数学文化(12).pdf

135 十二 十二 第二节 类比 的观点 一 什么是类比 类比 是根据两个 或两类 对象之间在某些方面的相似或相同 从而推出它们在其它方面也可能相似或相同的一种推理方法 也是一 种观点 类比的推理是一种 合情推理 不是证明 它无法保证已知相 同的属性与推出的属性之间有必然的联系 但是 它是获得新思路 新发现的一种观点 一种手段 二 插值问题中的类比 1 问题 有函数不知其式 在 处取值a 在 处取值b 在 处取值c 问函数 解析式 为何 2 类比 有物不知其数 三三数之剩a 五五数之剩b 七七 数之剩c 问物几何 136 这是我们在第三节 韩信点兵与中国剩余定理 中已经解决的问 题 当时我们有一种成功的方法 叫 单因子构件凑成法 这种方法 是 对每个要素分别做出一个构件 叫单因子构件 再把它们凑在一 起 从而解决问题 具体说是 先找到用 3 除余 1 用 5 和 7 除均能除尽的数 70 再 找到用 5 除余 1 用 3 和 7 除均能除尽的数 21 找到用 7 除余 1 用 3 和 5 除均能除尽的数 15 然后算出 3 5 7 105 最后令 s 702115105 abck kZ 即为所求 3 原问题的解法 通过类比 发现插值问题 有函数不知其式的问题 与 有物不 知其数的问题 结构相同 因此可以考虑用 单因子构件凑成法 先作函数 p x 在 处值为 1 在 处值均为 0 再作函数 q x 在 处值为 1 在 处值均为 0 再作函数 x 在 处值为 1 在 处值均为 0 137 即 1p 0pp 1q 0qq 1 0 那么 f xap xbq xcx 就是所求的函数 下边求 p x q xx 最简单的是用多项式的方法 比如设 p x 是一个多项式 则 据 条 件 0pp 它 有 两 个 一 次 因 式 可 令 p xxx 再用 1p 去求 1 1 xx p x 138 同理求出 xx q x xx x 于是得 xxxxxx f xabc 经验证 它符合要求 称为插值公式 即该函数在 三点 插进去的都是预先指定的值 a b c它简单 明快 可顺利地推广到任意 有限多个点插值的情况 这样 就可以用一个连续的函数去拟合离散 的测量结果 华罗康由此联想到如何解决具有类似结构的各种问题 正是他把 上述解决问题的基本思想称为 单因子构件凑成法 并概括成如下 的 合成原则 要做出具有平行的 类似的几个性质 A B C 的一 个数学结构 而 A B C 分别以某种量 刻划 这时 可用 单 因子构件凑成法 先作 B C 不发生作用 而 A 取单位量的构件 再作 C A 不发生作用 B 取单位量的构件 再作 A B 不发生作用 C 取单位量的构件 然后用这些构件凑出所求的结构 这个原则在有 的书里称为 孙子 华原则 139 三 分割问题中的类比 1 问题 5 个平面最多把空间分为几个部分 平面互相尽可能多地相交 才能分割最多 如果 5 个平面全都平 行 那末空间分成的是 6 部分 就较少 但 5 个平面如何相交最多以 致分割最多 一时也想不清楚 我们想起从 抓三堆 趣味问题中学 到的数学文化 先把问题一般化 再把问题特殊化 逐渐找规律 2 问题一般化 n个平面最多把空间分为几部分 设分为 F n个部分 再令n 1 2 3 把问题特殊化 3 问题特殊化 从简单的情况做起 以便 类比 1 F 2 2 F 4 3 F 8 4 F 4 个平面的情况想不清楚了 但想到要使平面相交最多 才能把 空间割最多 平面相交最多 有两个含义 一是每个平面都与其它的 所有平面相交 二是每个平面都不过它以外任意三个平面的交点 三 140 个平面一般情况下相交于一个点 由此我们想到了空间的四面体 这似乎是四个平面相交最多 从 而分割最多 的情况 把四面体的四个面延展成四个平面 是否就能 把空间分为最多的部分呢 到底现在把空间分成了几个部分呢 暂 难想象 由此我们想到去类比 直线分割平面 的情形 4 类比 3 条直线分割平面的情形 这也可以看成是把三角形的三条边均延长为直线 看这 3 条直线 把平面分为几部分 数一数 是 7 部分 这对我们有什么启示 附 图 我们分析一个这 7 个部分 是有限的部分 原三角形内部 而 几个无限部分 或与原三角形有公共顶点 或与原三 角形有公共边 把它们加起来 于是 1 3 3 7 所以 3 条直线分割平面 最多分 141 为 7 个部分 5 F 4 1 4 6 4 15 F 5 类比考虑四面体的四个面延展成 4 个平面 把空间分为几个部 分 有限部分 四面体内部 数为 1 无限部分与原四面体或有一个 公共顶点 有 4 个部分 或有一条公共棱 有 6 个部分 或有一个 公共面 有 4 个部分 于是所分空间总部分数为 1 4 6 4 15 以下仍要考虑F 5 这就是一开始提出的问题 5 个平面最多把空间分为几个部分 这一问题在平面上的类似问题是什么 是5条还是4条直线分割 平面 又如何类比 想不清楚了 对我们来说 不如在 一般情形 下考虑问题 n个平面分割空间和几条直线分割平面 n条直线 处 于一般位置 的要求也可以说是 任何两条不平行 任何三条不共点 n个平面 处于一般位置 的要求是 任两平面不平行 任四平面不 共点 或说任三平面不共线 这是四平面不共点的必要条件 并充 分 142 进而 我们类比直线上的问题 n个一般位置的点分割直线的问 题 这一问题比较简单 n个点最多把直线分为1n 个部分 这对我 们会有启发 如果我们把极端情况 有零个分割元素的情况 也考虑在 内 那么被 分割 成的部分数是 1 下图综合列出点分直线 直线分平面 平面分空间的已取得的结 果 6 类比一般化 解释记号 L nf n F n 然后看图 分割元素 个数 被分成的 部分数 点分直线 直线分平 面 平面分空 间 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4 7 8 4 5 11 15 143 5 6 16 26 M M M M 1n 1 L nn 1 f n 1 F n n 1L nn f n F n 于是 我们得到了一系列待解决的问题 弧立的问题有时难于理 解 而解决系列问题有时比解决弧立问题好入手 现在 原问题 F 5 已处在系列问题之中 比之原来的情形 求解已有进展 7 用类比的观点 猜想 观察上表中已得到的结果 表中的数字间有什么联系 有什么规 律性 从最右一列 先以为有 2 的方幂 的规律 但 8 后边的 15 4 2 16 表明这猜想不对 反复求索的结果 我们可能忽然看到表中有 3 4 7 7 8 144 15 以及联想到 3 4 7 7 8 15 这是一个独特的联系 表中已出现的每个数都可由它 头上 的 数与 左肩 上的数相加而得到 这是我们解决原问题的钥匙吗 我们猜想它确是规律 那我们把 表按此规律 顺沿到n 5 原问题的解就是F 5 26 但这种类比不是证明 只是合理的猜测 还需要分析这一猜测 以便证实这一猜测 或者否定这一猜测 这才是用类比归纳的方法去 研究问题的决定性步骤 8 分析 我们的分析从n 4 时直线分平面入手 我们已经通过顺沿上表猜 想 4 条直线最多把平面划分为 11 个部分 它是正确的吗 我们在 3 条直线分平面 为 7 个部分的基础上 再添加一条直线 用红色 这 条直线与原来的每条直线都相交 但又不过任意两条直线的交点 如 右图 我们数一下 现在确实把平面分成了 11 个部分 所以这猜测 是对的 但它为什么是对的呢 我们再作分析 增加一些理性认识 145 也许还能从中找到理解一般情形的线索 3 条直线分平面为 7 个部分 4 条直线就分平面为 11 个部分了 即增加了 4 部分 从 3 条直线添一条直线 为什么分割平面正好多出 4 部分 分析一下 新添的直线与原来 3 条直线每条都相交 而且交 在与原交点不同的点 这就交出了 3 个新交点 这 3 点把新添的直线 分为 4 段 每一段把它穿过的 由前 3 条直线分成的 那个区域一分 为二 因此 平面分割 增加了 4 个部分 这就是 4 的来历 而 且这个分析表明 这个 4 也正是 3 点把直线分为 4 部分的 4 也就是 11 左肩上的 4 11 4 7 原来是这样产生的 这种分析 令人信服 极大地增强了我们对所发现的规律的信心 9 再 类 比 得 一 般 情 形 的 公 式 1 1 f nL nf n 及 1 1 F nf nF n 我们再类比分析n 4 时平面分空间的情况 这时我们不容易在平 面的黑板上作立体图了 只能借助于刚才四面体延展的那个图来想 像 但是我们可以从思维上 语言上类比刚才的情形 146 我们在 3 个平面分空间为 8 个部分的基础上 再添加一个平面 这个平面与原来的 3 个平面都相交 并且又不过原来 3 平面的交点 从而不过原来任两平面的交线 这就交出了 3 条新直线 这 3 条直线 把新添加的平面分为 7 个部分 就是上面 类比一般化 的大表格中 的 7 每一部分把它穿过的 由前 3 个平面分成的 区域一分为 二 因此 空间分割 增加了 7 个部分 而原有 8 个部分 这就是 15 7 8 的来历 这里的n 3 到n 4 的过渡 并没有任何特殊的地方 我们可以完 全类似地分析由n 1 向n过渡时发生的情况 得到一般的表达式 与段落 8 类似地可以得到公式 1 1 f nL nf n 与段落 9 类似地可以得到公式 1 1 F nf nF n 这两个公式都是递推公式 这种递推公式与斐波那契数列的递推 公式有区别 但思想精神是相通的 我们只再叙述一遍较为复杂的公式 1 1 F nf nF n 得到的 147 过程 它实际上只要在上面的叙述中 把 3 个平面 换为 n 1 个 平面 把 8 个部分 换为 1 F n 个部分 把 3 条新直线 换 为 1n 条新直线 把 7 个部分 换为 1 f n 个部分 把 15 换为 F n 就完成了 简单说 是做下边的代换 31n 8 1 F n 7 1 f n 15 F n n 个平面把空间最多分为 F n个部分 求 F n 不厌其繁地详细 说一遍 就是 我们在1n 个平面分空间为 1 F n 个部分的基础上 再添加一个 平面 这个平面与原来的1n 个平面都相交 并且又不过原来任 3 个 平面的交点 从而不过原来任两平面的交线 这就交出了1n 条新直 线 这1n 条直线把新添的平面分为 1 f n 个部分 每一部分把它穿 过的 由前1n 个平面分成的 区域一分为二 因此 空间分割 增加了 1 f n 个部分 而原有 1 F n 个部分 所以现在 空间共被分 割成的部分数是 1 1 F nf nF n 10 推出显公式 1 1 2 n n f n 及 3 1 56 6 F nnn 上边已经得到的还只是递推公式 关系公式 我们希望进一步得 148 到象 1L nn 那样的关于 f n及 F n的显公式 即直接用n的解析式 表达 f n及 F n 下边的技巧是常用的 1 直线分平面的情形 2 平面分空间的情形 0 f 1 0 1F 1 f 0 0 Lf 1 0 0 FfF 2 f 1 1 Lf 2 1 1 FfF