导数和矢量运算.ppt

1 1 1导数 1 1 2导数的运算 1 1 3单变量函数的微分 1 1 4积分 附录1 1微积分简介 一 定积分 微分和积分是对立面的统一 1 1 4积分 例 物体作匀速直线运动 路程 速度 时间 即s v t 在v t图中 路程s为阴影的面积 例 若物体作变速直线运动 速度v v t 可以把t分成许多均等小段 t 只要 t充分小 每段时间中的速率近似看成是不变的 把各小段时间内走过的路程相加 即近似为总路程 曲折的梯形曲线下的面积即近似为总路程 当时 右边的极限值就是所求总路程 上式可用积分形式表达 定积分的上 下限 被积函数 积分变量 即定积分形式 定积分的一般形式 几何意义 从0到t这段时间中v t 曲线下的面积 二 基本定理 如果被积函数f x 是某一个函数 x 的导数 f x x 则在x a到x b区间内f x 对x的定积分等于 x 在这区间内的增量 x 称为原函数 积分是导数的逆运算 求 解 例 找的原函数 因为故 三 不定积分 不定积分是不定出上 下限的积分 可写成 式中C为常量 可根据具体问题所给的条件定出此常量 已知曲线的切线斜率为 若曲线经过点求此曲线方程 例 1 求曲线方程 解 1 设曲线方程为已知 故 不同的C对应不同的曲线 曲线经过点把代入曲线方程 则曲线方程为 四 基本积分公式 一 矢量定义 二 矢量的合成 附录1 2矢量 一 矢量定义 物理量可以按其是否具有空间方向性来分类 矢量的大小 矢量的模 模等于1的矢量 单位矢量 需要以大小和方向表示的物理量 矢量 如 速度 加速度 力 只有大小而无方向的量 标量 如 温度 质量 体积 用图表示矢量 用有向线段表示 长度表示其大小 箭头表示其方向 矢量平移时大小和方向不变 二 矢量的合成 1 三角形法则 余弦定理 几何关系 若两个以上的矢量相加 所有的矢量首尾相连 2 解析法 将矢量沿直角坐标轴分解 各分矢量叫分量 只需用带正号或负号的代数值表示 三 矢量的标积 点乘 两矢量相乘得到一个标量 标积 其定义为 投影 根据标积定义 推论 3 若两矢量垂直 4 直角坐标系的单位矢量具有正交性 四 矢量的矢积 叉乘 两矢量相乘得到一个矢量 矢积 写成 若则 根据矢积定义 推论 规定 若则 五 矢量的导数 设矢量为时间t的函数 规定其对时间的导数为 在直角坐标中 为常矢量 一般情况下有以下性质 六 矢量的积分 一般采用直角坐标分量式计算 矢量的线积分 矢量的面积分 就是计算矢量通过曲面的通量N 在正法线方向的分量 一 函数 有两个互相联系的变量x和y 每当x取了某一数值后 按照一定的规律就可以确定y的值 就称y是x的函数 记作y f x 或y y x x为自变量 y叫因变量 自由落体运动 物体从离地面为h0高度处开始下落 则物体与地面的距离依赖于时间t的规律是 1 1 1导数 这里t为自变量 h为因变量 也可记为 二 极限 当自变量x无限趋于某一数值x0 记作x x0 时 函数f x 的数值无限趋于某一确定的数值a 则a叫做x x0时函数f x 的极限值 记作 在三角函数中 当x无限向正向增大时 arctanx无限接近 用极限表示 类似有 三 导数 当自变量x由一个数值x0变到另一个数值x1时 后者减去前者叫作该自变量的增量 记作函数 x x1 x0 增量可正可负 y与自变量的增量 x密切相关 两者之比 称增量比 与此对应 因变量y的数值由y0 f x0 变到y1 f x1 增量为 存在 则该极限就称为函数f x 在x点的导数 记为 f x 或y 定义 如果极限 四 导数的意义 1 导数是函数在一点 而不是一个区间里 的变化率 物理中的瞬时速度和瞬时加速度即导数的例子 2 几何意义 函数的曲线上任意一点的切线的斜率 就是函数在这一点的导数值 设函数y f x 在曲线上取一点A A 是曲线上另一点 割线AA 和x轴的夹角记为 当A 点沿着曲线趋近于A时 割线AA 趋近于某一极限位置AT 显然 直线AT就是曲线在A点的切线 AT与x轴所成的夹角 即为变角 的极限 导数的几何意义 曲线上横坐标为x0的一点A处的切线斜率就是函数f x 在x0处的导数值f x0 一 基本函数的导数运算举例 1 1 2导数的运算 求 解 求及 解 当时 二 常用初等函数的导数公式 三 导数运算法则 以下设u v为x的函数 且导数u v 存在 1 和 差 的导数 由极限的加法法则 2 积的导数 3 商的导数 4 复合函数的导数法则 设y f v v x 均有导数 则 或 求 解 例1 求 解 例2 求 解 例3 求双曲线在任意点的切线斜率 解 例4 切线斜率为 在方程中逐项对x求导 于是 此即曲线在坐标为 x y 的点的切线斜率 一 微分概念 定义 若f x 在x处有导数 则称f x dx为f x 在x处的微分 记为dy f x dx P C是曲线上两点 1 1 3单变量函数的微分 二 微分的几何意义 函数微分 自变量微分 导数 微商 根据微分定义 可直接由导数公式求微分 相应地 微分运算法则与导数运算法则相同 如 三