中考几何题中的新定义型题集锦.doc

中考几何题中的新定义型题集锦在近年的中考试题中，涌现出了许多创意新颖、情境熟悉的几何新定义型试题，为了便于同学们了解掌握这方面的信息，现从近年的中考试题中精选数例，供同学们参考与借鉴。一、定义一种新的几何体例1（2001年泰州市）我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，如图1，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体。（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）A. 两个球体B. 两个圆锥体C. 两个圆柱体D. 两个长方体（2）请猜想出相似体的主要性质：相似体的一切对应线段（或弧长）的比等于_；相似体表面积的比等于_；相似体体积的比等于_。（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1m，体重为18kg，到了初三，身高为1.65m，问他的体重为多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）解：（1）由相似体的定义可知，应选A。（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方。（3）设初三时体重为x kg，则由题意，得，解之，得故到了初三时，他的体重约为60.75kg。二、定义一种新的规则例2 （2003年安徽省）如图2，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”，在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。设等腰三角形的底和腰分别为a、b，底角和顶角分别为、，要求“正度”的值是非负数。同学甲认为：可用式子来表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。同学乙认为：可用式子来表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近于正三角形。探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么？（2）对你认为不合理的方案，请加以改进（给出式子即可）。（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式。解：（1）乙同学的方案较为合理。因为的值越小，与越接近，因而该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等。同学甲的方案不合理。因为不能保证相似三角形的“正度”相等。如：边长为4、4、2和边长为8、8.4的两个等腰三角形相似，但。（2）对同学甲的方案可改用、等（k为正数）来表示“正度”。（3）还可以用、等来表示“正度”。说明：（2）、（3）的答案不惟一，只要符合要求的均可。三、定义一种新的线段例3（2003年安徽省附加题）如图3，在五边形中，是对边的中点，连结，我们称是这个五边形的一条中对线，如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分。求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行。证明：如图3，取的中点，连结、。因为，所以。又因为四边形与四边形的面积相等，所以同理，所以，所以与的边上的高相等，所以。同理可证：，。例4（2007年连云港市）如图4（1），点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB=BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线。（1）研究小组猜想：在ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图4（2），则直线CD是ABC的黄金分割线。你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DFCE，交AC于点F，连结EF，如图4（3），则直线EF也是ABC的黄金分割线。请你说明理由。（4）如图4（4），点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EFAD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线，请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边的黄金分割点。解：（1）直线CD是ABC的黄金分割线，理由如下：设AB边上的高为h，则由AD：AB=DB：AD，得，即，由黄金分割线的定义知：CD是ABC的黄金分割线。（2）三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线。（3）证明：设DC与EF的交点为O。因为DFCE，所以，所以，。因为，所以，所以直线EF是ABC的黄金分割线。（4）画法不唯一，如：画法1 如图5（1）取EF的中点G，过点G作一条直线分别交AB、DC于M、N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线。画法2 在DF上取一点N，连结EN，过点F作FMEN交AB于点M，连结MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线，如图5（2）。四、定义一种新的点例5（2006年安徽省实验区）如图6，凸四边形ABCD，如果点P满足APD=APB=，且BPC=CPD=，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点。（1）在图8的正方形ABCD内画一个半等角点，且满足。（2）在图9的四边形ABCD中画一个半等角点，保留画图痕迹（不需写出画法）。（3）若四边形ABCD有两个半等角点、（如图7），证明线段上任意一点也是它的半等角点。解：（1）如图8，连接AC，在AC上（点A、C、AC的中点除外）任取一点P，连结PB、PD，则点P为正方形ABCD的一个半等角点。（2）如图9所示。（3）连结；、和、，则由题意，得=，故，所以，所以在上，同理在上，所以A、C在同一条直线上。在和中，因为，为公共边，所以，所以，于是B、D关于AC对称，设P是上任一点，连结DP、BP，则由对称性知DPA=BPA，DPC=BPC，所以点P是四边形ABCD的一个半等角点。例6（2007年宁波市）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两端点的距离相等，则称这个点为这个四边形的准等距点，如图10（1），点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PAPC，则点P为四边形ABCD的准等距点。（1）如图10（2），画出菱形ABCD的一个准等距点；（2）如图10（3），作出四边形ABCD的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图10（4），在四边形ABCD中，P是AC上的点，PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且CDF=CBE，CE=CF，求证：点P是四边形ABCD的准等距点；（4）试研究四边形的准等距点个数的情况（说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明）。解：（1）如图10（2）所示，点P即为所求（答案不唯一，点P不能画在AC的中点上）。（2）如图10（3）所示，点P即为所求作的点（答案不唯一）。（3）证明：如图10（4），连结DB。因为DCFBCD（AAS），所以CD=CB，所以CDB=CBD，故PDB、PBD，所以PD=PB。因为PAPC，所以点P是四边形ABCD的准等距点。（4）当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一条对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；当四边形的对角线既不垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；当四边形的对角线既不垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；当四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一条对角线时，准等距点有无数个（注意点P不能画在对角线的中点上）。五、定义一种新的三角形例7 （2005年天津市）在ABC中，A、B、C所对的边分别用a、b、c表示。（I）如图11，在ABC中，A=2B，且B=，求证；（II）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”，本题第（I）问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对任意的倍角三角形ABC，其中A=2B，如图12，关系式是否仍然成立？并证明你的结论；（III）试求出一个倍角三角形的三条边长，使这三条边长恰好为三个连续的正整数。（I）证明：因为A=，A=2B，所以C=，所以在RtABC中，于是，所以。（II）关系式仍然成立。证明：如图12，延长BA到D，使AD=AC，连结CD，则ACD为等腰三角形。所以BAC=2D，因为BAC=2B，所以D=B，所以BC=CD。因为D为ACD与CBD的公共角，所以ACDCBD，所以AD：CD=CD：BD，即，所以。（III）解：若ABC是倍角三角形，由A=2B，知，且，当时，设，（n为大于1的整数）代入，得，解之得。故，可以证明这个三角形中，A=2B。当及时，均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形，所以边长为4、5、6的三角形为所求。六、定义一种新的矩形例8（2005年资阳市）阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图13所示，矩形ABEF即为ABC的“友好矩形”，显然，当ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个。（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”。（2）如图14，若ABC为直角三角形，且C=，在图14中，画出ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；（3）若ABC是锐角三角形，且BCACAB，在图15中画出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形，并加以证明。解：（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上 ，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”。（2）此时共有两个“友好矩形”，如图14所示的矩形BCAE和矩形ABFM，易知矩形BCAE、ABFM的面积都等于ABC面积的2倍，所以ABC的“友好矩形”的面积相等。（3）此时共有三个“友好矩形”，如图15所示的BCDE、CAFG及ABHK，其中矩形ABHK的周长最小，证明如下：易知这三个矩形的面积相等，令其为S，矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为、，ABC的边长，则，。因为，而，所以，即，同理可证，所以最小，即矩形的周长最小。七、定义一种新的四边形例9（2006年北京市）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时，这对角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。解：（1）答案不唯一。如正方形、矩形或等腰梯形、矩形等。（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角时，这对角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长。已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=BD，且AOD=。求证：BC+AD。证明：过点D作DEAC，连结CE、BE，则EDO=，四边形ACED是平行四边形，所以BDE是等边三角形，故，DE=BE=AC。当BC与CE不共线时，如图16，在BCE中，有BC+CE，所以。当BC与CE共线时，如图17，则，即。综合、，得。故所得结论成立。例10（2007年北京市课标卷）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称。（2）如图18，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于点O，若A=，DCB=EBC=A/2。请写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC中，如果A是不等于的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且DCB=EBC=A/2，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。解：（1）答案不唯一，如正方形、矩形、菱形、等腰梯形等。（2）与A相等的角是BOD（或COE），四边形DBCE是等对边四边形。（3）如图19，四边形DBCE是等对边四边形，证明如下：如图19，作CGBE于G，作BFCD交CD的延长线于F点。因为DCB=EBC，BC为公共边，所以BFCCGE，所以BF=CE，因为BDF=DBE+EBC+DCB=A+DBE=BEC，所以RtDFBRtEGC，所以BD=CE，故四边形DBCE是等对边四边形。八、定义一种新的相似形例11（2005年嘉兴市）某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质可以拓展到扇形的相似中去。例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方请你协助他们探索这个问题。（1）写出判定扇形相似的一种方法：若_，则两个扇形相似