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1 103 练习题一解答 1 2 某质点作直线运动 其运动方程为 2 41ttx 其中 x 以 m 计 t 以 s 计 求 1 第 3s 末质点的位置 2 前 3s 内的位移大小 3 前 3s 内经过的路程 解 1 第 3s 末质点的位置为 433413 2 x m 2 前 3s 内的位移大小为 31403 xx m 3 因为质点做反向运动时有 0 tv 所以令0 d d t x 即024 t 2 ts 因此前 3s 内经过的路程为 515540223 xxxx m 1 3 已知某质点的运动方程为tx2 2 2ty 式中 t 以 s 计 x 和 y 以 m 计 试求 1 质点的运动轨迹并图示 2 1 ts 到2 ts 这段时间内质点的平均速度 3 1s 末 和 2s 末质点的速度 4 1s 末和 2s 末质点的加速度 5 在什么时刻 质点的位置矢量与 其加速度矢量恰好垂直 解 1 由质点运动方程tx2 2 2ty 消去 t 得质点的运动轨迹为 4 2 2 x y x 0 运动轨迹如图 1 2 2 根据题意可得质点的位置矢量为 jir 2 22tt 所以1 ts 到2 ts 这段时间内质点的平均速度为 ji r2rr v32 12 1 t m s 1 3 由位置矢量求导可得质点的速度为 ji r v t t 22 d d 所以 1s 末和 2s 末质点的速度分别为 o y 0 2 0 22 x 题 1 3 图 2 103 jiv221 m s 1 和 jiv422 m s 1 4 由速度求导可得质点的加速度为 j v a2 dt d 所以 1s 末和 2s 末质点的加速度为 jaa221 m s 2 5 据题意有 0 2 2 2 tar 解得 2 2舍去 tst 1 5 已知质点的初始位置矢量和速度矢量为 jrR 0 jivttvt sincos 0 其中 R v0均为常数 试求质点的运动方程及轨迹方程 解 由 t d dr v 可得 dtdvr 将上式对 t 积分得 ji ji jivvrr tt tt v tt v dtttdttt t cos1sin cossin sincos0 0 0 0 0 0 0 所以 jir Rt vv t v t cossin 000 运动方程为 t v x sin 0 t v R v y cos 00 3 103 将上两式中消去 t 得质点轨迹方程为 2 0 2 02 vv Ryx 1 8 一质点沿 x 轴运动 其加速度与速度成正比 方向与运动方向相反 即kva 初始位置 初速度分别为 x0 v0 试求质点位移随时间变化的关系式 解 由题意知 kv dt dv a 分离变量后做定积分 tv v kdt v dv 0 0 得 ktv ln 即 kt evv 0 利用 kt ev dt dx v 0 得 dtevdx kt 0 再次将上式积分 t kt x x dtevdx 0 0 0 得 kt e k v xx 1 0 0 1 9 已知质点沿半径2 0 Rm 的轨道做圆周运动 其角位置随时间变化关系为 ttt0 40 3 23 式中 的单位是 rad t 的单位是 s 试求 1 0 2 ts 到0 4 ts 这 段时间内的平均角加速度 2 0 2 ts 时 质点的加速度为多少 解 1 由题意知ttt0 40 3 23 所以 0 40 63 2 tt dt d 4 103 当0 2 ts 时 0 40 40 20 60 23 2 1 1 srad 当0 4 ts 时 0 280 40 40 60 43 2 2 1 srad 于是 0 12 0 20 4 0 40 28 12 12 ttt 2 srad 2 0 2 ts 时的速度大小 8 02 00 4 Rv 1 sm 角加速度 0 60 60 20 60 60 6 t dt d 2 srad 切向加速度大小为 2 10 62 0 Rat 2 sm 法向加速度大小为 2 3 2 0 64 0 2 R v an 2 sm 加速度大小为 42 32 12 3 2222 nt aaa 2 sm 1 10 一质点从静止出发沿半径为1 Rm 的圆周运动 其角加速度随时间的变化规律 是tt612 2 2 srad 试求该质点的角速度 和切向加速度 a 解 因为 tt dt d 612 2 所以 tttd612d 2 积分上式有 t ttt 0 2 0 d612d 故质点的角速度为 23 34tt 1 srad 切向加速度为 ttRat612 2 2 sm 第 2 章 质点动力学 2 1 如图所示 质量10 Mkg 的物体 放在水平面上 已知物体与地面间的静摩擦系 F 题 2 1 用图 o 5 103 数为40 0 s 今要拉动这物体 试求所需要的最小拉力的大小与方向 解 在水平地面上 物体受重力 Mg 地面支持力 N 物体与地面间摩擦力 f 外力 F 与水平面夹角为 如题 2 1a 图所示 根据牛顿第二定律 物体刚好可以运动时 其加 速度0 a 摩擦力为最大静摩擦力 于是有 x 方向 MafF cos 0 1 y 方向 MgNF sin 2 Nf s 3 联列求解式 1 2 3 得 F cossin s sMg 0cossin s d d s tg 8 21 1 s tg 得 F 36 4 N 所以 所需要的最小的拉力是 36 4N 它与水平向右方向的夹角 8 21 2 3 如图所示 5 0 1 mkg 两物体和斜面间的摩擦 滑轮轴上的摩擦可忽略 绳和滑 轮质量不计 并且绳子不可伸长 求 1 当4 0 2 mkg 时 系 统运动的加速度多大 绳子的张力是多少 2 当 2 m多大时 系统匀速运动 这时绳子的张力又是多大 解 1 分别以 1 m 2 m为研究对象 画出 1 m 2 m的隔离 体受力图 如题 2 3a 图所示 设 1 m沿斜面下滑 2 m沿斜面向上运动 系统的加速度为 a 分别建立 xoy 坐标系 由 牛顿定律对 1 m 2 m可分别列出方程 F 题 2 1a 图 Mg f o x y N 600 300 m1 m2 题 2 3 用图 6 103 amTgm 11 30sin 1 amgmT 22 60sin 2 联立解得 g mm mm a 21 21 60sin30sin 8 9 4 05 0 2 3 4 0 2 1 5 0 05 1 2 sm 得负值 说明 a 的方向与原来所设方向相反 实际上 1 m沿斜面向上运动 而 2 m沿斜面向下 运动 系统的加速度大小为 1 05 2 sm 这时绳子的张力为 amgmT 11 30sin 0 305 15 0 2 1 8 95 0 N 2 系统匀速运动时0 a 对 1 m 2 m分别列出方程 030sin 1 Tgm 3 060sin 2 gmT 4 由 3 式可得 5 2 2 1 8 95 030sin 1 gmT N 代入式 4 得 29 0 2 3 5 9 5 2 60sin 2 g T m kg 第第 3 3 章刚体力学讲解章刚体力学讲解 3 2 一个飞轮直径为 0 30 m 质量为 5 00 kg 边缘绕有绳子 现用力拉绳子的一端 使其由静止均均 匀地匀地加速 经 0 5 s 转速达 10 r s 1 假定飞轮可看作实心圆柱体 求 1 飞轮的角加速度 2 飞轮在这 段时间里转过的转数 3 拉动后10 t s 时飞轮边缘上一点的速度和加速度的大小 解 飞轮在拉力的恒力矩作用下 作匀变角速转动 已知0 0 n 2 600 300 m1 m2 题 2 3a 图 x T y N1 m1g a x T y m2g N2 7 103 1 由 t 0 得 1 2 srad10261 50 1014322 t n t 2 飞轮转过的角度由 2 00 2 1 tt 可知为 rad8155010261 2 1 2 1 222 t r52 1432 815 2 N 3 当 t 10s 时 飞轮的角速度为 132 srad102611010261 t 于是 飞轮边缘一点的速度大小为 123 sm1089110261150 R 由于法向加速度大小为 2 5 2 22 n sm10382 150 10891 R a 切向加速度大小为 22 t sm91810261150 Ra 于是 总加速度大小为 2 52 2 52 t 2 n sm1038291810382 aaa 3 6 如本题图所示 一个通风机的转动部分以初角速度 0 绕其轴转动 空气的阻力矩与角速度成正 比 比例系数 C 为一常量 若转动部分对其轴的转动惯量为 J 也为常量 问 1 经过多少时间后其转动 角速度减少为初角速度的一半 2 在此时间内共转过多少转 解 1 根据题意设通风机叶片所受的阻力矩为 CM 由转动定律 JM 可得叶片的角加速度 为 J C t d d 图片在上面 根据初始条件对上式积分 有 t J C t d d 0 0 由于 C 和 J 均为常量 得 JCt 0e 当角速度由2 00 时 转动所需的时间为 8 103 ln2 C J t 2 根据初始条件对式 JCt 0e 积分 有 t t JCt ded 00 0 由此解得 C J 2 0 在时间 t 内所转过的圈数为 C J N 42 0 3 7 一根轻绳绕于半径为 R 的圆盘边缘 在绳端施以 F mg 的拉力 圆盘可绕水平固定光 滑轴转动 圆盘质量为 M 圆盘从静止开始转动 1 试求圆盘的角加速度及转动的角度和 时间的关系 2 如以质量 m 的物体挂在绳端 再计算圆盘的角加速度及转动的角度和时间 的关系 而弹簧无伸长 解 1 如本题图 a 所示 圆盘所受的合外力矩为 M FR F mg 对圆盘使用转动定律 有 2 2 1 MRJFR MR mg MR FR22 2 22 2 1 t MR mg t 2 在本题图 b 中 设 T 为绳子的张力 对圆盘使用转动定律有 2 2 1 MRTR 对物体 m 由牛顿定律得 maTmg 再考虑到 Ra 由上述各关系可解得圆盘的角加速度为 mRMR mg mRMR mgR 2 2 2 1 22 9 103 22 22 1 t mRMR mg t 解 取弹簧 轮子 物体和地球为系统 系统不受外力 绳与滑轮间的摩擦力和绳的张力都是成对内力 由于绳与滑轮 间无相对滑动 以及绳不可伸长 这两对内力的功都为零 所 以利用机械能守恒定律即可求解 也可由牛顿运动定律和转动 定律求解 设下落物体的速度为 则轮子的转速 习题3 10 用图 为r 因绳子不可伸长 所以弹簧的 伸长量即为物体下落的距离 选物体下落 40 cm 时的位置为重 力势能零点 由机械能守恒定律得 mghJmkh 222 2 1 2 1 2 1 其中 h 为物体下落高度 m 为物体质量 J 为轮子的转动惯量 由该式可解得 2 2 2 rJm khmgh 带入数据解得 1 sm511 3 11 某冲床上飞轮的转动惯量为 4 00 103k m2 当它的转速达到 30 r min 1时 它的转动动能是多少 每冲一次 其转速降到 10 r min 1 求每冲一次 飞轮对 外所做的功 解 因为 J10971 60 302 10004 2 1 2 1 4 2 32 1k1 JE J10192 60 102 10004 2 1 2 1 3 2 32 2k2 JE 由转动的动能定理可得外力矩对飞轮做的功为 J10751109711012 443 k1k2 EEW 故飞轮对外所做的功为 J10751 4 W 3 15 一个质量为 m 长为 l 的均匀细棒 支点在棒的上端点 开始时棒自 10 103 由悬挂 现在以 F 的力打击它的下端点 打击时间为t 1 若打击前棒是静止的 求打击 时其角动量的变化 2 棒的最大偏转角是多少 解 1 在瞬间外力的打击下 棒受到外力矩的角冲量 根据角动量定理 棒的角动量 将发生变化 则获得一定的角速度 由刚体的角动量定理得 tFltMJLd 0 2 在棒的转动过程 由于棒和地球所组成的系统 除重力 保守内力 外无其他外力做功 因此系统的机械 3 14 题用图 能守恒 即有 cos1 2 1 2 1 2 0 mglJ 由上两式可解得 glm tF 2 22 3 1arccos 33 18 长为 l 质量为 M 的均质杆 一端悬挂 可绕通过 O 点垂直于纸面的轴转动 今 让杆自水平位置无初速地落下 在铅垂位置与质量为 m 的物体 A 作完全非弹性碰撞 如本 题图所示 碰撞后物体 A 沿摩擦系数为 的水平面滑动 试求物体 A 沿水平面滑动的距离 解 像处理一般涉及碰撞的问题一样 这个问题要分为三个阶段求解 杆自水平位置落 到铅垂位置 并将和 A 碰撞的瞬间为第一阶段 杆与物体 A 的碰撞过程为第二阶段 由于 碰撞过程极短 可以认为物体尚来不及移动 第三阶段为物体 A 沿水平面滑动的过程 习题 3 18 用图 见上 第一阶段 取杆为研究对象 机械能守恒 设 为这一阶段末杆的角速度 2 0 2 1 2 l MgJ 将3 2 MlJ 代入上式 解得 l g3 2 第二阶段 设碰撞结束时杆的角速度为 则有 2 mlJJ mM lgM 3 3 在第三阶段 物体 A 在摩擦力作用下滑过的距离为根据质点的动能定理有 2 2 1 0 lmsmg 由此解出 2 2 32 3 mM lM s 11 103 3 19 在自由转动的水平圆盘上 站着一个质量为 m 的人 圆盘的半径为 R 转动惯量 为 J 角速度为 如果这人由盘边走到盘心 求角速度的变化及此系统动能的变化 解 取人和圆盘为定轴转动系统 人与盘的相互作用力为系统内力 系统所受的重力是 外力 但对转轴的力矩为零 故系统的角动量守恒 人站在盘边缘时 与圆盘具有相同的角速度 此时 系统的角动量为 2 mRJL 设人走到盘心时 系统的角速度为 由于人已在转轴处 所以就是 圆盘的角速度 此时 系统的角动量为 JL 由于系统角动量守恒 所以 JmRJ 2 由此得 J JmR 2 于是 角速度的变化为 J mR2 系统动能的变化为 22 2 222 k 22 1 2 1 mR J JmR mRJJE 第 5 章 气体动理论 思考题 2 1 若给出一个矩形容器 设内部充有同一种气体 每一个分子的质量为m 分子数 密度为n 由此可以导出理想气体的压强公式 若容器是一个球形的 压强公式的形式 仍然是不变的 请证明之 答 答 在球形容器内 分子运动的轨迹如图 2 1 中带箭头实线所示 设分子 i 的速 率为 i v 分子与器壁的碰撞为完全弹性碰撞 分子碰撞器壁只改变分子运动方向 不改 变速度的大小 并且 入射角 等于 反射角 对分子 i 来说 在每次和器壁的碰撞中 分子对器壁作用的法向冲量为2cos i mv 该 分子每秒钟内与器壁的碰撞次数为2 cos i vR 所以 该分子每秒内作用在器壁上的 作用力为 12 103 2 2cos 2 cos ii i vmv mv RR 对于总数为 N 的全部分子 分子是全同的 每一个 分子的质量均为 m 来说 球形内壁每秒内所受 到的总作用力等于 2 1 N i i m Fv R 由于球形内壁的总面积为 2 4 R 气体的体积为 3 4 3 R 所以 按照压强的定义得 211 2 3 11 4 433 3 NN ii ii m vv FNR pmnmv SRN R 证毕 2 2 对汽车轮胎打气 使之达到所需要的压强 在冬天与夏天 打入轮胎内的空气质量 是否相同 为什么 答 答 不相同 在冬天打入轮胎内的空气质量要大一些 因为夏天气温高 空气分 子的平均平动能较大 冬天气温低 空气分子的平均平动能较小 根据理想气体的压强 公式 2 3 pn 可知 当压强相同时 在冬天打入轮胎内的空气密度 即质量 要大一些 2 3 根据理想气体的温度公式 当0 TK 时 0 由此可推断 0 TK 即 273 时 分子将停止运动 对此推论 你有何看法 请评判之 答 答 这种看法是错误的 因为理想气体的温度公式只适用于理想气体 而在 273 时 已经不存在理想气体了 温度公式也就不成立了 如此的推论自然也就是错误的 事实上 即使达到 273 分子也还在作微小的振动 运动仍不会停止 2 4 范德瓦耳斯方程是从理论上推出的 更精确的昂内斯方程则是一个半经验方程 从形式上看 范德瓦耳斯方程可视为昂内斯方程的一个特例 请证明之 式 2 31 是 由体积V表达的昂内斯方程 你能否给出由压强p表达的昂内斯方程 答 答 1 由 O R 图 2 1 vi 13 103 RTbV V a p 2 得 RT V ab V a pbpV 2 整理得 2 V ab V a RTpbpV 令 RTpbA 则 aB abC 把 带入 2 BC pVA VV 此式即为昂内斯方程 2 以压强展开的昂内斯方程为 2 pVABpCp 2 5 麦克斯韦速率分布是指气体在平衡态下的统计分布 一般而言 速率分布函数还可 以有其他形式 但是 无论何种形式 它们的意义是相同的 设 vf为速率分布函数 请思考下列各式所代表的意义 1 df vv 2 dNf vv 3 2 1 d v v f v v 4 2 1 d v v Nf v v 答 答 1 df vv表示速率分布在vvvd 区间内的分子数占总分子数的百 分比 2 dNf vv表示速率分布在vvvd 区间内的气体分子数 3 2 1 d v v f v v 表示速率分布在 21 vv区间内的分子数占总分子数的百分 14 103 比 4 2 1 d v v Nf v v 表示速率分布在 21 vv区间内的气体分子数 2 6 若引入无量纲的量 p vvu 试证明麦克斯韦速率分布规律可表达为 2 2 4 dd u f uueuu 并由此说明v P v的分子数与总分子数之比与温度无关 答 答 令 p vvu 则 dd p vu v 带入麦克斯韦速度分布公式可得 2 2 32 22 2 4 d4dd 2 mv u kT m f vvevveuu kT 令 2 2 4 u f ueu 即有 2 2 4 dd u f uueuu v P v的分子数与总分子数之比即为 u 从 0 1 的分子数与与总分子数 之比 于是 其比率为 211 2 00 4 dd u N f uuu eu N 用分布积分法可解出 0 4276 N N 由此可见 v P v的分子数与总分子数之比与温度无关 15 103 2 7 气体分子的平均速率 最概然速率和均方根速率的物理意义有什么区别 最概然速 率是否是速率分布中最大速率的值 在数值上 这三个速率哪个最大 那个最小 答 答 由平均速率可以了解气体分子平均的运动快慢 由方均根速率可知分子平均 平动动能的大小 而最概然速率则表明速率在此速率附近的分子数占总分子数的比率最 大 显然 最概然速率不是速率分布中最大速率的值 在数值上 此三个速率大小关系是 2 vvvp 2 8 1mol 的水蒸汽 H2O 分解成同温度的氧气和氢气 内能增加了百分之几 提 示 将水蒸汽视为理想气体 不计振动自由度 水蒸汽的自由度为 6 答 答 由水分解成同温度的氧气和氢气的化学方程式为 222 O 2 1 HOH 根据理想气体的内能公式RT i E 2 分别计算 H2O H2 O2的内能为 2 H O 6 3 2 ERTRT 2 H 5 2 ERT 2 O 5 2 ERT 根据化学方程式可知水分解后的内能 E2为 22 2HO 151 515 222 24 EEERTRTRT 水分解前的内能为 2 1H O 6 3 2 EERTRT 分解前后内能增量为 21 153 3 44 EEERTRTRT 于是 内能增加的百分比为 16 103 1 3 1 4 25 34 RT E ERT 2 9 若盛有某种理想气体的容器漏气 使气体的压强和分子数密度各减为原来的一半 气体的内能和分子平均动能是否改变 为什么 答 答 根据理想气体的温度公式 kT 2 3 由于温度不变 气体分子平均动能没有改变 但由于分子数密度减少了 容器中的气体 质量减小 根据理想气体的内能公式 RT iM E 2 可知 气体的内能减少 2 10 在气体的迁移现象中本质上是那些量在迁移 分子热运动和分子碰撞在迁移现 象中起什么作用 答 答 在气体的迁移现象中本质上是气体的动量 能量或质量从一部分向另一部分 的定向迁移 动量 能量或质量的定向迁移是通过分子热运动和分子碰撞实现的 练习题 2 1 每秒有 1023个氧分子以 500m s 1的速度沿与器壁法线成 45 角的方向撞在面积为 4 102 m2的器壁上 问这群分子作用在器壁上的压强为多大 解 解 每个分子对器壁碰撞时 对器壁的作用冲量为 0 2cos 45ftmv 每秒内全部 N 个分子对器壁的作用冲量 即冲力为 0 2cos45FNmv 根据压强定义式得 17 103 0 2330 234 4 2cos45 10232 10500cos45 6 02 102 10 1 88 10 Pa FN mv p SS 2 2 目前 真空设备内部的压强可达 10 1001 1 Pa 在此压强下温度为 27 时 1m3 体积中有多少个气体分子 解 解 由 nKTp 得 10 103 23 1 01 10 2 45 10 m 1 38 10300 p n KT 2 3 一个容器内储有氧气 其压强为 5 1001 1 Pa 温度为 27 计算 1 气体分子 数密度 2 氧气的密度 3 分子平均平动动能 4 分子间的平均距离 设分子均 匀等距排列 解 解 由题意知 Pa1001 1 5 p K15 273 T 1 分子数密度可由下式求出 m1044 2 15 2731038 1 1001 1 125 23 5 kT p n 2 设氧气分子的密度为 每个分子的质量为 m 则 nm 设分子的摩尔质量为 1mol 气体所含的分子数为 A N 阿伏伽德罗常数 则mNA A Nm 将其带入上式得 mkg 301 10023 6 10321044 2 3 23 325 N n A 3 分子平均平动动能可由温度公式求出 2321 33 1 38 103006 21 10 J 22 kT 4 由分子数密度可知每一个分子所占据的空间为 n V 1 此空间为正方体 相邻的两个分子的间距即为 32593 31 1 2 44 103 45 10 m dVn 18 103 2 4 2 100 2 kg 的氢气装在 3 100 4 m3的容器内 当容器内的压强为 5 109 3 Pa 时 氢气分子的平均平动动能为多大 解 解 由理想气体状态方程RT M pV 解出 pV T MR 将其带入理想气体的温度公式可得 533 23 2 22 33 22 33 9 104 102 10 1 38 10 22 108 31 3 89 10 J pV kTk MR 2 5 某些恒星的温度可达到 8 100 1 K 这是发生聚变反应 也称热核反应 所需的温 度 在此温度下的恒星可视为由质子组成 试求 1 质子的平均动能 2 质子的方 均根速率 提示 大量质子可视为由质点组成的理想气体 解 解 1 将质子视为理想气体 由理想气体的温度公式得质子的平均动能为 J 1007 21011038 1 2 3 2 3 15823 kT 2 质子的方均根速率可由下式求出 8 26 3 33 8 31 1 10 1 58 10 m s 1 10 RT v 2 6 在容积为 1 m3的密闭容器内 有 900g 水和 1 6kg 的氧气 计算温度为 500 时容 器中的压强 解 解 在 500 时 水变为水蒸汽 容器内的压强为 121212 pppnkTn kTnn kT 带入已知条件可得 2323 33 5 0 91 6 6 02 101 38 10773 1 8 1032 10 6 42 10 Pa p 2 7 若使氢分子和氧分子的方均根速率等于它们在地球表面上的逃逸速率 3 102 11 m s 1 各需要多高的温度 若等于它们在月球表面上的逃逸速率 3 104 2 m s 1 各需要多高的温度 解 解 已知氢气的摩尔质量为 13 1 molkg102 氧气的摩尔质量为 19 103 13 2 molkg1032 由 RT m kT v 33 2 得 R v T 3 2 当 132 sm102 11 v时 由上式可解出氢气分子所需要的温度为 K 1001 1 3183 10210211 3 4 362 1 2 1 R v T 氧气分子所需要的温度为 K 10611 3183 103210211 3 5 362 2 2 2 R v T 当 132 sm104 2 v时 可解出氢气分子所需要的温度为 K 1062 4 3183 102104 2 3 2 362 1 2 1 R v T 氧气分子所需要的温度为 K 1039 7 3183 1032104 2 3 3 362 2 2 2 R v T 2 8 CO2气体的范德瓦耳斯常量 22 molmPa37 0 a 135 molm103 4 b 0 时其摩尔体积为 13 4 molm106 0 计算其压强 如果将其当作理想气体 压强 又为多少 解 解 1 由范德瓦耳斯方程 RTbV V a p 2 解得 2 V a bV RT p 带入已知数据得 Pa1006 3 100 6 37 0 103 4100 6 27331 8 6 2454 2 V a bV RT p 20 103 2 若将气体当作理想气体 由 RTpV 可得 Pa1078 3 100 6 27331 8 6 4 V RT p 2 9 质量为 14 102 6 g 的粒子悬浮在 27 的液体中 观测到它的方均根速率为 1 40 cm s 1 1 计算阿伏伽德罗常量 2 设粒子遵守麦克斯韦速率分布 计算该粒子 的平均速率 解解 1 将在液体中的粒子运动看作理想气体的运动 则由理想气体的温度 公式可得 T N R kTvm A 2 3 2 3 2 1 2 由此解得 mol1015 6 3 123 2 vm RT NA 2 设粒子遵守麦克斯韦速率分布 由麦克斯韦速率分布规律可求出粒子的平均速率 为 12 314 23 sm103 1 10102 614 3 3001038 188 m kT v 2 10 由麦克斯韦速率分布计算速率倒数的平均值 v 1 解解 由麦克斯韦速率分布函数可得 kT m vve kT m v vvf vv kT mv 2 2 d 2 4 1 d 1 1 2 22 3 00 2 2 11 有 N 个粒子 其速率分布函数为 d d N f vC N v 0 v 0 v 1 画出该粒子的速率分布曲线 2 由 0 v求出常量C 3 求粒子的平均速率 O v f v C vo 图 2 2 21 103 解解 1 粒子的速率分布曲线如图 2 2 所示 2 由于 0 1 0 00 dd v f vvC vCv 由分布函数的归一化条件 0 d1f vv 得 0 1Cv 则 0 1 C v 3 粒子平均速率为 0 0 00 0 1 dd 2 V v vvf vvvv v 2 12 用流体静力学原理及理想气体压强公式导出等温条件下单位体积中大气分子数随 高度的变化为 0 gZRT nn e 其中 0 n为Z 0 处单位体积的分子数 为分子平均摩尔质量 解解 由流体静力学可知 大气压强随高度的增加而减小 并且满足 d d p g Z 其中 p 为大气压强 Z 为高度 为大气分子的密度 g 为重力加速度 将上式分离变量 可写为 ddpg Z 设分子质量为 m 分子数密度为 n 则nm 将其带入上式 得 ddpnmg Z 由理想气体压强公式 p nkT 考虑到等温条件 可得 dp kTdn 将其带入上式 整理 后可得 d d nmg Z nkT 22 103 积分上式 并考虑到 Z 0 时 n n0 可得 00 mgZkTgZRT nn en e 2 13 假定海平面处的大气压为 5 1000 1 Pa 大气等温并保持 0 那么 珠穆朗玛峰 顶 海拔 8882m 处的大气压为多少 解 解 由大气压强公式可得 RT gZ kT mgZ epepzp 00 带入已知数据可得 Pa 1029 31000 1 4 27331 8 88828 91029 5 3 ezp 2 14 储有氧气的容器以速率v 100m s 1运动 假设容器突然停止运动 全部定向运 动的动能转变为气体分子热运动动能 容器中氧气的温度将上升多少 解解 设每一个分子的质量为 m 1mol 气体的质量为 总分子数为 N 则全部分 子的定向运动动能为 2 1 2 K ENmv 按照能量均分原理 每一个分子的热运动动能为 2 i kT N 个分子的热运动动能为 2 i ENkT 温度变化时 热运动动能的增量为 2 i ENk T 按题意 k EE 并考虑到氧气的自由度为 5 可得 2 15 22 NmvNk T 即 2232 32 10100 7 7 K 555 8 31 mv v T kR 23 103 2 15 在容积为 33m 100 2 的容器中 有内能为 2 1075 6 J 的刚性双原子分子理想气 体 1 计算气体的压强 2 设分子总数为 22 104 5 个 计算气体的温度和分子的 平均平动动能 解 解 1 由理想气体状态方程 RT M pV 和理想气体内能公式 2 Mi ERT 再考虑到 V N n 可得 Pa 1035 1 100 25 1075 622 5 3 2 iV E p 2 由 pnkT 得 53 2 2223 1 35 102 0 10 3 62 10 K 5 4 101 38 10 ppV T nkNk 23221 33 1 38 103 62 107 49 10 J 22 kT 2 16 一个长为L 半径2 1 Rcm 的蒸汽导管 外面包围一层厚度 2cm 的绝热材料 其 热导率 0 1 W m 1 K 1 蒸汽的温度为 100 绝热层外表面的温度为 20 单 位时间单位长度传出的热量是多少 解 解 如图 2 3 所示 设蒸汽导管的半径为 1 R 绝热层的外半径为 R2 在绝缘层中 取内半径为 r 外半径为 r dr 的薄层 由热传导定律 S x T t Q 可知 单位时间内通过此薄层的热量为 R2 R1 r dr L 图 2 3 24 103 dd 2 dd QT rL tr 由于绝缘层内外温度恒定 所以在稳态条件下 dQ dt 是常数 将上式移项并积分得 22 11 d d d d 2 TR TR Q r L t T r 2 21 1 d d ln 2 Q R L t TT R 于是 单位时间内单位长度的绝缘层传出的热量为 12 2 1 2 d d ln TTQ q R L t R 1 20 1 10020 4 ln 2 71 8 W m 第 6 章 热力学 思考题 3 1 1 热平衡态与热平衡有何不同 2 热平衡与力学中的平衡有何不 同 答 答 1 一个孤立系统的各种宏观性质 如温度 压强 密度等 在长时间 内不发生任何变化 这样的状态称为热平衡态 从宏观上看 处于热平衡态的系 统内部各处的密度 温度和压强处处均匀 并不随时间变化 在微观上 系统内 部还存在大量微观粒子的无规则热运动 但这种热运动不会改变系统的宏观性 质 当两个温度不同的处于平衡态的系统通过传热 两者温度达到相同时则称这 两个系统达到了热平衡 处于热平衡的两个系统都处于热平衡态 这时每个系统 都具有热平衡态时的宏观特征 温度 密度 压强均匀 及微观特征 但两个系 统的宏观特征除了温度都一样外 其他的性质可以相同 也可以不相同 2 力学中的平衡是指几个力作用在一个物体上 合力为零 或力矩的代 数和为零 这时物体处于匀速直线运动状态或匀速转动状态 热平衡是指热力学 系统的宏观性质处处均匀 不随时间变化的状态 力学平衡只是受力平衡 而热 25 103 平衡是指温度 压强 密度等各种性质处处平衡 3 2 在热力学中为什么要引入准静态过程的概念 答 答 在系统从一个平衡态过渡到另一个平衡态的过程中 如果任一个中间状态都 可看作是平衡状态 这个过程就叫准静态过程 准静态过程是无限缓慢的过程 由于 pV 图上的任何一个点都代表了一个稳定的平衡态 因而 pV 图上任何一条光滑的曲线都 代表了一个准静态过程 如果假定系统在状态变化过程中所经历的实际过程是准静态过 程的话 那么这个过程就可以在 pV 图上画出来 从而使对状态变化的研究变得简单而 直观了 因此 在热力学中引入准静态过程的方法实际上是一种将过程简化的理想化方 法 3 3 关于热容量的以下说法是否正确 1 热容量是物质含有热量多少的 量度 2 热容量是与过程有关的量 3 热容量不可能是负值 答 答 1 不正确 因为热容量指的是在一定过程中 物体温度升高或降低 1K 时所吸收或放出的热量 并不是指含有多少热量 2 正确 因为系统经历不同的过程 热容量不同 由定义不难理解 3 也是正确的 3 4 在本书所讨论的理想气体热功转换的四个过程中 哪些地方应用了热 力学第一定律 在这四个过程中 哪一个过程的热功转换效率最大 答 在等体过程中 应用热力学第一定律得到 d d V QE 在等压过程中 应用热力学第一定律得到 d dddd p QEAEp V 在等温过程中 应用热力学第一定律得到 d dd TT QAp V 在绝热过程中 应用热力学第一定律得到 dd0EA 在四个等值过程中 等温过程的热功转化效率最大 为 100 3 5 如图 3 1 所示 系统从初状态 A 等 压膨胀到 B 态 从 B 态等体增压到 C 态 再 从 C 态压缩回到 A 态 试确定每一过程中 图 3 1 O p A B V C 26 103 QAE 的正负 答 答 A B 过程 0 Q 0E 0 A B C 过程 0 Q 0 E 0 A C A 过程 0 Q 0 E 0 A 3 6 理想气体从状态 A 开始 分别经过 等压过程 等温过程和绝热过程 使体积膨胀 到 1 V 如图3 2所示 在哪种情况下QAE 最大 那种情况下QAE 最小 答 答 由于过程做功的大小等于曲线下面 积大小 故由图 3 2 可知 等压过程做功值 A 最大 绝热过程 A 值最小 由热力学第一定律可知 等压过程吸热 ppp QEA 等温过程热 TT QA 因为 pT AA 所以 pT QQ 故等压过程 吸热最多 绝热过程中0Q Q 值最小 由于 1 T 0 T 2 T 所以 等压过程E 最大 等温过程E 0 绝热过程E 是 负值 为最小 3 7 讨论理想气体在下述过程中ETAQ 和的正负 1 等体过程 压强减小 2 等压压缩 3 绝热膨胀 4 图 3 3 a 所示过程 a b c 5 图 3 3 b 所示过程 a b c 和 a b c 答 答 设系统向外做功时 A 值为正 外界对系统做功时 A 为负 系统从外界 吸热时 Q 值为正 系统向外界放热时 Q 值为负 则在 1 的等体过程中 0 E 0 T 0 A 0 Q 在 2 的等压压缩过程中 0 E 0 T 0 A 0 Q 在 3 的绝热中 0 E 0 T 0 A 0 Q 在 4 所述的过程 中 0 E 0 T 0 A 0 Q 在 5 所 述 的a b c过 程 中 图 3 2 O p A p0 V0 T0 B p0 V1 T1 V C p1 V1 T0 D p2 V1 T2 V0 V1 图 3 3 O P V b a c 等温线 O P V b a c 绝热线 b a b 27 103 0 E 0 T 0 A 0 Q 在a b c过程中 0 E 0 T 0 A 0 Q 3 8 两条绝热线和一条等温线是否可以构成一个循环 为什么 答 答 不能 如图 3 4 所示 若等温线 与 和 两个绝热 线相交 就构成了一个循环 这个循环只有一个单一热源 它把吸收的热量全部转变为功 即 100 并使周围环境 没有变化 这是违背热力学第二定律的 所以 这样的循环 是不可能构成的 3 9 一个热机以卡诺循环的方式做功 如图 3 5 所示 如果体积增大 此曲线所包围的面积也增大 所做的净功如 何变化 热机效率又如何变化 答 答 如体积增大 热机所做的净功将增大 增大的功在数值上等于增加的 bb c c 部分的面积 所做的净功虽然增大了 但热机的效率仍相同 这是因为热 机效率 21 1 T T 高低温热源的温度不变 故 也就不变 3 10 有两个可逆热机使用不同的热源 分别作卡诺循环 abcd a 和 a b c d a 在 p V 图上 它们的循环曲线所包围的面积相等 但形状不同 如图 3 6 所示 它们吸热和放热是否相等 对外所做的净功是否相同 效率是否相同 答 答 若 a b 过程的温度为 T1 a b 过程的温度为 T1 c d 过程的温度为 T2 设 c 处的状态参量为 p3 V3 T2 c 处的状态参量为 p3 V3 T2 d 处的状态 参量为 p4 V4 T2 因为两个循环曲线所包围的面积相等 所以 在这两个循环过程中所做净功 相等 由图 3 6 可知 c d 过程与 c d 过程在同一等温线上 故在 c d 过程中放出的 热量为 3 22 4 ln V QRT V 在 c d 过程中放出的热量为 3 22 4 ln V QRT V 图 3 5 图 3 6 O V O V P a b b c c d P a b b c c d a 图 3 4 28 103 其中 为摩尔数 由于 V3 V3 Q2 Q2 所以 在两个循环过程中放出的热量不等 a b c d a 循环过程放出的热量较多 又设在 a b 过程中吸收的热量为 Q1 在 a b 过程中吸收的热量为 Q2 则由 于 Q1 Q2 A Q1 Q2 A Q1 Q2 Q1 Q2 考虑到 Q2 Q2 所以 Q1 Q1 由此可见 a b c d a 循环过程吸收的热量较多 对于 d a 绝热过程 由泊松方程有 1 42 1 11 VTVT 对于 d a 绝热过程 由泊松方程有 1 1 1124 T VTV 将上两式联立可解出 1 11 1 1 TV V T 由图 3 6 11 VV 所以 11 TT 根据卡诺循环的效率公式 abcd a 循环过程的效率为 1 2 1 T T a b c d a 循环过程的效率为 1 2 1 T T 将两式比较易知 所以 abcd a 过程的效率高于 a b c d a 过程的效率 3 11 下列过程是否可逆 为什么 1 高温下加热使水蒸发 2 绝热 过程中 不同温度的两种液体混合 3 在体积不变下加热容器内的气体 使其 温度由 T1变化到 T2 答 答 以上过程都不可逆 因为不可能在对环境不造成任何影响的前提下 使 之回复原状 事实上 热力学第二定律已经表明 一切与热现象有关的实际宏观 过程都是不可逆的 3 12 根据热力学第二定律判断下面说法是否正确 l 功可以全部转化 为热 但热不能全部转化为功 2 热量能从高温物体传向低温物体 但不能从 低温物体传向高温物体 答 答 1 不正确 在理想气体的等温膨胀过程中热就可以全部转化为功 但 是 不存在循环动作的热机 其唯一效果是将吸收的热量全部转变为功 而对环 境不造成任何影响 29 103 2 不正确 通过致冷机就可以将热量从低温物体传向高温物体 但是它 需要消耗外界能量 因此 正确的理解应为 在不引起其它变化或不产生其它影 响的条件下 热量不可能从低温物体传到高温物体 3 13 请说明违背热力学第二定律的开尔文表述也必定违背克劳修斯表述 答 答 可用反证法证明 假设有一个违反开尔文表述的机器 它从高温热源 T1吸热 Q 全部变为有 用的功 A Q 而未产生其它影响 这样 可利用此机器输出的功 A 去供给在 高温热源 T1与低温热源 T2之间工作的制冷机 这个制冷机在循环中得到功 A A Q 并从低温热源 T2处吸热 Q2 最后向高温热源放出热量 Q2 A 这样 两 机器综合的结果是 高温热源净吸热 Q2 而低温热源恰好放出热量 Q2 此外没 有发生其它任何变化 从而违背了克劳修斯表述 因此 如果违背开尔文表述也 必定违背克劳修斯表述 3 14 系统从某一初态开始 分别经过可逆与不可逆两个过程 到达同一末 态 则在这两个过程中系统的熵变一样大吗 答 答 熵变一样大 因为熵是一个状态参量 熵变只与系统的始末状态有关 而与过程无关 练习题 3 1 有人声称设计了一台循环热机 当燃料供给 1 045 108J 的热量时 机 器对外作了 30kW h 的功 并有 3 135 107J 的热量放出 这种机器可能吗 解 解 设燃料供给热机的热量为 Q1 热机放出的热量 Q2 则可转化为功的热 量为 J 107315 010135 310045 1 878 21 QQQ 而题中所设的功输出为 338 30 103 6 101 08 10 J A 由于AQ 根据热力学第一定律AEQ 可知 此机器需消耗内能做功 而 无穷尽地消耗内能循环做功是不可能的 所以这种机器不可能存在 3 2 如图 3 7 所示 在系统从状态 A 沿 ABC 变化到状态 C 的过程中 外 界有 326J 的热量传递给系统 同时系统对外做功 126J 当系统从状态 C 沿另一 个过程 CA 返回到状态 A 时 外界对系统做功 52J 则在此过程中系统是吸热还是放热 传递的热量是多 少 解 解 当系统从状态 A 出发 经过 A B C 过程达 到状态 C 时 按照热力学第一定律可写出 AEEQ AC 其 中 Q 为 在 此 过 程 中 系 统 吸 收 的 热 量 AC EEE 为系统内能的变化 A 为在此过程中 图 3 7 P B V C A O 30 103 系统对外所做的功 将上式改写为 AQEE AC 带入已知数据得 AQEE AC 326 126 200 J 当系统由状态 C 经过程 C A 回到状态 A 时 在此过程中热力学第一定律的 表达为 AEEQ CA 其中 Q 为系统在此过程中吸收的热量 A 为在此过程中系统对外界所做的功 将题设条件带入可得 AEEQ CA 200 52 252 J 其中已考虑到 ACCA EEEE 外界对系统做功为负值 由于算出的热量为负值 因此可知系统放出的热量为 252J 3 3 压强为 1 013 105Pa 容积为 0 0082m3的氮气 从初始温度 300K 加 热到 400K 如加热时 l 体积不变 2 压强不变 问在这两个过程中各需要 多少热量 哪一个过程所需的热量多 为什么 解 解 已知 p1 1 013 105Pa V1 0 0082m3 T1 300K T2 400K 1 在等体过程中 根据热力学第一定律可知 EQV 由于对理想气体 12 TTCE mV 其中 为气体的摩尔数 mV C 为等体摩尔热容量 则在等体过程中 系统吸收 的热量为 12 TTCQ mVV 又由理想气体状态方程 111 RTVp 得 1 11 RT Vp 将其带入上述热量表达式 再考虑到氮气为双原子分子 25 RC mV 可得 J 2 692 300400 2 5 300 0082 010013 1 2 5 5 1