正弦定理教学设计（张琛）.doc

正弦定理（教学设计）长沙市第十五中学 张琛一、教材分析（一）、教材的地位与作用正弦定理是人教新课标A版高中数学必修五第一章第一节的内容。正弦定理和余弦定理是解决有关任意三角形问题的两个重要定理。在此之前，学生已经掌握了直角三角形中的边角之间的数量关系，以及任意三角形中大边对大角的边角关系，学习了向量的基本知识。而正余弦定理是将任意三角形中的边角关系准确量化。新教材将正余弦定理放在三角函数和平面向量一章之后，我认为既是基于知识体系的考虑，又是基于研究方法的考虑，突出了向量的工具性，是向量知识应用的范例。正弦定理不仅定理本身在立体几何、解析几何、物理以及生产生活中有实际应用的意义，它还是学生了解向量的工具性作用的开端，而且它要求学生综合运用三角函数、向量、内角和定理等众多基础知识解决问题，其学习过程更是培养学生分析问题、解决问题的能力的一次有益体验。（二）课时安排 正弦定理授课时为2课时：第一课时：正弦定理的推导及简单运用第二课时：正弦定理的变形运用 本节课为第一课时（三）教学重点与难点 重点： 1、正弦定理的证明 2、应用正弦定理求解简单的三角形边角问题。（确定依据 ：由课程标准以及本节在教材中的地位与作用确定）难点： 1、 在证明正弦定理时与向量知识的联系过程。2、已知两边和一边的对角解三角形时解的个数的确定和求解。难点突破策略：1、引导学生利用向量的数量积把三角形的边长与内角的三角函数联系起来，实现向量与数量的转化。2、学生在上黑板展示时发现问题并解决问题。 二、目标分析（一）学情分析1、知识上：学生在初中已经掌握了直角三角形的边角关系，会解直角三角形；本章中又学习了向量的基本知识，掌握了向量的数量积运算。这些知识形成了学生思维的最近发展区。 2、能力上：学生已经具备了一定的分析、猜想能力，但是在探索发现、建立数学模型、应用数学知识解决实际问题方面还缺乏经验。 3、情感上：学生对从新的角度探索情境中的问题有一定的兴趣和能力。学生思维活跃，愿意表达自己的见解，但合作交流的意识有待加强。（二）目标分析数学教学原则明确强调：要将数学思想渗透到数学教学中去，让学生在获得知识，培养能力的同时在数学思想上受到良好的熏陶。根据教学大纲对本节内容的要求，考虑到上述学生已有的认知结构和心理特征，我确定了以下三维学习目标：1、知识与技能（1）会推导正弦定理。（2）会初步利用正弦定理解斜三角形。2、过程与方法（1）在定理的发现和证明过程中，培养学生观察、分析、归纳、猜想、类比、抽象、概括等逻辑思维能力以及探索、创新精神，渗透从特殊到一般，从具体到抽象以及转化的思想方法。 （2）在定理的应用过程中培养学生的理解应用能力，渗透分类讨论的思想。 3、情感态度价值观 让学生体验数学活动充满着探索与创造，体验发现的乐趣，体验合作交流，体会向量的工具性，感受事物之间的普遍联系与辩证统一，感受数学的和谐美，感受数学的严谨性，体验数学在解决实际问题中的作用，发展数学应用意识。三、教法分析（一）教学策略 建构主义理论：认为人的认识不是对于客观实在的被动反映，而是主体以已有的知识经验为依托所进行的主动建构的过程，提倡在教师指导下，以学生为中心的教学方式。 教学理念：我校“以学生发展为本一节课累计授课时间不超过20分钟”理念。教学理念的实施办法：落实我校“九个能让”：能让学生观察的让学生观察，能让学生思考的让学生思考，能让学生动手的让学生动手，能让学生体验的让学生体验，能让学生实验的让学生实验，能让学生教学生的让学生教学生，能让学生归纳的让学生归纳，能让学生表述的让学生表述，能让学生合作的让学生合作。通过设置情境、启发发现、实验验证、设疑诱导、探究讨论、总结归纳等方法，给学生提供一个广阔的自主学习的空间，一个充分展示创造思维、创新能力的机会。 教学方法：问题探究式教学法（二）教学手段 利用多媒体辅助教学，充分发挥几何画板直观形象的动态功能，又注重利用传统媒体的优势，有机结合，合理配置，给学生创设学习情境，提高效率，激发兴趣，突出重点，突破难点。（三）学法分析 改善学习方式是高中数学课程追求的基本理念，我一直致力于培养学生研究性学习的学习方式，让学生成为主动建构者。本节课，学生采用观察、类比、建模、猜想、合作、探究、讨论、归纳、阅读等方法来获取知识，亲历正弦定理的发现、形成、应用、发展的过程，始终贯彻研究性学习的原则。四、过程分析教学环节教师活动学生活动设计意图创设情境提出问题为了建一条连接山体两底侧A、B间的隧道，请你设计一种方案，利用皮尺和经纬仪，测量被山体隔开的A、B两地距离。展示学生出现的设计方案： 比例尺 相似 中位线问题一：某同学的方案是：选取点C，构造ABC，测量C，A的度数及BC的长a。怎样计算AB长？asinA（引导学生适当选取位置C，使C=90，解直角三角形，AB= ；问题二：若在实际操作中，限于条件无法构造直角三角形，你还能解决吗？学生在课前完成思考发言课标要求：高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动。情境引入能激发兴趣，使学生看到数学来源于实践。出现新问题，让学生产生认知冲突，激发学生强烈的探知欲望，在实际问题中看到研究正弦定理的必要性。类比猜想建立模型acccbc问题三：特殊的三角形直角三角形ABC中， C=90，你能发现各边角之间满足什么关系式吗？sinA= ,sinB= ,sinC=1= asinAbsinBcsinCBA b Cca = = ） 问题四：猜想，这一关系式在任意三角形中是否成立？学生回忆初中解直角三边形知识，探索发现猜想发现法研究特例体现从特殊到一般的思想大胆猜想有利于培养学生的直觉思维能力。动画演示实验验证利用几何画板动态数据显示：1、引导学生观察三角形形状的变化；2、显示三个比值相等的关系始终不变；asinAbsinBcsinC3、得出结论： = = 对于任意三角形都成立。动手操作观看动画演示，得出结论借助几何画板，让学生动手操作、观察、直观感受，验证猜想，对结论的认识从感性逐步上升到理性。合作探究理论验证问题五：请同学们探究上述结论的证明思路？探究方案：直角三角形已验证asinAcsinC锐角三角形课堂探究且仅证明 =钝角三角形课后证明探究方式：先独立思考，后小组合作交流，教师参与并指导学生的研究。常见思路： （1） （2）转化为直角三角形 面 积 法(3) (4)外接圆法 射 影 法问题六：你能用刚学的向量知识证明吗？启发1：三角形的三边具有怎样的向量关系？ （AC+CB=AB）2：上述结论反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现了边角关系呢？（数量积：ab=|a|b|cos）3：如何形成数量积？（在AC+CB=AB的两边，同取与向量j的数量积运算）4:如何选择辅助向量选择j?(关键:考虑消除差异既可从消去第三边b的角度考虑做与AC垂直的向量j, 又可从消除正余弦的差异的角度考虑利用诱导公式需作出90-A角 而j取单位向量体现了数学的简洁美.) 这样，在AC+CB=AB的两边，同取与AC垂直的单位向量j的数量积运算也就水到渠成了。学生自己动手证明,用投影展示学生的证明。独立思考小组合作走上讲台展示思路思考回答学生讨论动手证明互相纠错阅读教材突出学生学习的主体性。独立思考是合作交流的基础，教师参与学生之间的研究，增进师生之间的思维与情感交流，教师及时掌握学生研究的情况。通过展示研究结论，强化学生学习动机，增进学生的成功感及信心。正弦定理的证明方法很多。教学中不应刻意追求“多法”。学生探究证法，可以发散思维，符合知识的生成过程，但对学生没有想到的证法不要追究。采用向量来推导正弦定理，学生不易想到，特别三角形的边角与向量的联系过程是本节课的难点，为突破难点，采取教师点拨启发的方式，关键是一步步引导学生通过数量积转化,充分体现教师的指导作用,渗透转化的思想方法.对于教学疑点采取学生讨论的方式,暴露思维过程.教师特别关注基础差的学生，个别指导,分层施教。教学环节教师活动学生活动设计意图教师小结： 数量积是实现向量与数量转化的常用方法体会向量的工具性作用问题七：我们把上述关系称为正弦定理，你能用文字叙述该定律吗？asinAbsinBcsinC（在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即： = =口答渗透转化的思想方法，体会向量的工具性作用及知识间的联系，培养学生的数学语言的表达能力。创新应用解决问题问题八：正弦定理可以解决什么类型的三角形问题1、已知两角和任一边，求其他两边和一角；2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；例1、（解决课前提出的问题）为测量被山体隔开的A、B两地的距离，找到能到过A、B两地的C地，测得AC=100m，A=45，B=30，求AB两地距离（sin75=0.9659保留三个有效数字）。近测高塔远测山，量天度海只等闲例2、在ABC中，已知b=10，A=30，a=5，求B。变式练习（1）b=20,A=60,a=20，求B （2）b=20,A=60,a=10，求B （3）b=20,A=60,a=15,求B讨论回答学生动手解答请学生上黑板板演感悟应用新学知识解决课前的问题，体现了数学来源于生活再回到生活中的思想，进一步加强学生的应用意识，且该例题是据书上例1改编与正弦定理的第一类应用相对应。例2及变式练习帮助学生进一步熟悉正弦定理，且上黑板目的是将各种情况展示在同一平面上,使学生初步感悟到解决第二类问题时解的个数有多种情况，为讨论总结解的个数问题打下伏笔例题和练习的设计体现了“用教材教“而不是”教教材。教学环节教师活动学生活动设计意图归纳反思作业巩固小结：这节课在研究方法上有什么收获？类比、猜想建立模型实际问题转化、探索分析、归纳解决实际问题正弦定理作业： 1、当三角形为钝角三角形时，证明正弦定理。asinAbsinBcsinC2、学海导航P1、2。3、（选做）探究 = =的变形式有哪些？研究正弦定理的证法，可登陆：中基网数学频道课程资源正弦定理中央电教馆资源中心数学学科高一正弦定理从数学知识及数学思想方法两方面进行总结课后完成自主评价形成知识网络，强化思想方法课后完成钝角三角形的证明，既体现在知识的完备性，又巩固向量的方法，落实教学目标。作业分层，体现因材施教的思想，拓展思维。五、评价分析（一）教学评价及学生自主评价 整节课是一个探索发现、动脑猜想，合作探究、巩固应用的动态生成过程，注重学生研究性学习能力的培养，力图体现“学习的主动性”、“有效的互动性”、“思维的真实性”，注重知识的形成过程，渗透数学思想与方法，培养学生数学能力，发展学生的应用意识。同时将“教学反应”型评价和“让学生谈收获的”反馈相结合，促进学生自主评价，努力推进“教师一节课累计授课时间不超过20分钟”的教学理念。（二）课堂预测及调节措施由于学生的层次不一，教师要全程关注每个学生的学习状态，进行分层教学。且由于课堂思维容量大，教学进度受学生思维水平和教学过程中出现的随机事件的影响，故对教师的驾驭能力要求