材中所遇到的难点 72 甘肃教育学院学报 自然科学版 第 16卷 5 结束语 解题能力的培养也是提高数学教学质量的主要村志 5 在现在中学里以利用习题为基础的教 学法完全应该是数学教学的一个专门研究课题 6 要提高中学数学教学质量 迅速培养学生解决数 学问题的能力 就必须对解题教学这一课题作较深入的研究 数学问题标准化方法则为我们探讨这一 课题打开了思路 本广仅仅是对数学问题标准化方法的一个初步的探索 很不成熟 还有待于对一方 法作更深入的研究 有待于我们在实践中去发展它 在理论上去完备它