河北省邯郸市高考数学一模试卷 理（含解析）.doc

河北省邯郸市2015届高考 数学一模试卷（理科）一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分1已知复数z=+i，则z=( )a1b1cd2已知集合a=x|1x1，b=x|x2x20则图中阴影部分所表示的集合为( )a（1，0b1，2）c1，2）d（1，23命题“xr，tanx1”的否定是( )axr，tanx1bxr，tanx=1cxr，tanx1dxr，tanx=14已知点a，b是双曲线=1的顶点，p为双曲线上除顶点外的一点，记kpa，kpb分别表示直线pa，pb的斜率，若kpakpb=，则该双曲线的离心率为( )a3b2cd5执行如图的程序框图，若输入的x为6，则输出的y的值为( )a6b4c3d2.56函数f（x）=asin（x+），（0）的部分图象如图所示，则( )aa=2，=ba=2，=ca=2，=da=2，=7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )abcd8已知锐角满足sin+cos=，则tan（）=( )abcd9已知点a是半径为1的o外一点，且ao=2，若m，n是o一条直径的两个端点，则=( )a1b2c3d410已知a、b、c、d是实数，e是自然对数的底数，且eb=2a1，d=2c+3，则（ac）2+（bd）2的最小值为( )a4b5c6d711已知三棱锥pabc的四个顶点都在球o的球面上，若pa=ab=2，ac=1，bac=120，且pa平面abc，则球o的表面积为( )abc12d1512设函数f（x）=，若对任意给定的t（1，+），都存在唯一的xr，满足f（f（x）=2at2+at，则正实数a的最小值是( )a1bcd二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分13（x+1）（x1）3展开式中含x3项的系数为_（用数字表示）14公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的，设男子身高x服从正态分布n（170，72）（单位：cm），参考以下概率p（x+）=0.6826，p（2x+2）=0.9544，p（3x+3）=0.9974，则车门的高度（单位：cm）至少应设计为_15已知抛物线c：y2=2px（p0）的焦点为f，准线为l，过f倾斜角为60的直线交c于a，b两点，am了，bnl，m，n为垂足，点q是mn的中点，|qf|=2，则p=_16已知，a，b，c分别是abc三个内角a，b，c的对边，下列四个命题：若tana+tanb+tanc0，则abc是锐角三角形若acoa=bcosb，则abc是等腰三角形若bcosc+ccosb=b，则abc是等腰三角形若=，则abc是等边三角形其中正确命题的序号是_三、解答题17设an是公差不为零的等差数列，sn为其前n项和，a22+a23=a28+a23，s7=7（）求an的通项公式（）若1+2log2bn=an+3（nn*），求数列anbn的前n项和tn18为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施，为做好此项工作，某市交支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录：组名尾号频数频率第一组0、1、42000.2第二组3、62500.25第三组2、5、7ab第四组8、9e0.3由于某些数据缺失，表中以英文字母作标记，请根据图表提供的信息计算：（）若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽取20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从一、二、三、四组中各抽取多少辆？（）以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品，用表示车尾号在第二组的汽车数目，求的分布列和数学期望19如图，三棱柱abca1b1c1中，acb=90，ac=bc=cc1=2，a1bb1c（）证明：a1c1cc1（）若a1b=2，在棱cc1上是否存在点e，使得二面角eab1c的大小为30若存在，求ce的长，若不存在，说明理由20已知圆m：（x+）2+y2=16，点n（，0），点p是圆上任意一点，线段np的垂直平分线mp于点q，设动点q的轨迹为c（）求c的方程（）设直线l：y=kx+m与轨迹c交于g，h两点，o为坐标原点，若goh的重心恰好在圆x2+y2=上，求m的取值范围21已知函数f（x）=，g（x）=ex2（）求函数r（x）=x+x2f（x）2在区间（0，+）上的最小值（）是否存在实数k，使得对x（0，e，f（x）k（x1）g（x）？若存在，求出所有满足条件的k，若不存在，说明理由四、请考生从22、23、24三题中任选一题作答选修4-1：几何证明选讲22如图，o的半径ob垂直于直径ac，m为ao上一点，bm的延长线交o于n，过n点的切线交ca的延长线于p（）求证：pm2=papc；（）若o的半径为2，oa=om，求mn的长选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆c的参数方程为（是参数），直线l的极坐标方程为（r）（）求c的普通方程与极坐标方程；（）设直线l与圆c相交于a，b两点，求|ab|的值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x1|+|x3|+|xa|（）当a=1时，求不等式f（x）4的解集；（）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值河北省邯郸市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分1已知复数z=+i，则z=( )a1b1cd考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由z得到，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解解答：解：z=+i，则z=故选：b点评：本题考查的知识点是复数的计算，难度不大，属于基础题2已知集合a=x|1x1，b=x|x2x20则图中阴影部分所表示的集合为( )a（1，0b1，2）c1，2）d（1，2考点：venn图表达集合的关系及运算 专题：集合分析：由图象可知阴影部分对应的集合为b（ua），然后根据集合的基本运算即可解答：解：b=x|x2x20=x|1x2，由图象可知阴影部分对应的集合为b（ua），ua=x|x1或x1，b（ua）=x|1x2故选：c点评：本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础3命题“xr，tanx1”的否定是( )axr，tanx1bxr，tanx=1cxr，tanx1dxr，tanx=1考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为xr，tanx=1，故选：d点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础4已知点a，b是双曲线=1的顶点，p为双曲线上除顶点外的一点，记kpa，kpb分别表示直线pa，pb的斜率，若kpakpb=，则该双曲线的离心率为( )a3b2cd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据题意得a（a，0），b（a， 0）设p（m，n），利用直线的斜率公式算出kpakpb=由点p是双曲线上的点，坐标代入双曲线方程化简整理得n2=，从而得出kpakpb=，由此得到a、c的关系式，从而解出双曲线的离心率e的值解答：解：由题意，可得a（a，0），b（a，0），设p（m，n）kpakpb=点p是双曲线上的点，可得，化简整理得n2=kpakpb=kpakpb=，=，可得e=故选：c点评：本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率着重考查了直线的斜率公式、双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题5执行如图的程序框图，若输入的x为6，则输出的y的值为( )a6b4c3d2.5考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=3，y=2.5时，满足条件|yx|1，退出循环，输出y的值为2.5解答：解：模拟执行程序框图，可得x=6，y=4，不满足条件|yx|1，x=4，y=3不满足条件|yx|1，x=3，y=2.5满足条件|yx|1，退出循环，输出y的值为2.5故选：d点评：本题主要考查了程序框图和算法，依次正确写出每次循环得到的x，y的值是解题的关键，属于基本知识的考查6函数f（x）=asin（x+），（0）的部分图象如图所示，则( )aa=2，=ba=2，=ca=2，=da=2，=考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：由函数的最值求得a，根据特殊点的坐标求出的值，可得结论解答：解：由函数f（x）=asin（x+），（0）的部分图象可得a=2，再把（0，）代入，可得2sin=，即sin=，=，故选：a点评：本题主要考查由函数y=asin（x+）的部分图象求解析式，由函数的最值求得a，根据特殊点的坐标求出的值，属于基础题7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )abcd考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据三视图得出该几何体是圆锥的，三棱锥，高为，r=1，运用给出的数据，计算答案即可解答：解；某几何体的三视图如图得出该几何体是圆锥的，三棱锥，高为，r=1，底面积为：12=，=，故选：a点评：本题考查了运用三视图恢复空间几何体的能力，三棱锥，圆锥的体积公式，属于中档题8已知锐角满足sin+cos=，则tan（）=( )abcd考点：两角和与差的正切函数；两角和与差的余弦函数 专题：三角函数的求值分析：由两角和与差的三角函数公式可得sin（），再由同角三角函数的基本关系可得cos（），相除可得答案解答：解：锐角满足sin+cos=，sin+cos=，sin（）=，0，cos（）=，tan（）=故选：b点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题9已知点a是半径为1的o外一点，且ao=2，若m，n是o一条直径的两个端点，则=( )a1b2c3d4考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：先由题意画出图象，利用向量的加法法则得：=、=，由向量的数量积运算和条件求出的值解答：解：如右图：0a=2，om=on=1，=，=，=（）（）=+=+=4+01=3，故选：c点评：本题考查向量的数量积运算，以及向量的加法法则，属于中档题10已知a、b、c、d是实数，e是自然对数的底数，且eb=2a1，d=2c+3，则（ac）2+（bd）2的最小值为( )a4b5c6d7考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式 专题：导数的概念及应用分析：由题意可得点（a，b）在y=ln（2x1）图象上，点（c，d）在直线y=2x+3上，平移直线y=2x+3到与y=ln（2x1）相切，切点到直线y=2x+3距离的平方即为所求解答：解：由题意可得点（a，b）在ey=2x1即函数y=ln（2x1）图象上，同理可得点（c，d）在直线y=2x+3上，对y=ln（2x1）求导数可得y=，令=2可解得x=1，代入y=ln（2x1）可得y=0，曲线y=ln（2x1）上的点（1，0）到直线y=2x+3的距离为=（ac）2+（bd）2的最小值为（）2=5故选：b点评：本题考查函和导数，涉及转化的思想和距离公式的几何意义，属中档题11已知三棱锥pabc的四个顶点都在球o的球面上，若pa=ab=2，ac=1，bac=120，且pa平面abc，则球o的表面积为( )abc12d15考点：球的体积和表面积；球内接多面体 专题：空间位置关系与距离；球分析：求出bc，可得abc外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积解答：解：ab=2，ac=1，bac=120，bc=，三角形abc的外接圆直径2r=，r=，pa面abc，pa=2，由于三角形opa为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径r=，该三棱锥的外接球的表面积为s=4r2=4（）2=故选：a点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键12设函数f（x）=，若对任意给定的t（1，+），都存在唯一的xr，满足f（f（x）=2at2+at，则正实数a的最小值是( )a1bcd考点：函数的最值及其几何意义 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由题意讨论可得f（f（x）=；从而可知f（f（x）1，即2at2+at1对任意t（1，+）恒成立，从而解得解答：解：f（x）=，当x0时，f（f（x）=x；当0x1时，log2x0；故f（f（x）=x；当x1时，f（f（x）=log2（log2x）；故f（f（x）=；分析函数在各段上的取值范围可知，若对任意给定的t（1，+），都存在唯一的xr，满足f（f（x）=2at2+at，则f（f（x）1，即2at2+at1，又t（1，+），a0；2a+a1即可，即a；故选：c点评：本题考查了分段函数的化简及复合函数的应用，同时考查了函数的最值问题，属于中档题二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分13（x+1）（x1）3展开式中含x3项的系数为2（用数字表示）考点：二项式系数的性质 专题：计算题；二项式定理分析：把（x1）3 按照二项式定理展开，可得（x+1）（x1）3展开式中含x3项的系数解答：解：（x+1）（x1）3=（x+1）（x33x2+3x1），故展开式中含x3 的项的系数为3+1=2，故答案为：2点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题14公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的，设男子身高x服从正态分布n（170，72）（单位：cm），参考以下概率p（x+）=0.6826，p（2x+2）=0.9544，p（3x+3）=0.9974，则车门的高度（单位：cm）至少应设计为184cm考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：应用题；概率与统计分析：利用利用p（2x+2）=0.9544，男子身高x服从正态分布n（170，72），结合公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的，可得结论解答：解：公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的，利用p（2x+2）=0.9544，男子身高x服从正态分布n（170，72）（单位：cm），可得车门的高度（单位：cm）至少应设计为170+27=184cm故答案为：184cm点评：本题考查利用概率知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题15已知抛物线c：y2=2px（p0）的焦点为f，准线为l，过f倾斜角为60的直线交c于a，b两点，am了， bnl，m，n为垂足，点q是mn的中点，|qf|=2，则p=考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意画出图形，由|qf|=2求出|ab|的长度，联立过焦点的直线方程与抛物线方程，由弦长公式求出弦长，则p的值可求解答：解：如图，由抛物线的几何性质可得，以ab为直径的圆与准线l相切，且切点为q，mfn是以mfn为直角的直角三角形，则|mn|=2|qf|=4，即|bd|=4，|ab|=，设a（x1，y1），b（x2，y2），联立，得12x220px+3p=0则，|ab|=，则p=故答案为：点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题16已知，a，b，c分别是abc三个内角a，b，c的对边，下列四个命题：若tana+tanb+tanc0，则abc是锐角三角形若acoa=bcosb，则abc是等腰三角形若bcosc+ccosb=b，则abc是等腰三角形若=，则abc是等边三角形其中正确命题的序号是考点：命题的真假判断与应用；正弦定理的应用 专题：简易逻辑分析：利用两角和的正切函数判断的正误；根据正弦定理及二倍角公式，判断三角形形状，可判断的正误；解答：解：对于，tana+tanb=tan（a+b）（1tanatanb），tana+tanb+tanc=tan（a+b）（1tanatanb）+tanc=tanatanbtanc0，a，b，c是abc的内角，故内角都是锐角，故正确；对于，若acoa=bcosb，则sinacosa=sinbcosb，则2sinacosa=2sinbcosb，则sin2a=sin2b，则a=b，或a+b=90，即abc是等腰三角形或直角三角形，故错误对于，若bcosc+ccosb=b，sinbcosc+sinccosb=sin（b+c）=sina=sinb，即a=b，则abc是等腰三角形，故正确；对于，若=，则，即tana=tanb=tanc，即a=b=c，即abc是等边三角形，故正确；故答案为：点评：本题考查两角和的正切公式以及三角函数的符号，三角函数的图象与性质的应用，正弦定理等知识点，考查学生训练运用公式熟练变形的能力三、解答题17设an是公差不为零的等差数列，sn为其前n项和，a22+a23=a28+a23，s7=7（）求an的通项公式（）若1+2log2bn=an+3（nn*），求数列anbn的前n项和tn考点：数列的求和；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（i）设等差数列an的公差为d0，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（ii）1+2log2bn=an+3（nn*），可得1+2log2bn=2n1，anbn=（2n7）2n1，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出解答：解：（i）设等差数列an的公差为d0，a22+a23=a28+a23，（a4a2）（a4+a2）=（a3+a5）（a3a5），化为2d2a3=2d2a4，d0，a3=a4s7=7，s7=7a4=7，解得a4=1，a3=1，d=2an=a4+（n4）2=2n7（）1+2log2bn=an+3（nn*），1+2log2bn=2n1，anbn=（2n7）2n1，数列anbn的前n项和tn=5132122+123+（2n7）2n1，2tn=52322123+124+（2n7）2n，tn=5+2（2+22+2n1）（2n7）2n=5+（2n7）2n=5+2n+14（2n7）2n，tn=（2n9）2n+9点评：本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施，为做好此项工作，某市交支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录：组名尾号频数频率第一组0、1、42000.2第二组3、62500.25第三组2、5、7ab第四组8、9e0.3由于某些数据缺失，表中以英文字母作标记，请根据图表提供的信息计算：（）若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽取20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从一、二、三、四组中各抽取多少辆？（）以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品，用表示车尾号在第二组的汽车数目，求的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（）利用概率和为1，求出b，通过抽样比求解a，c，然后求解从一、二、三、四组中各抽取辆数（）通过超几何分布，求出概率，得到的分布列和数学期望解答：解（）根据频率定义，0.2+0.25+b+0.3=1，解得b=0.25；200：0.2=a：0.25，解得a=250，200：0.2=c：0.3，c=300，第一、二、三、四组应抽取的汽车分别为4辆、5辆、5辆、6辆（）在此路口随机抽取一辆汽车，该辆车的车尾号在第二组的概率为由题意知b（4，），则p（=k）=，k=0，1，2，3，4的分布列为：01234pe=4=1点评：本题考查超几何分布的概率以及分布列的求法，期望的求法，考查计算能力19如图，三棱柱abca1b1c1中，acb=90，ac=bc=cc1=2，a1bb1c（）证明：a1c1cc1（）若a1b=2，在棱cc1上是否存在点e，使得二面角eab1c的大小为30若存在，求ce的长，若不存在，说明理由考点：二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）根据线面垂直的性质证明a1c1平面cbb1c1 即可证明：a1c1cc1（）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可解答：（）证明：连接bc1bcc1b1为平行四边形，且bc=cc1=2，bcc1b1为菱形，bc1b1c 又a1bb1c，b1c平面a1c1bb1ca1c1，又accb，a1c1c1b1a1c1平面cbb1c1a1c1cc1，（）a1b=2，a1c1=2，bc1=2，cc1bcac，cb，cc1两两垂直以c为坐标原点，ca的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系cxyz，如图所示，则c（0，0，0），a（2，0，0），b1（0，2，2），c1（0，0，2），b（0，2，0），设e（0，0，a），则=（2，0，a），=（2，2，2），=（0，2，2），易知，bc1平面ab1c，则平面ab1c的一个法向量=（0，1，1）设=（x，y，1）是平面ab1e的一个法向量则，得=（，1，1）则|cos，|=，解得：a=1，在棱cc1上存在点e，当ce=1时，得二面角eab1c的大小为30点评：本题主要考查空间直线垂直的证明以及空间二面角的大小的求解，利用坐标系结合向量法是解决本题的关键20已知圆m：（x+）2+y2=16，点n（，0），点p是圆上任意一点，线段np的垂直平分线mp于点q，设动点q的轨迹为c（）求c的方程（）设直线l：y=kx+m与轨迹c交于g，h两点，o为坐标原点，若goh的重心恰好在圆x2+y2=上，求m的取值范围考点：直线和圆的方程的应用 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）如图，通过|qp|=|qn|，|mq|+|qn|=|mp|=4，可知点q的轨迹是以m、n为焦点，长轴长等于4的椭圆，即得椭圆c的方程；（）设点g（x1，y1），h（x2，y2），联立直线l与椭圆c的方程，由韦达定理得x1+x2，从而可得y1+y2，及goh的重心的坐标并将其代入圆的方程，通过计算得1+4k2（k0），利用不等式即得实数m的取值范围解答：解：（）如图，|qp|=|qn|，|mq|+|qn|=|mp|=4，故点q的轨迹是以m、n为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以椭圆c的方程为；（）设点g（x1，y1），h（x2，y2），方程联立 得，（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，由韦达定理，得x1+x2=，所以y1+y2=，所以goh的重心的坐标为（，），2+2=，整理得： 依题意=（8mk）216（m21）（1+4k2）=16（1+4k2m2）0，得m21+4k2 由、易得k0，设t=1+16k2 （t1），则，所以m2=，当且仅当t=3取等号，所以实数m的取值范围是点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查韦达定理、基本不等式、直线与圆的位置关系，解题时要认真审题，注意积累解题方法，属于中档题21已知函数f（x）=，g（x）=ex2（）求函数r（x）=x+x2f（x）2在区间（0，+）上的最小值（）是否存在实数k，使得对x（0，e，f（x）k（x1）g（x）？若存在，求出所有满足条件的k，若不存在，说明理由考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算 专题：导数的综合应用分析：（）由已知求得r（x），再对r（x）求导得到其单调区间，由单调性求得其在（0，+）上的最小值；（）由（）得lnxx1，可得然后讨论在（0，e上恒成立时k的取值构造函数h（x）=ex2x+1，利用导数求得在（0，e上h（x）min=h（2）=0，即h（x）=ex2x+10，得到ex2x1可得当（0，e时，对于k（x1）g（x），在k=1时成立由此可得存在唯一的k=1，使结论成立解答：解：（）由得r（x）=x1lnx，当0x1时，r（x）0，当x1时，r（x）0r（x）在区间（0，1）内单调递减，在（1，+）内单调递增rmin=r（1）=0；（）由（）得lnxx1，讨论在（0，e上恒成立时k的取值当1xe时，由，得恒成立，在（1，e上单调递减，又恒成立，k1；当0x1时，由，得恒成立，在（0，1）上单调递减，又恒成立，k1；当x=1时，无论k取何值都恒成立，由可得k=1由恒成立可得k=1设h（x）=ex2x+1，则h（x）=ex21，令h（x）=ex21=0，解得x=2当x（0，2）时，h（x）0，当x（2，e时，h（x）0，在（0，e上h（x）min=h（2）=0，即h（x）=ex2x+10，ex2x1当（0，e时，对于k（x1）g（x），在k=1时成立综上所述，存在唯一的k=1使结论成立点评：本题考查利用导数求闭区间上的最值，考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，属难题四、请考生从22、23、24三题中任选一题作答选修4-1：几何证明选讲22如图，o的半径ob垂直于直径ac，m为ao上一点，bm的延长线交o于n，过n点的切线交ca的延长线于p（）求证：pm2=papc；（）若o的半径为2，oa=om，求mn的长考点：与圆有关的比例线段 专题：计算