河北省衡水中学高三数学上学期期中试题 文（含解析）新人教A版.doc

衡水中学20142015学年度上学期高三年级期中考试数学试卷（文科）第卷一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1、已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）a5 b4 c3 d2【知识点】不等式解法；集合运算. e1 a1【答案】【解析】b解析：a=0,1,2, b=0,1,2,3,4,所以满足条件的集合有：0,1,2,0,1,2,3,0,1,2,4,0,1,2,3,4共4个.故选b.【思路点拨】根据已知化简集合a、b，在一一写出满足条件的集合.【题文】2、已知，则“”是“为纯虚数”的（ ）a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件【知识点】充分条件；必要条件. a2 【答案】【解析】b解析：因为a=1时，=0不是纯虚数，而若是纯虚数，则a=-1，所以“”是“为纯虚数”的必要不充分条件.故选b.【思路点拨】根据原命题与逆命题的真假，判断充分性、必要性.【题文】3、已知平面向量的夹角为，且，在中，d 为bc的中点，则（ ）a2 b4 c6 d8【知识点】向量的运算. f1 f3 【答案】【解析】a解析：因为，所以 ，故选a.【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则得，再利用模与数量积的关系，把求模问题转化为数量积运算.【题文】4、已知锐角满足，则的最大值为（ ）a b c d【知识点】两角和的正切；三角函数的值域；基本不等式. c1 c5 e6【答案】【解析】d解析：设tana=a，tanb=b,因为是锐角，所以a、b都是正数，由得：，整理得，当且仅当时等号成立，故选d.【思路点拨】利用两角和的正切公式，把已知等式转化为tanb关于tana的函数，再由tana、tanb都是正数及基本不等式求得结论.【题文】5、设命题函数在定义域上为减函数；命题，当时，以下说法正确的是（ ）a为真 b为真 c真假 d为假 【知识点】复合命题真假的判定. a2 a3【答案】【解析】d解析：因为命题p是假命题；而在命题q 的前提下，所以命题q也是假命题.故选d.【思路点拨】先判断命题p、q的真假，再确定正确选项.【题文】6、如果执行下图所示的框图，输入，则输出的数等于（ ）a bc d【知识点】算法与程序框图. l1 【答案】【解析】a解析：程序运行的结果为=，故选a.【思路点拨】根据程序框图中的循环规律知，s是数列的前5项和，利用裂项求和法求出其值即可.【题文】7、下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）abcd【知识点】几何体的三视图体现的几何体的结构. g1 g2【答案】【解析】a解析：由三视图可知此几何体为：底面是长6、宽2的矩形，顶点在底面上摄影是，底面矩形边长为6 的一边的中点，且此四棱锥的高为4，所以其表面积为：=.故选a.【思路点拨】由三视图得此四棱锥的结构特点，从而求得该几何体的表面积.【题文】8、已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）a b c d【知识点】函数的性质；解不等式. b1 e1【答案】【解析】d解析：原不等式为：（1）（2）综上得不等式的解集为，故选d.【思路点拨】根据已知，画出函数f(x)的描述性图形，结合图形将原不等式转化为两个不等式组求解.【题文】9、三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中是正三角形，平面，则该球的体积为（ ）a b c d 【知识点】几何体的结构；三棱锥的外接球. g8 【答案】【解析】b解析：由正弦定理得abc 的外接圆直径2r=，则球的半径为：，所以该球的体积为 ，故选b.【思路点拨】过点a 的abc的外接圆直径，与线段ap构成的直角三角形的斜边，是球的直径，利用正弦定理，勾股定理可求得结论.【题文】10、已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式成立的是（ ）a b c d 【知识点】函数的零点；函数的单调性. b3 b9 【答案】【解析】c解析：因为函数f(x)、g(x)均是增函数，且f(0)f(1)0,g(1)g(2)0,所以a(0,1)，b(1,2)，故有a1b，所以f(a)f(1)0, 所以a=1, -6分（2）是函数f(x)图像得一个对称中心， 又因为a为的内角，所以a= -9分中，由正弦定理得：， -12分【思路点拨】（1）利用二倍角公式，两角和与差的三角函数公式，把函数f(x)化为：，再由题意得函数f(x)的周期为，且最大（或最小）值为m，而m0, ，所以a=1, ；（2）由是函数图象的一个对称中心得，从而有a=，再由正弦定理结合角b、c的范围,求得三角形周长范围；或由余弦定理结合基本不等式，求得三角形周长范围.【题文】19、（本小题满分12分） 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面。 （1）求证：; (2)求与平面所成角的正弦值。【知识点】线面垂直的判定与性质；线面角的求法. g5 g11【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）.解析：（1）底面abcd 为菱形，,dm abcd， ,平面pdb,-4分（2）设pd=ad=1，a到平面pbc的距离为h,则由题意pa=pb=pc=,在等腰中，可求解得，-12分【思路点拨】（1）只需证直线ac平面pdb即可；（2）设pd=ad=1，则，要求与平面所成角的正弦值，只需求a到平面pbc的距离为h，可由求得，所以.【题文】20、（本小题满分12分） 已知函数（其中） （1）若为的极值点，求的值； （2）在（1）的条件下，解不等式【知识点】导数的应用；不等式的解法. b12 e3【答案】【解析】（1）a=0；（2）不等式的解集为x|x1.解析：(1)因为，所以因为x=0 为f(x)的极值点，所以由得a=0检验，当a=0时，有x0时，.所以x=0为f(x)的极值点，故a=0.-4分（2）当a=0时，不等式整理得，即或-6分令当x0时， ；当x0时，所以h(x)在单调递减，在单调递增，所以，即所以g(x)在r上单调递增，而g(0)=0，故；，所以原不等式的解集为x|x1.-12分【思路点拨】(1) 由x=0 为f(x)的极值点得，解得a=0，再检验a=0时，x=0是否是函数f(x)的极值点即可；（2）当a=0时，不等式整理得，利用导数分析函数的单调性，得函数g(x)在r上单调递增，而g(0)=0，故；，由此得原不等式的解集.【题文】21、（本小题满分12分） （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）设函数（是自然对数的底数），是否存在使在上为减函数，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由。【知识点】导数的应用；由函数单调性求得参数的取值范围. b12 e8【答案】【解析】（1）f(x)的单调增区间是（0,1），；（2）实数的范围是.解析：（1）当a=-2时 ，设,即，所以x2所以f(x)的单调增区间是（0,1），.-4分（2）假设存在a使g(x)在a,-a上减函数，则a0.当时：因为所以当时，在定义域上为增函数，不合题意；当时，由得，1x2a+2，在上为增函数，则在上也是增函数，也不合题意；当时，由得：2a+2x1，若则a不存在，所以时，a不存在.-8分当时：因为g(x)在a,-a上为减函数，则f(x)在a,1上为减函数，f(x)在1，-a上也为减函数，且f(1) ，则，由得，所以，综上所述，符合条件的a 满足.-12分【思路点拨】（1）求定义域上导函数大于零的x范围即可；（2）易知若存在a使g(x)在a,-a上减函数，则a0. 分两种情况讨论：1.当时，利用导数分析在上为减函数的条件，此时a不存在；2.当时，可得f(x)在a,1上为减函数，f(x)在1，-a上也为减函数，所以只需f(1) 且解得，综上得a 的取值范围.【典例剖析】本题第二问是较典型的一问. 假设存在a使g(x)在a,-a上减函数，则a1上，故讨论两种情况：当；当.（1）当时：因为所以当时，在定义域上为增函数，不合题意；当时，由得，1x2a+2，在上为增函数，则在上也是增函数，也不合题意；当时，由得：2a+2x1，若则a不存在，所以时，a不存在.（2）当时：因为g(x)在a,-a上为减函数，所以需要f(x)在a,1上为减函数，f(x)在1，-a上也为减函数，且f(1) .因为而a-1 ,可得是（2a+2,1）上的减函数，所以需要得，由得.综合（1）、（2）可知符合条件的a 满足. 本题要注意：要结合两段上函数图像得性质及关系，分析a的取值条件.【题文】22、选修4-1：几何证明选讲 如图过圆e外一点a作一条直线与圆e交于b、c两点，且ab=ac，作直线af与圆e相切于点f，连结ef交bc于点d，已知圆e的半径为2，（1） 求af的长；（2） 求证：ad=3ed【知识点】切割线定理；三角形相似的判定与性质. n1【答案】【解析】（1）af=3；（2）证明：见解析.解析：（1）延长be交圆e于点m，连接cm，则bcm=90，又bm=2be=4，ebc=30，所以bc=，根据切割线定理得:，所以af=3-5分(2)过e作ehbc与h，则edhadf ,从而有,又由题意知bh=所以eh=1，因此，即ad=3ed-10分【思路点拨】（1）根据切割线定理知，只需求出线段bc的长，为此延长be交圆e于点m，连接cm，在rtbcm中求得bc=，从而得af=3；（2）取bc中点h连接eh，由edhadf可证得结论.【题文】23、选修4-5：不等式选讲 设函数 （1）求函数的最小值； （