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函数列一致收敛性判定方法 陈白棣 王 钧 九江学院理学院 江西九江 332005 摘 要 利用E 3 的思想方法 通过研究函数列在开区间端点的敛散性 判断函数列 在开区间的敛散性 给出了判定一致收敛和非一致收敛的几种常用方法 关键词 一致收敛 函数列 E 3 的思想方法 中图分类号 O 174 文献标识码 A 文章编号 1006 3838 2006 01 0099 02 函数项级数和函数列的一致收敛是数学分析和泛函分析的一个连接点 一致收敛和非一致收敛的判 别方法是重点 也是难点 把函数列化数列的E 3的思想方法在泛函分析中也经常用到 函数项级数 E un x 的一致收敛与其部分和的函数列 sn x 的一致收敛性是等价的 本文给出一致收敛和非一致 收敛的几种常用判别方法 1 一致收敛常用判别方法 111 一致收敛的定义 定义 设函数列 fn 与函数f x 定义在同一数集 D 上 若对任给的正数 E 总存在一正整数 N 使得当n N 时 对一切x I D 都有 fn x f x N 时 对一切 x I D 都有 fn x fm x N 时对一切x I D和一切正数 p 都有 Sn p x Sn x E 或 un 1 x un 2 x un p N 时 对一切 x I D 都有 fn x f x E 则称函数列 fn 在D 上非一致收敛于 f 212 利用求极值的方法 rn x E k n 1uk x 如果sup xI I rn x y 0 n y 则 E n 1un x 在 I 上不一 致收敛 如果 fn x yf x x I I 但sup xI I fn x f x y 0 ny 则 fn 在 I 上不一致收敛 213 利用 Cauchy 准则 214 函数项级数E un x 的一般项un x 不一致收敛于零 那么函数项级数Eun x 一定不一致收敛 215 若存在点列 xn 0 总存在 N 0 当 n N 时 对任意x I x0 D x0 有 fn x f x 0 存在 D 0 当 x I x0 D x0 时有 f x A 0 存在 D 0 当x I x0 D x0 时有 fn x fn x0 E 3 3 由 1 2 3 知 fn x0 A fn x0 fn x fn x f x f x A 0 只要取D E 3M 则当 xc xd D对一切自然数 n 由微分中值定理有 fn xc fn xd fcn F xc xd MD E 3 1 其中F在 xc和 xd之间 现对 a b 作 k 等分 使b a k 0 存在自然数 Ni 当 n Ni时 有 fn xi fm xi E 3 现令 N max 1 i N 时 这一切 x1 x2 xk都有 fn xi fm xi N 有 fn x fm x fn x fn xi fn xi fm xi fm xi fm x E 所以 fn x 在 a b 上是一致收敛的 参考文献 1 华东师范大学数学系 数学分析 第三版 M 北京 高等教育出版社 2003 2 定光桂 Banach 空间引论 M 北京 科学出版社 1984 3 Walter Rudin Principles of Mathematical Anal