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对 数学分析 中 函数一致连续 概念的理解 程丽 丽水学院 数理学院 浙江 丽水323000 摘要 从实例出发 给出函数连续与一致连续的区别 并给出函数一致连续的几何意义 帮助学 生较快地理解函数一致连续的概念 关键词 一致连续 连续 几何意义 doi 10 3969 j issn 1008 6749 2010 05 020 中图分类号 G642文献标志码 A文章编号 1008 6749 2010 05 0079 03 On Comprehension of Conception for the Uniform Continuity of Functions in Mathematical Analysis ChengLi College ofMathematics andPhysics Lishui University Lishui Zhejiang323000 China Abstract In this paper we gave the difference of conception between continuty and uniform continuity of functions by examples It helps students to understand the conception of uniform continuity of functions quickly Key words uniform continuity continuous geometric meaning 收稿日期 2010 04 16 作者简介 程丽 1978 女 浙江丽水人 讲师 硕士 一致连续是从函数连续的概念派生出来的 是指存在一个微小变化的界限 如果函数定义域 内的任意两点间的距离不超过这个界限 则这两 点对应的函数值之差就能达到任意小 函数一致 连续的概念一直是 数学分析 学习中的难点 在 多年的教学实践中 深感学生对函数一致连续的 概念掌握的不是很好 经常听到学生有这样的疑 问 函数连续和一致连续究竟有什么区别 本文谈 的就是在教学中如何让学生较快地理解函数一致 连续的概念 1从连续的概念引出一致连续的概念 函数的一致连续性是函数的重要特征 它标 志着一个连续函数的变化速度有无 突变 对于 函数一致连续来说 不仅要求函数在区间上的每 丽 水 学 院 学 报 JOURNAL OF LISHUI UNIVERSITY 第 32 卷第 5 期 Vo1 32No 5 2010 年 10 月 Oct 2010 一点保持连续 还进一步要求它在区间上所有点 邻近有大体上均匀的变化趋势 也就是说 对于任 给的正数 要求存在一个与 x 无关的正数 使 对自变量的任意 2 个值 x x 只要它们的距离 x x 对应的函数值 f x f x 显 然 一致连续要比连续条件强 但在数学分析教科 书中 仅给出一致连续的定义以及利用定义证明 函数 f x 在某区间上一致连续的数学方法 呈现 了函数一致连续完美的逻辑结果 但学生对定义 特别是其中 的很难理解 那么我们在上课时就 不宜照本宣科 需要把概念中所隐含的知识逐步 解释清楚 才可以帮助学生较快地理解一致连续 的概念 下面我们从函数 f x 在区间 I 上连续的定 义出发 通过 2 个例子 快速建立函数 f x 在区间 I 上一致连续的定义 定义 1 1 函数 f x 在区间 I 上连续 设 f x 为定义在区间 I 上的函数 若对 0 对于每一 点 x I 都存在相应 x 0 只要 x I 且 x x 就有 f x f x 则称函数 f x 在 区间 I 上连续 给出以下 2 个例子 例 1考查函数 f x 1 x 在区间 0 1 上的连 续性 解对x0 0 1 因为lim x x0 x x0 0 则存在 邻域 U x0 使得 x U x0 有 x x0 2 所以 有 1 x 1 x0 x x0 xx0 x x0 x0 2 x0 2 x x0 x0 2 对 0 取 min x0 2 2 就有 1 x 1 x0 这里 与 x0有关 有时特记为 x0 注意本例中不存在可在区间 0 1 上通用 的 即不存在最小的 正数 强调 x0的位置不 同 的取值也随之产生变化 例 2考查函数 f x 1 x 在区间上 c c 0 的连续性 解 对 x0 c c 0 存在邻域 U x0 使得 x U x0 时 有 1 x 1 x0 x x0 xx0 x x0 c 2 对 0 取 c2 就有 1 x 1 x0 这 里可取得最小的 也就是可通用的 c2 该 却 与 x0无关 可记为 比较例 1 中 与例 2 中 的不同 引出较函 数 f x 在区间 I 上连续的概念条件更强的函数 f x 在区间 I 上一致连续的概念 定义 2 1 一致连续 设 f x 为定义在区间 I 上的函数 若对 0 存在 0 使得对任何 x x I 只要 x x 就有 f x f x 则称函数 f x 在区间 I 上一致连续 连续概念中 与一致连续概念中的 不同 通过具体的例子来说明 就更加直观 对初学的学 生来说 更容易接受 通过这样的 2 个例子引出函 数 f x 在区间 I 上一致连续的概念 可使学生在 刚接触到一致连续时 就对其中的 有一种直观 的感受 这样学生对 的取法就比较清楚 可以迅 速让学生理解一致连续的概念 2利用函数一致连续的概念证明函数一致连续 为了进一步加深学生对函数一致连续概念的 理解和记忆 随即提出用定义验证一致连续的方 法 对 0 确证 0 存在 为此 从不失真地 放大 f x f x 这个式子入手 使在放大后的式 子中 除因子 x x 之外 其余部分中不含有 x 和 x 然后使所得式子 f x f x 从中解出 x x 给出以下例子来讲解 例 3 验证函数 f x sin 1 x 在区间 c 1 0 c 1 内一致连续 证明因为 sin 1 x sin1 x 2 sin x x 2x x cosx x 2x x x x x x x x c 2 所以对 0 取 c2 使得对任何 x x c 1 只要 x x 就有 sin1 x sin1 x 3函数不一致连续的概念 下面证明例 1 中的函数 f x 1 x 在区间 1 0 上不一致连续 找不到可在区间 0 1 上通用的 即不存在最小的 正数 先给出函数 f x 在区间 I 上不一致连续的定义 定义 3 1 存在某个 0 无论 是怎么样小的 正数 在 I 上总有两点 x 和 x 虽然满足 x x 0 却有 f x f x 证明取 0 1 对 1 取 x min 1 2 丽 水 学 院 学 报 802010 年 与 x x 2 便有 x x x 2 2 但 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 1 0 因此也可以说函数 f x 在区间 I 上连续 存在 一个集合 A xx I 如果当集合 A 中存在一 个最小的 时 则 f x 就是 I 上一致连续 而 f x 在区间 I 上连续则只要求存在集合 A 就可以了 4函数一致连续的几何意义 数学分析是一门非常抽象的学科 有极强的 逻辑性和严密性 体现在 能用简明的数学语言准 确的表述用冗长的文学语言也不一定能定量的事 物发展过程 这也是初学者无法理解分析中定义 的原因 而几何意义将是数学分析课程入门的一 引导者 它向学生展示了数学分析中最基本的思 想方法 有利于学生对抽象概念的理解 能更好地 发展学生的思维能力 从几何形象上粗略地说 如 果函数是连续的 则它的图像是一条连绵不断的 曲线 那么一致连续函数的图像又是如何的呢 我 们可以向学生这样描述 一条一致连续的曲线 可 以用一系列宽为 2 长为 随着 的变化而变 化 且与 x 轴平行的小矩形来覆盖它 这样在形象 上又加深了学生对函数一致连续概念的理解 学 生在脑子里就有了作为刻画函数在一个区间上的 全局性的一致连续函数的图像概念 最后指出 在理解了一致连续的概念后 应引 导学生灵活应对各种类型的习题 采取各种证明 方法 本文旨在说明 在 数学分析 的教学过程如 何帮助学生较快地理解一致连续的概念 在教科 书科学 严谨的逻辑与学生的理解能力之间架起 一座桥梁 在让学生掌握必备的专业知识的过程 中 体会到成功的喜悦 促进学生努