数学第二册基础模块.pdf

编 写 说 明 本教材以教育部于 2009 年 1 月颁布的 中等职业学校数学教学大纲 修 订 为依据 突出贯彻 以服务为宗旨 以就业为导向 的职业教育办学方 针 坚持以学生为主体的教学理念 着眼于学生的全面发展 在培养高素质劳 动者和技能型人才上发挥应有的作用 体现职业教育培养目标的需要 本教材根据教学大纲确定课程性质与任务 强调数学知识的实际背景 引 导学生领悟数学的本质 使学生认识数学在实际工作与生活中的应用 充分体 现职业教育特色 为学生的终身学习与创业发展打下必要的 坚实的数学基础 一 编写本教材的指导思想 编写本教材的指导思想是 以素质教育为基础 以学生为主体 以能力为 本位 以学生的发展为最终目的 二 编写本教材的基本原则 1 基础性与职业性相结合的原则 数学是研究空间形式和数量关系的科学 是科学和技术的基础 是人类 文化的重要组成部分 教材内容的选择 贴近自然 贴近生活 贴近学生实 际 突出职业特色 教材内容的选择 既考虑到数学知识的基础性 又考虑到 专业课对数学知识的需求 引导学生认识数学知识的实际背景和应用价值 引 导学生领悟数学的本质 2 知识性与思想性相结合的原则 结合数学教学内容和学生实际对学生进行思想品德教育 促使学生逐步树 立科学的世界观和人生观 是数学教学的一项重要任务 教材用辩证唯物主义 的观点阐述数学内容 通过数学教学 激发学生的民族自尊心和凝聚力 努力 使学生形成为中华民族伟大复兴而努力学习的志向 3 理论性与实践性相结合的原则 知识 技能和能力之间的关系即理论与实践之间的关系 重视基础知识的 理论教学与加强基本技能的训练和能力的培养应同时并举 对于基本技能的训 练和能力的培养 注意传授基本数学的基础思想与方法 提高学生的数学思维 能力 为学生的终身学习与创业发展打下坚实的数学基础 4 科学性与趣味性相结合的原则 提倡快乐的数学 有趣的数学 提倡寓教于乐 教学素材的选取 在保证 科学性的前提下 充分利用全新的表现形式 图文并茂 神形兼备 直观形象 丰富多彩 妙趣横生地呈现知识素材 内容的表述力求深入浅出 通俗易懂 注意科学性与可读性并重 有助于消除学生对数学课的恐惧心理 提高学生学 习的兴趣 充分调动学习的积极性 5 互动性与自主性相结合的原则 学生是教学活动的主体 改进学生固有的学习方式 充分调动学生活动积 极性 遵循认知规律 关注个性差异 提倡多样性的学习方式 并努力为学生 创造自主探究 合作交流的空间与时间 为教师营造教学创新的环境 为师生 互动式教学提供民主的氛围和丰富的资源 促使学生主动探究 培养学生的创 新意识和应用意识 6 先进性与应用性相结合的原则 教材中注意反映人类世界的先进科研成果 注意信息技术的应用 在适当 的数学内容中 利用信息技术呈现以往教材和其他教学手段难以呈现的内容 实现信息技术与数学课程内容的有机整合 适当编入使用科学型计算器或计算 机软件的有关内容 培养学生具有一定的计算工具使用技能以及数据处理技 能 使学生的学习更好地与专业课相结合 提高分析与解决实际问题的能力 7 分类教学与分层教学相结合的原则 教材按照模块方式对教学内容进行设计 模块化教材较好地体现了数学课 程的教学目标 为不同数学基础 不同专业的学生提供了多样化选择 增加了 课程的可操作性和灵活性 较好地适应了职业教育人才培养模式和办学模式变 革提出的要求 考虑到中等职业教育自身的特点 一是专业门类多 二是学生数学基础参 差不齐 所以本教材有利于分层教学 因材施教 根据教学大纲的要求 知识 内容的难度 在习题与复习题的编排上分 A 组 B 组 两组题有明显的梯度 使其具有层次性和选择性 以便适应不同的地区 不同的专业 不同数学基础 学生的不同需求 三 教材的编写特色 1 精心设计体例 引人入胜 本教材采用章节结构 教材整体设计锐意创新 各节数学知识内容简捷 贴切 准确 适度 在每一节中辟有 想一想 练一练 等专栏 而每一章 中又辟有 数学史料 数海拾贝 快乐实践 等专栏 教材整体设计力求 一个 新 字 突出一个 实 字 营造出引人入胜的情景 目的是调动学生 学习的积极性 能够让学生有读书的兴趣和愿望 在数学知识的海洋里遨游 2 精选教学内容 通俗易懂 精选教学内容 内容重于形式 教材的内容要简明扼要 叙述通俗易懂 教 材的叙述注意讲清思路 理清来龙去脉 力求思路简洁 顺畅 教材在能力运 用部分精选典型例题 着重强调对数学基本思想与方法的介绍 解法要求有代 表性 力求帮助学生掌握数学基本方法 并达到举一反三 触类旁通的效果 我 们在例题求解过程中设计边框 提示 相关链接 目的是温故而知新 帮 助学生扫清学习道路上的障碍 从而有利于学生掌握知识 而且有利于提高学 生的思维能力 让学生享受数学 3 丰富知识内涵 生动有趣 数学知识是无处不在的 数学知识的丰富内涵也充分体现在学科间知识的 相互渗透 教材的教学内容中联系到语文课中的诗词楹联 英语课中的单词续 写 物理学中的数学应用 经济生活中的数学应用以及环境保护问题 生物常 识 美术中的精美画作等 目的是让学生感受到数学的文化 数学的应用 数 学的价值 数学的和谐与数学的美 教材还专门开辟了 数海拾贝 栏目 内容涉及名人趣闻轶事 数学简明 史料 典型应用简介 数学符号及数学名词的来历 数学故事与游戏等 既有 一定的知识性 又有一定的趣味性 开拓知识视野 激发学习兴趣 从而提高 学生的数学素质 数海拾贝 栏目全书统一安排 栏目分布均匀 篇幅短小 精简 绝不喧宾夺主 4 强化技能能力 突出应用 教材中开辟 快乐实践 等栏目 提倡学生实际动手 积极参与教学活动 其中包括观察 操作 归纳 猜想 验证 推理 建立模型 提出方法等个体 活动 也包括讨论 合作 交流 互动等小组活动 这些栏目的内容突出理论 在实践中的应用 有助于培养学生的实践能力 提高学生的学习兴趣 有助于 让学生更全面地了解数学 认识数学 同时给优秀学生留有进一步钻研的余地 新编教材力求做到精选内容 降低难度 生动有趣 强化技能 突出应用 好教好用 四 教材结构 本教材按照模块方式对教学内容进行设计 安排为基础模块 职业模块和 拓展模块 基础模块为必修内容 职业模块为限定选修内容 拓展模块为任意 选修内容 三个模块的设置较好地体现了数学课程的教学目标 为不同数学基 础 不同专业的学生提供了多样化选择 教材的模块结构也体现了教材的规定 性和灵活性相结合的原则 也有利于实行学分制 本套教材包括 主教材 课本 共六册 数学 基础模块 第一册 数学 基础模块 第二册 数学 职业模块 工科类 第三册 数学 职业模块 电子信息类 第四册 数学 职业模块 服务类 第五册 数学 拓展模块 第六册 辅教材 与教材第一 二册配套的数学练习册 学生用书共二册 以 及与各册教材配套的教学参考书 教师用书共六册 本教材主要参编人员均为高等职业教育 中等职业教育数学教学第一线的 教师 他们长期从事职业教育数学教学与数学教育研究工作 十分了解中职学 生生源状况 学习状况和学生个性特点 积累了丰富的教学经验 其中有赵明 霞 任兰荣 曹小燕 刘榕兰 张玉三 张继光 邹鹏 王韩榕 林玲香 胡 锡春 傅建军 徐建华 崔菊芬 宿昱 杨广霞 林宏 王梅梅 纪艳华 丛 鑫 戚建国 王淞 郭雪梅 王黎 黄苏岭 张安 刘倩等老师 本教材由北京数学会高职高专教育工作委员会金桂堂主任担任主编 本教材在编写过程中还得到北京数学会的鼎力相助 北京师范大学严士健 教授 北京大学李忠教授 清华大学韩云瑞教授 中国人民大学胡显佑教授 北京航空航天大学徐兵教授等对教材编写工作提出了很多有益的建议 对于教 材编写工作顺利进行给予了具体的指导与极大的帮助 本教材在调研 讨论与编写过程中得到北京工业职业技术学院 北京电子 科技职业学院 北京信息技术职业学院 北京劳动保障职业学院 北京财贸职 业学院 北京东城区职工大学 北京西城经济科技大学 首钢工学院 北京工 业大学实验学院 北京联合大学 北京东城职业教育中心学校 北京西城职业 教育中心学校 北京通州职教中心 北京交通学校 北京商业学校 北京实用 美术学校 福州财金职专 福州电子职专 福州环保职专 福州建筑职专 福 州市旅游职专等单位的大力支持与协助 在此谨表诚挚的谢意 本教材难免存在不足之处 恳请各位老师与同学提出宝贵意见与建议 以 便不断充实与完善 为中职教育改革与发展做出应有的贡献 前 言 本书是中等职业学校教材中基础模块的第二册 根据 2009 年 1 月教育部 颁布的 中等职业学校数学教学大纲 编写 是工科类 电子类 服务类等各 专业必修的教学内容 本册教材充分体现 以素质教育为基础 以学生为主体 以能力为本位 以学生的发展为最终目的 的编写指导思想 以基础性 职业 性 普及性 科学性和发展性为编写目标 努力为学生提供贴近生活 贴近实 际 贴近专业的以及富有趣味的 富有一定的挑战性的 图文并茂的学习素材 同时也为学生提供了动手操作 探索 研究 交流的平台和空间 使学生充分 感受到数学的重要性和实用性 在学习的过程中享受数学 本书包括数列 平面向量 直线和圆的方程 立体几何 概率和统计共五 章内容 教材突出基础知识和基本技能 基本理论则是贯彻 实用为主 必须 和够用为度 的教学原则 教材整体内容充分展示数学知识的形成和应用的 过程 在教材的编写中 文字叙述力求简明扼要 通俗易懂 能潜移默化地影响 学生的思维方式 特别是在引入概念 得出结论 分析例题等方面 注意讲清 思路 理清知识的来龙去脉 力求思路顺畅 言简意骇 有利于学生掌握知识 提高学生的思维能力 本教材的编写以实例 银行分期付款问题 抽样调查问题 为切入点 使 学生知道为什么要引入一个新概念 怎样在分析事实的基础上进行抽象和概 括 让学生充分感受到数学无处不在 体现它来源于生活并服务于生活的实 质 考虑到学生之间的差异 在习题中安排了 A B 两组题目 以满足不同层 次学生的要求 本教材的编写注重知识性与趣味性并举 章节中的数学史料 趣味问题 既可提高学生的学习兴趣 扩展知识面 又给学生留有进一步钻研的余地 方 便学生更全面地了解数学 认识数学 以培养学生的数学素养 提高学生的实 践能力 本书为中等职业学校工科类 电子类 服务类等各专业的教学用书 第六章 数列 6 1 数列的概念 3 6 1 1 数列的概念 3 6 1 2 数列的通项公式 4 6 2 等差数列 8 6 2 1 等差数列的定义 8 6 2 2 等差数列的通项公式 9 6 2 3 等差数列前n项和公式 12 6 2 4 等差数列的简单应用 14 6 3 等比数列 18 6 3 1 等比数列的定义 18 6 3 2 等比数列的通项公式 19 6 3 3 等比数列前n项和公式 22 6 3 4 等比数列的简单应用 24 数海拾贝 28 小结与复习 30 第七章 平面向量 7 1 平面向量的概念 35 7 2 平面向量的线性运算 40 7 2 1 平面向量的加法运算 40 7 目 录 7 2 2 平面向量的减法运算 43 7 2 3 平面向量的数乘运算 45 7 3 平面向量的坐标表示 51 7 3 1 平面向量的坐标表示 51 7 3 2 平面向量的坐标运算 53 7 4 平面向量的内积 59 7 4 1 平面向量的内积 59 7 4 2 平面向量内积的坐标表示 62 数海拾贝 68 小结与复习 69 第八章 直线和圆的方程 8 1 平面解析几何的两个基本公式 79 8 1 1 平面上两点间距离公式 79 8 1 2 平面上线段的中点坐标公式 81 8 2 直线的方程 84 8 2 1 直线的倾斜角与斜率 84 8 2 2 直线的点斜式和斜截式方程 87 8 2 3 直线的一般式方程 91 8 3 两条直线的位置关系 95 8 3 1 两条相交直线的交点 95 8 3 2 两条直线平行的条件 96 8 3 3 两条直线垂直的条件 99 8 3 4 点到直线的距离公式 101 8 4 圆的方程 105 8 4 1 圆的定义和标准方程 105 8 数学 基础模块 第二册 8 4 2 圆的一般式方程 107 8 4 3 直线与圆的位置关系 109 8 5 直线与圆的方程的简单应用 112 数海拾贝 115 小结与复习 116 第九章 立体几何 9 1 平面的基本性质 121 9 1 1 平面及其表示法 121 9 1 2 平面的基本性质 123 9 2 空间中直线及平面的位置关系 128 9 2 1 两条直线的位置关系 128 9 2 2 直线与平面的位置关系 131 9 2 3 两个平面的位置关系 134 9 3 直线 平面平行的判定与性质 137 9 3 1 直线与平面平行的判定与性质 137 9 3 2 平面与平面平行的判定与性质 139 9 4 直线 平面垂直的判定与性质 144 9 4 1 直线与平面垂直的判定与性质 144 9 4 2 平面与平面垂直的判定与性质 148 9 5 常见几何体 152 9 5 1 正棱柱及其表面积 体积 152 9 5 2 正棱锥及其表面积 体积 154 9 5 3 球及其表面积 体积 157 数海拾贝 160 小结与复习 161 9 目 录 第十章 概率与统计 10 1 两个计数原理 167 10 1 1 分类计数原理 167 10 1 2 分步计数原理 169 10 2 随机事件和概率 174 10 2 1 随机现象与随机事件 174 10 2 2 事件的关系与运算 177 10 2 3 事件的概率和性质 179 10 2 4 等可能事件的概率 183 10 3 直方图与频率分布 188 10 3 1 直方图 188 10 3 2 频率分布 190 10 3 3 频率分布直方图 191 10 4 随机抽样 199 10 4 1 总体与样本 199 10 4 2 抽样方法 200 10 5 用样本估计总体 208 10 5 1 样本的均值与标准差 方差 208 10 5 2 用样本均值估计总体均值 212 10 5 3 用样本标准差 方差 估计总体标准差 方差 214 10 6 一元线性回归 220 数海拾贝 226 小结与复习 227 35 第七章 平面向量 在自然界 我们常遇到两种不同类型的量 其中一 类较简单的量 取定单位后用一个实数就可以完全表 示 如温度 身高 时间 路程 面积等 但有的量用 一个实数不能完全表示 如位移 速度 力等 它们不 仅有大小 而且还有方向 数学中 我们把既有大小又有方向的量叫做向量 而把只有大小没有方向的量 称为数量 由于实数与数轴上的点一一对应 所以数量常常用 数轴上的一个点表示 而且不同的点表示不同的数量 对 于向量 我们常用带箭头的线段来表示 线段按一定比 例画出 它的长度表示向量的大小 箭头的指向表示向 量的方向 如图 7 1 所示 线段 AB 并画有箭头指向 B 表示 平面上的一个动点从 A 移动到 B 我们把 A 叫做起点 B 叫做终点 这种规定了起点和终点的线段叫做有向线段 图 7 1 以 A 为起点 B 为终点的有向线段记作AB 注意 起点要写在终点的前面 AB 和BA 表示两条不同的有 向线段 对于有向线段AB 线段AB的长度就是有向线段 AB 的长度 常记作 AB 有向线段包含三个要素 起 数学史料 向量 一 词来自力学 解 析几何中的有向 线段 最先使用 有向线段表示向 量的是英国大科 学家牛顿 向量又称为 矢量 最初被应 用于物理学 很 多物理量如力 速度 位移以及 电场强度 磁感 应强度等都是向 量 大约公元前 350 年前 古希腊 著名学者亚里士 多德就知道了力 可 以 表 示 成 向 量 两个力的组 合作用可用著名 的平行四边形法 则来得到 36 数学 基础模块 第二册 练一练 点 方向 长度 知道了有向线段的起点 方向和长度 它的终点就唯一确定了 一般的 向量可以用有向线段来表示 例如AB AC 等 表示向量AB 的 有向线段的长度 叫做向量 AB的模 或称长度 记 作 AB 长度为 0 的向量叫做零向量 记作0 零向量的方 向是任意的 即不确定 因此我们规定 所有的零向 量都相等 长度等于 1 的向量 叫做单位向量 向量也可以用一个标有箭头的小写字母表示 例如 a b c d 等 下图为 5 6 的方格纸 小正方形的边长为 1 画出向量AB AC BD DC EF 并求出这些向量的模 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 向量a 与b 平行 通常记作a b 规定 零向量与任一向量平行 如图7 2所示 a b c 是平行向量 l是任一条与a 所在直线平行的直 线 在l上任取一点O 则可在l上分别作出 OAa OBb OCc 这就是说 任意两个平行向量都可以移到同一条直线上 因此 平行向量也叫做共线向量 两个向量如果模相等 方向也相同 那么我们说这两个向量相等 向量印刷时 也可用黑体a 书写用a 37 第七章 平面向量 向量a 与b 相等 记作a b 如图7 3所示 图 7 2 图 7 3 由于我们所研究的向量含有两个要素 大小和 方向 所以用有向线段表示向量时 与有向线段的起点 无关 在平面上 两个长度相等且指向一致的有向线段 表示同一个向量 因为向量完全由它的方向和模确 定 这样 长度相等 方向相同的有向线段 不论位置 如何 都表示同一个向量 注意 我们知道 模相等且方向相同的两个向量是 相等向量 两个向量之间只有相等与不等关系 没有大小之分 对于向量a 与 b a b 或a b 这种说法是错误的 两个向量如果模相等 方向却相反 那么我们说这两个向量互为相反向量 a 的相反向量记作a 如上 练一练 所示 因为 AB DC 并且DC 的 方向与AB 的方向相反 所以AB 与DC 互为相反向量 因此AB DC 下列命题正确的是 A a 与b 共线 b 与c 共线 则a 与c 也共线 B 任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四顶点 C 向量a 与b 不共线 则a 与b 都是非零向量 D 有相同起点的两个非零向量不平行 仅 由 大 小 和 方向确定 而与 起点位置无关 的向量 称为自 由向量 38 数学 基础模块 第二册 练一练 解 由于零向量与任一向量都共线 所以A不正确 由于数学中研究的向 量是自由向量 所以两个相等的非零向量可以在同一直线上 而此时就不构成 四边形 根本不可能是一个平行四边形的四个顶点 所以B不正确 向量的平 行只要方向相同或相反即可 与起点是否相同无关 所以D不正确 对于C 其条件以否定形式给出 所以可从其逆否命题来入手考虑 假若a 与b 不都是 非零向量 即a 与b 至少有一个是零向量 而由零向量与任一向量都共线 可 得a 与b 共线 不符合已知条件 所以有a 与b 都是非零向量 所以应选C 如图7 4所示 D E F顺次是等边 ABC的边AB BC AC的中点 则在A B C D E F六个点中任意两点为起点和终点的向量中 1 找出与向量DE 相等的向量 2 找出向量EF 的相反向量 3 与向量FD 模长相等的向量有多少个 解 1 与DE 相等的向量为AF FC 2 EF 的相反向量为AD DB FE 3 与向量FD 模长相等的向量有17个 1 判断下列命题是否正确 若不正确 请简述理由 1 向量AB 与CD 是共线向量 则A B C D四点必在一直线上 2 单位向量都相等 3 任一向量与它的相反向量不相等 4 四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB DC 5 一个向量方向不确定当且仅当模为0 6 共线的向量 若起点不同 则终点一定不同 图 7 4 39 第七章 平面向量 2 如图 在等腰梯形ABCD中 EC AD 则在A B C D E五个 点中以任意两点为起点和终点的向量中 1 找出向量DC 的共线向量 2 找出与向量AD 相等的向量 相反向量 模相等的向量 第 2 题 A 组 1 判断下列命题是否正确 若不正确 请简述理由 1 平行向量的方向一定相同 2 零向量是没有方向的 3 向量AB 与BA 是两平行向量 4 不相等的向量一定不平行 5 长度相等的向量叫做相等向量 6 方向为南偏西60 的向量与北偏东60 的向量是 共线向量 2 点D E F分别是 ABC中AB BC AC边的中点 则在A B C D E F六个点中以任意两点为起 点和终点的向量中找出与EF 相等的向量和共线的 向量 B 组 某人从A点出发向西走了200 m到达B点 然后改变方向向西偏北60 走 了450 m到达C点 最后又改变方向 向东走了200 m到达D点 1 作出向量AB BC CD 1 cm表示200 m 2 求DA的模 习题 7 1 第 2 题 40 数学 基础模块 第二册 数能进行加 减 乘 除等运算 向量是否也能进行这些运算呢 借助于 生活中位移的合成我们引进向量的运算 下面我们先学习向量的线性运算 看下面的例子 小李从A地出发向东走了300 m到达B地 然后改 变方向向南走了300 m到达C地 这时从A地看 小李 在东南方向3002 m处 如图7 5所示 小李从A地到B地 再从B地改变方向到C地 则 两次位移AB BC 的结果 与A地直接到C地的位移AC 结果相同 我们把向量AC叫做向量AB 与BC 的和 一般地 已知向量a和b 在平面内任取一点A 作AB a BC b 则 向量AC叫做向量a与b的和 记作a b 即 ACBCABba 图 7 6 图 7 5 41 第七章 平面向量 求两个向量和的运算 叫做向量的加法 以上这种求向量和的方法 称为 向量加法的三角形法则 如图7 7所示 已知向量a b 利用向量加法的三角形法则 求作向 量a b 作法 如图7 8所示 在平面内任取一点O 作OA a AB b 则OB a b 所以OB就是所求作的向量 图 7 7 图 7 8 图 7 9 在上面三角形法则的作图中 如果以O为起点作向量OCb 如图7 9 所示 那么由图7 9可知 四边形OCBA是平行四边形 向量a与b是这个平 行四边形的两条邻边 a与b的和OB 恰好是四边形的一条对角线 这样就得 到了向量加法的平行四边形法则 已知向量a和b 在平面上任取一点A 以A 为起点向量a和b为邻边作ABCD 那么以A为起点的对角线AC 所表示的 向量就是a与b的和 即 OAOCOB 在图7 9中我们看到 OACBa ABOCb 由向量加法的三角形 法则 OAABOB OCCBOB 因此OAABOCCB 即 abba 恰好验证了向量的加法满足交换律 与数的加法类似 向量的加法也满足结 合律 即 a b c a b c 请同学们自己验证 我们把a b c叫做向量a b c的和 向量的加法满足交换律 和结合律 多个向量的加法运 算可以按照次序或任意的组 合来进行 向量的加法满足交换律 和结合律 多个向量的加法运 算可以按照次序或任意的组 合来进行 42 数学 基础模块 第二册 不画图 化简 1 AEEC 2 OPPQQN 3 ABEFDEBD 解 1 AEECAC 2 OPPQQNOQQNON 3 ABEFDEBDABBDDEEFADDFAF 图 7 11 图 7 12 一轮船向北以12 km h的速度航行 此时刮起东风 风速为5 km h 求 此轮船的实际航行速度的大小和方向 角度精确到1 解 如图7 12所示 设BC 表示船的行驶速度 BA 表示风速 以BC BA 为邻边作平行四边形ABCD 那么BD 为船的实际航行速度 在Rt ABD中 BA 5 AD BC 12 则 BD 22 512 13 km h 因为tan CBD 5 12 利用计算器 得 CBD 23 答 船的实际航行速度大小为13 km h 方向为北偏西约23 你悟出向量加法三角形 法则的本质了吗 你悟出向量加法三角形 法则的本质了吗 43 第七章 平面向量 练一练 1 如图 已知向量a b 用向量加法的三角形法则作出a b 1 2 3 4 5 第 1 题 2 如图 已知向量a b 用向量加法的平行四边形法则作出a b 第 2 题 3 如图 已知平行四边形ABCD 1 根据图形填空 AB BD AC CD 2 CB CD AB AD 4 化简 1 AB BC CD 2 AB MB BC CM 与实数的运算类似 向量减法是加法的逆运算 如果两个向量b 与c 的和 第 3 题 44 数学 基础模块 第二册 等于a 即 bca 那么我们把c 叫做向量a 与b 的差 记作cab 求两个向量差的运算 叫做向量的减法 根据向量加法的三角形法则 我们得出向量减法的三角形法则 已知向量a 和b 如图7 13所示 在平面内任取一点O 作OA a OB b 则向量BA 就是向量a 与b 的差 如图7 14所示 即 OAOBBA 图 7 13 图 7 14 如图7 15所示 已知向量a b 求作向量ab ab 要求用三角 形法则 图 7 15 图 7 16 作法 如图7 16所示 在平面上任取一点O 作OA a OB b 再作 ACb 则BA OA OB ab OC OAACab 说明 上面例子中因为b b 即OB AC 所以四边形OCAB是平行 四边形 因此BAOC 从而 abab 由此得出 减去一个向量 等 于加上这个向量的相反向量 由此 向量减法问题可以转化为向量加法问题 45 第七章 平面向量 练一练 不画图 直接写出下面两个向量的差的结果 1 BEBF 2 OAOC 3 OCAC 解 1 BEBFFE 2 OA OC CA 3 OC AC OC CA OA 如图7 17所示 在矩形ABCD中 AB a AD b 用a b 表示AC 和BD 解 根据向量加法的平行四边形法则 得 AC AB AD a b 根据向量减法三角形形法则 得 BD ADAB ba 如图 已知向量a b c 求作向量ac ba 第 1 题 2 化简 1 BCBA 2 OAOBBE 若某人从O点出发做匀速直线运动 经过1小时的位移对应的向量可用a 表示 那么同方向上经过3小时的位移对应的向量如何表示 反方向上经过3 小时的位移对应的向量如何表示 图7 18 图 7 17 46 数学 基础模块 第二册 事实上 同方向上经过3小时的位移对应的 向量可用a a a 表示 反方向上经过3小时的位 移对应的向量可用 a a a 表示 类似数的乘法 我们把a a a 记作3a a a a 记作3 a 它们都是实数与向 量相乘的形式 3a 与a 的方向相同 长度是a 的长度的3倍 3 a 与a 的方 向相反 长度是a 的长度的3倍 这样3 a 3a 一般地 实数 与向量a 的乘积是一个向量 叫做数乘向量 记作 a 它的长度和方向规定如下 1 当 0时 a 为零向量 即a 0 2 当0 时 a 的模是a 的模的 倍 即 a a 当 0时 a 的方向与a 方向相同 当 0 时 a 与a 同向 2 0 那么下列结论中正确的是 A a a B a a C a a D a a 5 已知 a 3 b 7 a b 的最大值和最小值分别是 A 10 3 B 10 0 C 10 4 D 10 7 6 下列各组向量中 不共线的是 A a 0 0 b 3 4 B a 1 3 b 2 6 C a 1 3 b 3 9 D a 1 2 b 1 2 7 下列各组向量中 互相垂直的是 A a 1 3 b 3 4 B a 2 5 b 2 2 C a 0 3 b 2 0 D a 0 2 b 0 4 8 下面给出的关系式中正确的个数是 1 00a i 2 a bb a ii 74 数学 基础模块 第二册 3 2 2 aa 4 a bcab c iiii A 0 B 1 C 2 D 3 9 下列命题中正确的是 A 000a bab i或 B aba ba b i C 2 aba ba b ii D a cb cab ii 10 已知在平面直角坐标系中 x轴 y轴正方向上的单位向量分别为i 和 j 且23aij 4bkij 若ab 则实数k的值为 A 6 B