直线与圆锥曲线的综合应用（学生版）.doc

直线与圆锥曲线的综合应用考情分析考点新知会求定点、定值、最值等问题；掌握函数与方程等价转换、分类讨论等思想方法掌握圆锥曲线的简单应用.1. (选修11P44习题4改编)以双曲线1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是_2. 以双曲线3x2y212的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是_3. 若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p_4. 已知抛物线y22px的准线与双曲线x2y22的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为_5. 已知圆C：x2y26x4y80.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为_1. 圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的轨迹当0e1时，它表示双曲线；当e1时，它表示抛物线2. 曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线C上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)3. 平面解析几何研究的两个主要问题(1) 根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2) 通过曲线的方程研究曲线的性质4. 求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2) 写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)；(3) 用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4) 化方程f(x，y)0为最简形式；(5) 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上题型1最值问题例1设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)、B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点(1) 若6，求k的值；(2) 求四边形AEBF面积的最大值如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点(1) 求证：A、C、T三点共线；(2) 如果3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标题型2定值问题例2已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，右准线方程为x.(1) 求双曲线C的方程；(2) 设直线l是圆O：x2y22上动点P(x0，y0)(x0y00)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A、B，求证：AOB的大小为定值题型3定点问题例3在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x3)2(y1)24和圆C2：(x4)2(y5)24.(1) 若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2) 设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标(提示：本题模拟高考评分标准，满分14分)已知椭圆y21的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点(1) 当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2) 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由 (理)题型4轨迹问题例4如图，已知梯形ABCD中|AB|2|CD|，点E满足，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率e的取值范围在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(4，0)、B(4，0)，动点P与A、B连线的斜率之积为.(1) 求点P的轨迹方程；(2) 设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C.半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为r.() 求圆M的方程；() 当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由、1. 已知椭圆1(ab0)的离心率为，且过点P，记椭圆的左顶点为A.(1) 求椭圆的方程；(2) 设垂直于y轴的直线l交椭圆于B、C两点，试求ABC面积的最大值；(3) 过点A作两条斜率分别为k1、k2的直线交椭圆于D、E两点，且k1k22，求证：直线DE恒过一个定点(1) 解：由解得所以椭圆C的方程为x22y21.(2) 解：设B(m，n)，C(m，n)，则SABC2|m|n|m|n|，又1m22n222|m|n|，所以|m|n|，当且仅当|m|n|时取等号，从而SABC，即ABC面积的最大值为.(3) 证明：因为A(1，0)，所以AB：yk1(x1)，AC：yk2(x1)，由消去y，得(12k)x24kx2k10，解得x1或x， 点B.同理，有C，而k1k22， C 直线BC的方程为y，即y，即yx，所以2yk(3x5)k1y0，则由得直线BC恒过定点.(注：第(3)小题也可采用设而不求的做法，即设D(x1，y1)，E(x2，y2)，然后代入找关系)2. 已知椭圆E：y21(a1)的上顶点为M(0，1)，两条过M的动弦MA、MB满足MAMB.(1) 当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求椭圆E的方程；(2) 若RtMAB面积的最大值为，求a；(3) 对于给定的实数a(a1)，动直线AB是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a表示)；反之，说明理由解：(1) 由题，a2c21，dc2，当c1时取等号，此时a2112，故椭圆E的方程为y21.(2) 不妨设直线MA的斜率k0，直线MA方程为ykx1，由 代入整理得(a2k21)x22a2kx0，解得xA，故A，由MAMB知直线MB的斜率为，可得B，则MA，MB.则SMABMAMB(1k2).令kt(t2)，则SMAB.当t时取“”， t2，得a1.而(SMAB)max，故a3或a(舍)综上a3.(3) 由对称性，若存在定点，则必在y轴上当k1时，A，直线AB过定点Q.下面证明A、Q、B三点共线： kAQ，kBQ.由kAQkBQ知A、Q、B三点共线，即直线AB过定点Q.3. (2012江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)、F2(c，0)已知(1，e)和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率(1) 求椭圆的方程；(2) 设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.() 若AF1BF2，求直线AF1的斜率；() 求证：PF1PF2是定值(1) 解：由题设知a2b2c2，e，由点(1，e)在椭圆上，得11b2c2a2b2a2a2b2b21， c2a21.由点在椭圆上，得111a44a240a22. 椭圆的方程为y21.(2) 由(1)得F1(1，0)、F2(1，0)， AF1BF2， 设AF1、BF2的方程分别为myx1，myx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y10，y20. (m22)y2my110y1. AF1.同理，BF2.() 解：由得AF1BF2.由，解得m22. 注意到m0， m. 直线AF1的斜率为.() 证明： AF1BF2， ，即11. PF1BF1.由点B在椭圆上知BF1BF22， PF1(2BF2)同理，PF2(2AF1) PF1PF2(2BF2)(2AF1)2.由得AF1BF，AFBF， PF1PF22. PF1PF2是定值4. 已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)、F2(c，0)，A1、A2、B1、B2分别为长轴和短轴的端点(如图)，以F2为圆心过A2的圆与直线A2B2相交，弦长为a.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 已知c2，P在椭圆上且在x轴上方，若PF1F2为等腰三角形，求PF1F2的面积及对应的P点的坐标解：(1) 解法1：由题意知圆F2的圆心为(c，0)，半径为ac.直线A2B2的方程为1，即bxayab0.点F2到直线A2B2的距离d.由垂径定理得(ac)2，化简得12a228ac15c20，两边同除以a2得15e228e120，解得e或e(舍)解法2：直线A2B2的方程为1，即bxayab0.点F2到直线A2B2的距离d.弦长la，由三角形相似得，即aab，化简得12a228ac15c20，两边同除以a2得15e228e120，解得e或e(舍)(2) 因为c2，所以a3，b，椭圆的方程为1.若PF1PF2，此时P点的坐标为(0，)，SPF1F242.若PF1F1F2，则PF1F1F24，设P(x，y)，由得或(舍)，此时P点的坐标为，SPF1F24.若PF2F1F2，由对称性得P点的坐标为，SPF1F24.5. 设A1、A2与B分别是椭圆E：1(ab0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C：x2y21相切(1) 求证：1；(2) P是椭圆E上异于A1、A2的一点，直线PA1、PA2的斜率之积为，求椭圆E的方程；(3) 直线l与椭圆E交于M、N两点，且0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由(1) 证明：已知椭圆E：1(ab0)，A1、A2与B分别为椭圆E的左、右顶点与上顶点，所以A1(a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，直线A2B的方程是1.因为A2B与圆C：x2y21相切，所以1，即1.(2) 解：设P(x0，y0)，则直线PA1、PA2的斜率之积为kPA1kPA2，1，而1，所以b2a2.结合1，得a24，b2.所以椭圆E的方程为1.(3) 解：设点M(x1，y1)，N(x2，y2) 若直线l的斜率存在，设直线l为ykxm，由ykxm代入1，得1.化简得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20(0) x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2kmm2.因为0，所以x1x2y1y20.代入得(a2b2)m2a2b2(1k2)0.结合(1)的1，得m21k2.圆心到直线l的距离为d1，所以直线l与圆C相切 若直线l的斜率不存在，设直线l为xn.代入1，得yb. |n|b， a2n2b2(a2n2)解得n1，所以直线l与圆C相切1. 在PMN中，tanPMN，tanMNP2，且PMN的面积为1，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点，且过点P的椭圆的方程解：解法1：如上图，过P作PQMN，垂足为Q，令|PQ|m，于是可得|MQ|PQ|cotPMQ2m，|QN|PQ|cotPNQm.|MN|MQ|NQ|2mmm.于是SPMN|MN|PQ|mm1.因而m，|MQ|2，|NQ|，|MN|.|MP|，|NP|.以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设椭圆方程为1(ab0)则2a|MP|NP|，2c|MN|，故所求椭圆方程为1.解法2：设M(c，0)、N(c，0)、P(x，y)，y0，则解得x，y，c.设椭圆方程为b2x2a2y2a2b2，则解得a2，b23.故所求椭圆方程为1.2. 如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)、A(x1，y1)、B(x2，y2)均在抛物线上(1) 写出该抛物线的方程及其准线方程；(2) 当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解：(1) 由已知条件，可设抛物线的方程为y22px.点P(1，2)在抛物线上，222p1，得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2) 设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA(x11)，kPB(x21)PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)、B(x2，y2)在抛物线上，得y4x1，y4x2，.y12(y22)，y1y24.由，得直线AB的斜率kAB1(x1x2)3. 已知椭圆C的方程为1(ab0)，双曲线1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1.又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如图)(1) 当l1与l2夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；(2) 当，求的最大值解：(1) 双曲线的渐近线为yx，两渐近线夹角为60，又1，POx30，即tan30.ab.又a2b24，a23，b21.故椭圆C的方程为y21.(2) 由已知l：y(xc)，与yx解得P.由，得A.将A点坐标代入椭圆方程，得(c2a2)22a4(1)2a2c2.(e2)22e2(1)2.2332.的最大值为1.4. 已知常数a0，在矩形ABCD中，AB4，BC4a, O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点(如图)问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标