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2015 线性代数 第五 小结

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第五章第五章 小结小结 Zh a n g l i z h u o 2015 2 第五章第五章 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 5 1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 5 2 相似矩阵与相似矩阵与矩阵可对角化条件矩阵可对角化条件 5 3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化 Zh a n g l i z h u o 2015 教学纲目教学纲目 5 1 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 一 矩阵的特征值与特征向量一 矩阵的特征值与特征向量 二 特征值与特征向量的计算方法二 特征值与特征向量的计算方法 四 矩阵的特征多项式四 矩阵的特征多项式 三 特征值和特征向量的性质三 特征值和特征向量的性质 Zh a n g l i z h u o 2015 教学要求教学要求 1 理解与掌握特征值与特征向量的定义 理解与掌握特征值与特征向量的定义 2 理解与掌握特征值与特征向量的计算方法 理解与掌握特征值与特征向量的计算方法 4 理解与掌握矩阵的特征多项式的相关结论 理解与掌握矩阵的特征多项式的相关结论 3 理解与掌握特征值和特征向量的性质 理解与掌握特征值和特征向量的性质 定义定义 矩阵的特征值矩阵的特征值 特征向量特征向量 特征多项式特征多项式 迹 迹 Zh a n g l i z h u o 2015 1 0是是A的一个特征值当且仅当的一个特征值当且仅当 0是是A的特征多项式的特征多项式 E A 在数域在数域K中的根 中的根 2 是是A的属于的属于 0的一个特征向量当且仅当的一个特征向量当且仅当 是齐次线是齐次线 定理定理1 设设A是数域是数域K上的上的n阶矩阵 则阶矩阵 则 性方程组性方程组 0E A X O的一个非零解 的一个非零解 Zh a n g l i z h u o 2015 求数域求数域K上矩阵上矩阵A的特征值和特征向量的方法与步骤的特征值和特征向量的方法与步骤 1 计算计算A的特征多项式的特征多项式 E A 2 令令 E A 0 求出求出A在在数域数域K中中全部特征值全部特征值 1 m 3 对于对于A的的每一个特征值每一个特征值 i 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 其中其中k1 k2 kn r是数域是数域K上的上的不全为零不全为零任意常数 任意常数 得一基础解系得一基础解系 1 2 n r 则 则A的属于特征值的属于特征值 i的的 全部特征向量为全部特征向量为 k1 1 k2 2 kn r n r iE A X O Zh a n g l i z h u o 2015 7 10 k k K 是是kA的一个特征值的一个特征值 为特征向量为特征向量 20 m是是Am m为正整数为正整数 的一个特征值的一个特征值 为特征向量为特征向量 Kn为为A的属于的属于 的特征向量 则的特征向量 则 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质 设设A是数域是数域K上的上的n阶矩阵 如果阶矩阵 如果 为为A的一个特征值的一个特征值 30 若若A可逆可逆 1是是A 1的一个特征值的一个特征值 为特征向量为特征向量 40 若若A可逆 可逆 1 A 是是A 的一个特征值的一个特征值 为特征向量 为特征向量 50 是是 A 的一个特征值 的一个特征值 为特征向量 为特征向量 60 矩阵矩阵A T与 与A有相同的特征多项式和特征值 有相同的特征多项式和特征值 Zh a n g l i z h u o 2015 命题命题2 设设A是数域是数域K上的上的n阶矩阵 则阶矩阵 则A的特征多项式的特征多项式 E A 是是 的的n次多项式 其中次多项式 其中 n 1的系数等于的系数等于 tr A tr A 是是A主对角线上的元素和主对角线上的元素和 n k的系数为的系数为A的的所有所有k阶主子式的和乘以阶主子式的和乘以 1 k 1 k n 常数项为常数项为 1 n A n的系数是的系数是1 Zh a n g l i z h u o 2015 如果数域如果数域K上上n阶矩阵阶矩阵A有有n个特征值个特征值 1 n 于是于是 E A 1 2 n 则 则 f n a11 a22 ann n 1 1 n A n 1 2 n n 1 1 n 1 2 n 1 2 n a11 a22 ann 1 2 n A 由命题由命题2 因此因此 Zh a n g l i z h u o 2015 n阶矩阵阶矩阵A的主对角线上元素之和称为的主对角线上元素之和称为A的的迹迹 记作记作 tr A 矩阵的迹有下列性质 矩阵的迹有下列性质 tr A B tr A tr B tr kA ktr A tr AB tr BA Zh a n g l i z h u o 2015 教学纲目教学纲目 一 相似矩阵的定义与性质一 相似矩阵的定义与性质 5 2 相似矩阵与相似矩阵与矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件 二 矩阵可对角化的条件二 矩阵可对角化的条件 三 可对角化矩阵的相关结论三 可对角化矩阵的相关结论 四 若当形矩阵四 若当形矩阵 Zh a n g l i z h u o 2015 教学要求教学要求 1 理解 理解和掌握相似矩阵的定义与性质 和掌握相似矩阵的定义与性质 2 理解 理解和和掌握矩阵与对角掌握矩阵与对角矩阵相似的条件 矩阵相似的条件 4 了解若当形矩阵 了解若当形矩阵 3 理解 理解和和掌握可对角化矩阵的相关结论 掌握可对角化矩阵的相关结论 定义定义 相似矩阵相似矩阵 矩阵可对角化 矩阵可对角化 方法方法 可对角化矩阵的对角化方法 可对角化矩阵的对角化方法 Zh a n g l i z h u o 2015 相似矩阵具有下述性质相似矩阵具有下述性质 设设B U 1AU 10相似矩阵有相等的行列式 相似矩阵有相等的行列式 当可逆时 它们的逆矩阵也相似 当可逆时 它们的逆矩阵也相似 20相似矩阵或者都可逆 或者都不可逆 相似矩阵或者都可逆 或者都不可逆 30相似矩阵有相等的特征多项式 相似矩阵有相等的特征多项式 40相似矩阵有相同的特征值 相似矩阵有相同的特征值 50相似矩阵有相等的迹 相似矩阵有相等的迹 60相似矩阵有相等的秩 相似矩阵有相等的秩 70相似矩阵的正整数次方幂仍相似 相似矩阵的正整数次方幂仍相似 80相似矩阵的多项式仍相似 相似矩阵的多项式仍相似 Zh a n g l i z h u o 2015 定理定理1 数域数域K上的上的n阶矩阵阶矩阵A相似于对角矩阵的充分必相似于对角矩阵的充分必 要要条件是条件是A有有n个线性无关的特征向量 个线性无关的特征向量 Zh a n g l i z h u o 2015 命题命题2 设设 1 2是是数域数域K上上n级矩阵级矩阵A的不同的特征值 的不同的特征值 1 2 s与与 1 2 r分别是分别是A的属于的属于 1 2线性无线性无 关的特征向量 则关的特征向量 则 1 2 s 1 2 r线性无关 线性无关 Zh a n g l i z h u o 2015 1 2 m 与之对应的 与之对应的线性无关线性无关的特征向量分别为的特征向量分别为 12 111212122212 m ssmmms 则向量组则向量组 线性无关 线性无关 定理定理3 设数域设数域K上的上的n阶矩阵阶矩阵A有有m个个不同不同的特征值的特征值 12 12 111212122212 m m ssmmms 线性无关 线性无关 线性无关 线性无关 线性无关 线性无关 Zh a n g l i z h u o 2015 定理定理4 n阶矩阵阶矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性的属于不同特征值的特征向量是线性 无关的 无关的 Zh a n g l i z h u o 2015 定理定理5 设设 0是数域是数域K上上n阶矩阵阶矩阵A特征多项式的特征多项式的k重重根根 则则A属属于于 0的线性无关特征向量的最大个数的线性无关特征向量的最大个数r k Zh a n g l i z h u o 2015 12 12 12 111212122212 m m m rrmmmr sss 重重重 线性无关线性无关线性无关 重数分别为重数分别为s1 s2 sm 于是 于是s1 s2 sm n 从而从而A有有r1 r2 rm n 个线性无关的特征向量 个线性无关的特征向量 依定理依定理5 依定理依定理3 线性无关线性无关 设设A在数域在数域K中全部中全部不同的特征值为不同的特征值为 1 2 m 其其 r1 s1 r2 s2 rm sm Zh a n g l i z h u o 2015 在在K中 则中 则A不可对角化 不可对角化 如果数域如果数域K上上n阶矩阵阶矩阵A的特征多项式的全部复根不全的特征多项式的全部复根不全 有有n个线性无关的特征向量 从而个线性无关的特征向量 从而A不可对角化 不可对角化 20如果每个特征值如果每个特征值 i ri si i 1 2 m 则 则r1 rm n A有有n个线性无关的特征向量 从而个线性无关的特征向量 从而A可对角化 可对角化 10如果有某特征值如果有某特征值 i ri si 则 则r1 r2 rm n 即 即A没没 都在都在K中 即其重数满足中 即其重数满足s1 s2 sm n 由定理由定理5 其 其 如果数域如果数域K上上n阶矩阵阶矩阵A特征多项式的全部复根特征多项式的全部复根 1 m 线性无关的特征向量的最大个数满足线性无关的特征向量的最大个数满足 r1 r2 rm s1 s2 sm n Zh a n g l i z h u o 2015 命题命题6 数域数域K上上n级矩阵级矩阵A可对角化的充分必要条件是 可对角化的充分必要条件是 A的特征多项式的全部复根都属于的特征多项式的全部复根都属于K 并且 并且A的每个特的每个特 征值的重数等于它的线性无关的特征向量的最大个数 征值的重数等于它的线性无关的特征向量的最大个数 Zh a n g l i z h u o 2015 定理定理7 如果数域如果数域K上上n阶矩阵阶矩阵A有有n个不同的特征值个不同的特征值 则则 A与对角矩阵相似 与对角矩阵相似 推论推论8 在复数域在复数域C上 如果上 如果n阶矩阵阶矩阵A的特征多项式的特征多项式没没 有有重根 则重根 则A与对角矩阵相似 与对角矩阵相似 Zh a n g l i z h u o 2015 设设A为数域为数域K上上n阶矩阵 则下列命题等价 阶矩阵 则下列命题等价 2 A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 此时必有此时必有n个特征值个特征值 1 A与对角矩阵相似 与对角矩阵相似 3 A的特征多项式的全部复根都属于的特征多项式的全部复根都属于K 并且 并且A的的每每 个特征值的个特征值的 代数代数 重数等于它的线性无关的特征向量重数等于它的线性无关的特征向量 的最大的最大个数个数 几何重数几何重数 Zh a n g l i z h u o 2015 教学纲目教学纲目 5 3 实对称实对称矩阵的矩阵的对角化对角化 一 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质一 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 二 实对称矩阵必可对角化及其对角化的方法二 实对称矩阵必可对角化及其对角化的方法 Zh a n g l i z h u o 2015 教学要求教学要求 1 理解和掌握实对称矩阵特征值和特征向量的性质 理解和掌握实对称矩阵特征值和特征向量的性质 2 熟练掌握实对称矩阵对角化的方法 熟练掌握实对称矩阵对角化的方法 定义定义 实对称矩阵实对称矩阵 正交相似 正交相似 方法方法 实对称矩阵的对角化方法 实对称矩阵的对角化方法 Zh a n g l i z h u o 2015 定理定理1 实对称矩阵的特征多项式在复数域中的每一个实对称矩阵的特征多项式在复数域中的每一个 根根都是实数 都是实数 定理定理2 实对称矩阵实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量的属于不同特征值的特征向量 是是正交的 正交的 定理定理3 实对称矩阵一定实对称矩阵一定正交相似正交相似于对角矩阵 于对角矩阵 Zh a n g l i z h u o 2015 n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A正交相似对角矩阵的方法与步骤 正交相似对角矩阵的方法与步骤 第一步第一步 求 求A的特征多项式的特征多项式 E A 它在复数域中的 它在复数域中的 全部不同的根全部不同的根 1 2 m都是实数 从而它们都是都是实数 从而它们都是A 的特征值 的特征值 第二步第二步 对于每一个特征值 对于每一个特征值 j 求出齐次线性方程组求出齐次线性方程组 12 j jjjr 正交化和单位化 得正交化和单位化 得 它们与它们与 12 j jjjr 12 j jjjr 等价等价 因此它们也是因此它们也是A的属于的属于 j特征向量特征向量 iE A X O的一个基础解系的一个基础解系 然后把 然后把 12 j jjjr 并且并且 是正交单位向量组 是正交单位向量组 12 j jjjr Zh a n g l i z h u o 2015 第三步第三步 令 令 12 1112121 m rrmmr T 由于由于A可对角化 依可对角化 依定理定理3 r1 r2 rm n 从而从而T是是n阶矩阵 又阶矩阵 又T的列向量组是正交的列向量组是正交单位向量组 单位向量组 据定理得 从而据定理得 从而T是是n阶正交矩阵 由于阶正交矩阵 由于T的列向量的列向量都都 是是A的特征向量 因此的特征向量 因此 T 1AT diag 1 1 m m r1 rm Zh a n g l i z h u o 2015 12 m rrr 个线性无关特征向量个线性无关特征向量个线性无关特征向量 An 有个两两正交的单位特征向量 则则T是是n阶阶正交矩阵正交矩阵 使得 使得 T 1AT 对角矩阵 对角矩阵 12 12 111212122212 m m rrmmmr rrr 局部正交化再单位化局部正交化再单位化局部正交化再单位化 个的单位特征向量个的单位特征向量个的单位特征向量 正交正交正交正交正交正交 12 1112121 m rrmmr T 令令 则 则 1122 12 111212122212 mm m rrmmmr rrr 重特征值重特征值重特征值 设设n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的特征值的特征值 j重数为重数为rj j 1 2 m 则则 r1 rm n Zh a n g l i z h u o 2015 推论推论4 n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A有有n个正交的单位特征向量 个正交的单位特征向量 推论推论5 实对称矩阵的每个实对称矩阵的每个ni重特征值重特征值 i 必有必有ni个个线性线性 无关的特征向量 无关的特征向量 推论推论6 实对称矩阵的每个实对称矩阵的每个ni重特征值重特征值 i 有 有 rank iE A n ni Zh a n g l i z h u o 2015 数域数域K中中n阶矩阵阶矩阵A A为实对称矩阵 为实对称矩阵 否否 A有有n个不同特征值 个不同特征值 否否 是是 每个每个sk重特征值重特征值 k的线性无关的特征向量的数目的线性无关的特征向量的数目rk 否否 是是 A不可对角化不可对角化 A可对角化可对角化 是是 A的特征多项式的复根全部在的特征多项式的复根全部在K中 中 是是 否否 对每个对每个 k sk rk Zh a n g l i z h u o 2015

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