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初中数学实验手册 的研制与思考 董林伟 朱建明 江苏省中小学教学研究室 南京市教学研究室 义务教育数学课程标准 年版 以下简 称 课标 指出 为了帮助学生真正理解数学知 识 教师应注重数学知识与学生生活经验的联系 与学生学科知识的联系 组织学生开展实验 操 作 尝试等活动 引导学生进行观察 分析 抽象概 括 运用知识进行判断 组织学生操作实验 观 察现象 提出猜想 推理论证等 能有效地启发学 生的思考 使学生成为学习的主体 逐步学会学 习 数学活动经验的积累是提高学生数学素养 的重要标志 帮助学生积累数学活动经验是数学 教学的重要目标 是学生不断经历 体验各种数学 活动过程的结果 数学活动经验需要在 做 的过 程和 思考 的过程中积淀 是在数学学习活动过 程中逐步积累的 数学实验是通过动手动脑 做 数学的一种数 学学习活动 是学生运用有关工具 如纸张 剪刀 模型 测量工具 作图工具以及计算机等 在数学 思维活动的参与下进行的一种以人人参与的实际 操作为特征的数学验证或探究活动 它主要着力 于学生的学 鼓励学生以类似科学实验的模式进 行主动探索 它强调 从做实验中学 力图通过学 生 做实验 的主动探究过程来培养他们的动手实 践能力 解决问题的能力和创新精神 积累基本活 动经验 进而有效转变初中数学教与学方式 因 此 数学实验是培养学生 基本活动经验 的有效 载体 对落实新课程理念 确立学生在学习过程中 的主体地位 推进课程改革都能起到积极作用 在我国有关数学实验的研究不是很多 中学 阶段的数学实验教学也是刚刚起步 教材中单纯 的数学实验数量较少且缺乏系统性 数学教师开 发和研制数学实验也受到种种局限 为了有效地 指导教师开展数学实验教学 更好地帮助学生 做 数学实验 江苏省中小学教学研究室组织了 包括心理学 课程教学论 数学教学等方面的专 家 成立初中数学实验研究小组 依据 标准 的理 念和内容要求 结合数学教学的实际 精心设计编 写了 义务教育教科书 数学实验手册 以下简 称 手册 手册 配合师生用书 一方面将教材 简单 概括的内容直观化 具体化 可操作化 便于 教师课堂使用 同时又按照教学内容 系统开发和 设计数学实验 此外 将数学实验所需部分材料 例如图形 方格纸等作为附录附在 手册 中 方便 实验教学实验 提高了课堂教学效益 受到了空前 的关注和好评 手册 研制的基本原则 初中数学实验的主体 目的 内容和步骤有别 于以计算机平台为工具 实际应用为导向 高等数 学为基础的大学数学实验 也不同于借助专门或 特殊实验仪器 工具和材料的物理 化学 生物等 学科的实验 初中数学实验侧重于通过学生动手 做 数学 引导学生经历探索 发现 验证等过程 强调思维特征 以培养学生的创新意识和自主学 习能力 它所使用的实验工具 包括物质材料和计 算机等 也主要用于数学化的观察 归纳和对猜想 的实征 因此 以动手实践为出发点的 手册 研制 首先关注以下要素 一是操作性 体现 动 字 即学生在实验过程 中 要利用有关工具进行各种操作活动 在动手操 作的活动过程中 将数学知识内化为认知结果 达 到 意义 建构 二是实证性 在实验过程中 学生能够将实验 对象 实验过程 实验结果进行数学化地描述 使 物化的实验能形象地反映数学原理和观念 三是探究性 数学实验本质上是一种解决问 题的活动 需要学生面对适度的困难开展尝试和 探索活动 通过观察 分析 猜想 归纳等思维过 数学通报 年 第 卷 第 期 程 获得数学知识 找到解决问题的方法 并发展 学生的创新思维 四是发展性 设计的数学实验要着眼于学生 发展 通过学生的参与数学实验 能展示数学的探 索发现过程 帮助学生发现数学 体验数学 理解 数学 运用数学 既获得数学知识 又积累数学活 动经验 实现学生的数学认识和经验的同步成长 数学实验素材的选取 手册 编写最核心环节是实验素材的选取 需要找出教材中的教学内容 知识点 活动环节相 契合的地方 编制适宜的数学实验 手册 编写组 按实验形式的不同 选取了以下素材 手工操作素材 包括折纸 拼图 裁剪 切 割 折叠和展开图形等 以这种素材编拟的数学实 验 往往能帮助学生在实物操作的基础上 观察数 学现象 再经过分析概括 推理演绎等加工处理 获得数学概念 公式 法则 定理 或者验证数学结 论 在实物直观基础上获得数学理解 这类实验在 手册 中占有较大比例 它主要通过学生对实验 材料的 数学化 操作来实现对数学概念 原理和 事实的接受和理解 例如 七巧板拼图 展开与 折叠 三角板拼角 折平行线 折三角形三线 探索多边形的外角和 平面图形的密铺 剪等 腰三角形 剪特殊四边形 用纸片拼图验证勾股 定理 拼图演示配方法 折叠和轴对称 等等 游戏活动素材 有很多传统经典游戏中与 数学实验有关 选取游戏素材 结合初中数学教学 内容 注入新鲜元素 将传统游戏进行改造 可以 设计出一些既似曾相识 又有新的创意的数学实 验 能使学生在游戏中进行数学思考 激发学习兴 趣 并且在游戏中加深数学理解 这类实验普遍受 到学生欢迎 例如 手册 中结合有理数运算内 容 设计了 算 翻牌游戏 幻方中的游戏 数字黑洞 另外 游戏型实验还有 抢 十七 游 戏 制作微型动画片 等等 测量建模素材 以此素材编制的数学实验 通常需要学生借助测量工具 如皮尺 天平 测角 仪等 进行测量 记录 分析数据 利用方程 不等 式 函数等数学模型解决实际问题 这类数学实验 有的超越课堂教学的空间 要走出课堂 走向社 会 通过实验能强化数学知识的运用 感受数学的 应用价值 手册 中编制的这类实验有 教科书有 多厚 测量硬币的厚度与质量 制作校园地图 测量地标建筑物的高度 等等 探究发现素材 这种素材可分为两类 一是 以实物为载体的探究素材 主要借助实物直观 以 探索未知结论为目的的实验素材 编制的这类数 学实验 模拟 再现了问题情境 需要学生利用已 有的经验 选择适当数学方法 自主探究数学知 识 发现数学结论 也使学生经历和体验知识的发 现过程 有效地解决现实生活中的问题 二是以计 算机为载体的探究素材 利用信息技术来呈现以 往教学中难以呈现的课程内容 如图形的运动和 变换等 将复杂内容层次化 把静态图形动态化 揭 示其内在的数学内涵 挖掘问题的本质 从而帮助 学生更好地解决问题 利用计算机辅助问题探究是 进行数学实验的一条有效途径 手册 中编制的这 类实验包括利用几何画板的画图功能 来探究函 数 几何图形的性质的 如 探索一次函数性质 探 索二次函数性质 探索反比例函数性质 探索中 点四边形性质 探索特殊四边形性质 还有探索 解决实际问题的 解密电脑键盘中的字母排列 打 印纸中的数学 钟面上的数学 等等 数学实验的设计及呈现 截止 年 月 手册 编写组已经编写了 手册 七年级上册 七年级下册 八年级上册 八 年级下册 分别设计了配套的数学实验 个 个 个 个 教材中每章教学内容都设计了 至 个数学实验 手册 中每个实验均包括以下内容 实验主 题 实验目的 实验准备 实验内容 设计 说明 实验主题 即实验名称 主要分为两种 一 种直接说明实验结果 还有一种采用动宾结构 行 为动词采用 制作 折 化 探索 等 直接说出 实验要做的事情 实验目 的也就是学生实验的 学习目标 由于 手册 中的实验大都是与课堂教 学相配套的一个教学片段 因此实验目标往往是 课堂教学一节课目标的子目标 涉及知识与技能 过程与方法 情感态度价值观方面 只是更加具 体 可操作和可评价 实验准备 就是为这个实验 开展的教学中要提供的物质条件 通常包括纸张 尺子 裁纸剪刀 笔 硬币 骰子 计算器 计算机 数学软件等 实验内容 是将实验中学生要做的 内容按实验流程和逻辑顺序排列 清晰阐述实验 年 第 卷 第 期 数学通报 过程和步骤 以及要学生完成的实验要求 每个实 验的最后还附有 实验指南 重点说明编写本实 验的思路以及这样设计的意图 帮助教师理解本 实验的相关内容 如实验性质 实验使用方式 实 验的组织形式 实验的主要环节 每个环节要达到 的目标 实验教学的重点 需要注意的问题等等 案例 制作微型动画片 七下 实验目的 通过制作微型动画片 感受图形平 移过程 理解平移概念 实验准备 方格纸 直尺 订书机 或夹子 实验内容 动画展示 在书后附录 中 将下图 中的 张图片揭 下 按次序装订成一本小画册 快速翻动这本小画 册 交流你看到的情况 图 操作交流 操作展示 每小组 名学生 依次编号为 每名学生分别在附录 中揭下 一张空白方格纸 张 按各自编号的数字 分别在 空白方格纸上画出小船向右移动相应格数的图案 如下图 并把本小组画好的 张方格纸片依 次装订成小画册 实物投影仪下快速翻动 展示 小船移动 的自制 动画片 图 全班交流 我们是如何制作小船移动的 动画片的 归纳平移的主要特征 实验指南 本实验是为苏科版义务教育教科书 数学 七 年级下册 图形的平移而设计的 实验以 制作 动画片 为载体 帮助学生感受动画片和平移之间 的关系 逐步建构平移概念 本实验教学中 首先通过一组 小熊踢球 图 片制作的小画册 初步感受动画片 然后通过学生动手操作 合作制作动画片 在 实际操作中感受平移 感受平移过程中图形的形 状 大小 位置等的变化情况 在教学中 教师可以先展示一段 微型动画 片 适时介绍 动画制作 网络动画制作 等 知识 还可以引导学生去查询相应知识 本实验可在课堂教学的前 分钟完成 手册 使用的初期效果及展望 江苏省从 年正式启动初中数学实验的 研究与实践工作 并在部分学校进行了数学实验 教学的尝试 年起组织专家进行数学实验的 开发和 手册 的研制 并尝试建立数学实验室 年 月 手册 在全省 个实验基地开始实 验 累计已开设省级 市级研究课观摩课百余节 等 年初 手册 经江苏省中小学教材审定委 员会审定通过 秋季开始在全省 多万初一学生 正式使用 编写组利用暑期组织相关专家对全省 各使用学校的初一数学备课组长进行了全员培 训 几年来 手册 获得了使用学校师生的广泛欢 迎 数学课堂也发生了一些可喜的变化 增强了主体意识 数学实验是以学生为主体的解决问题的活 动 因此数学实验的教学发挥了学生的主体作用 学生在实验中必须观察 操作 测量 思考 必须亲 历亲为 增强主体意识 也体现了 标准 提出的基 本理念 学生是学习的主人 教师是学习的组织 者 引导者与合作者 强化了过程教学 数学实验教学是学生动手操作 独立思考和 合作交流的过程 是学生经历知识的发生 发展和 应用的过程 在教学中 学生不仅要操作实践 经 历和体验实验过程 还要挖掘内隐的数学知识 进 行数学化思考 同时学生反过来又利用数学知识 优化操作策略 积累了数学活动经验 突出了质性评价 数学实验教学倡导的质性评估 数学实验教 学建议在基地学校得到广泛响应 教师突出关注 了学生在数学实验中的表现 一是学生参与实验 的积极程度 包括是否积极思考 探索解决问题的 方法 是否乐于与小组其他成员合作并愿意与同 下转第 页 数学通报 年 第 卷 第 期 和目标都是对称形式的问题 于是我们再次联想 能否转化形式化归为条件和目标都是关于某两个 变量的对称式呢 如果可以 通常情况下所求最 值是在两个变量相等时取得 于是我们可凭直觉 得到结论 事实上 我们只要将结论转化为 这样条件和结论都关于 和 对称 凭经验应在 时取得最小值 但另一种直觉 紧紧地萦绕在心头 当 与 的夹角大于直角 事实上这是可能的 时 因此 的最小值不应该在 与 时取得 因此 当 时取得最小值 这样的直觉不可靠 此时问 题似乎陷入绝境 如果我们能联想到 实数范围 内 减去一个数等于加上这个数的相反数 那么 这个题目又可以转化为另一种形式 将条件 槡 转化为 槡 而将 转化为 这样条件和目标 都转化为关于 与 的对称式 于是新的直觉 便产生了 当 此时 槡 时 直观地得到 的最小值为 而这个 答案恰是正确答案 具体的解答过程如下 设 于是条件变为 槡 我们先求出 的最小值 由条件可知 的 最小值应在 与 的夹角 时取得 由 槡 知 于是 所以 即 因为 所以 于是 将 看作是定点 与动点 连线的斜率 其中 利用数 形结合法可求得 的最小值为 于是 的最小值为 所以 当且仅当 槡 且 与 反向时 等号成立 参考文献 莫里斯 克莱因 古今数学思想 第二册 石生明 万伟 勋 孙树本等译 上海 上海科学技术出版社 周明儒 从欧拉的数学直觉谈起 纪念伟大的数学家欧拉诞 辰 周年 北京 高等教育出版社 波利亚 怎样解题 数学思维的新方法 涂泓 冯承天 译 上海 上海科技教育出版社 波利亚 数学与猜想 李心灿 王日爽 李志尧译 北 京 科学出版社 上接第 页 伴交流想法 是否有解决问题的自信心等 二是学 生在实验中表现出来的操作水平 数学化思考水 平 包括能否主动运用数学知识 方法描述具体问 题 能否通过独立思考获得解决问题的思路 并在 与同伴交流中获益 是否能提出具有一定价值的问 题 是否有独特的解决问题的策略等 三是学生在 数学实验过程中获得的体验 在体验和内化的基础