最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第十二章概率与统计 (2).pdf

第十二章第十二章概率与统计 12 2 古典概型与几何概型古典概型与几何概型 专题 1 古典概型的概 率 2015江西南昌一模 古典概型的概率 填空题 理 13 将 a b c d 四封不同的信随机放入 A B C D4 个 不同的信封里 每个信封至少有一封信 其中 a 没有放入 A 中的概率是 解析 利用排列组合求出基本事件的个数 代入古典概型的概率公式求解 将四封不同的信随机放入四 个不同的信封中 每个信封至少有一封信的放法有 24种 其中信 a 放入 A 中的结果有 6 种 故A4 4 A3 3 信 a没有放入 A 中 的概率为 1 1 1 A3 3 A4 4 6 24 1 4 3 4 答案 3 4 专题 3 几何概型在不同测度中的 概率 2015河北石家庄一模 几何概型在不同测度中的概率 选择题 理 8 已知 O A B 三地在同一水平面 内 A 地在 O地正东方向 2 km 处 B 地在 O 地正北方向 2 km 处 某测绘队员在 A B之间的直线公路上 任选一点 C作为测绘点 用测绘仪进行测绘 O地为一磁场 距离其不超过 km的范围内会对测绘仪 3 等电子仪器形成干扰 使测量结果不准确 则该测绘队员能够得到准确数据的概率是 A B C 1 D 1 1 2 2 2 2 2 3 2 解析 以 O为原点建立平面直角坐标系 如图 测绘受磁场干扰的范围是以原点为圆心 半径为的圆 3 及其内部区域 其方程为 x2 y2 3 测绘点 C所在的轨迹方程为 x y 2 0 x 2 因此测绘员获得数据 不准确的概率为线段 AB 在圆内的长度与线段 AB长度的比值 因为线段 AB 的长度为 2 而 O 到线 2 段 AB 的距离为 d 圆 O 截线段 AB 所得的弦的长度为 2 2 所以测绘员获得准 2 2 2 3 2 2 2 确数据的概率为 1 故选 C 2 2 答案 C 2015江西南昌二模 几何概型在不同测度中的概率 填空题 理 14 若在圆 C x2 y2 4 内任取一点 P x y 则满足的概率是 2 解析 不等式组表示的区域的面积为 2 1 x2 dx 2 所以其概率为 2 1 0 1 3 3 1 0 4 3 4 3 4 1 3 答案 1 3 2015河北保定一模 几何概型在不同测度中的概率 选择题 理 5 在边长为 4 的正方形 ABCD 内任 取一点 M 则 AMB 90 的概率为 A B 1 C D 1 8 8 4 4 解析 如图正方形的边长为 4 图中白色区域是以 AB 为直径的半圆 当 M 落在半圆内时 AMB 90 所以使 AMB 90 的概率 P 故选 A 半圆 正方形 1 2 2 2 16 8 答案 A 2015河北石家庄二中一模 几何概型在不同测度中的概率 选择题 理 8 若从 0 e 内随机取两个数 则这两个数之积不小于 e的概率为 A 1 B 1 C D 1 e 2 e 1 e 2 e 解析 设这两个数为 x y 则所有基本事件应满足满足两个数之积不小于 e 的区域为 0 0 则其面积为dx ex elnx e2 2e 所以所求概率为 1 故选 B 0 0 e e1 e e e1 e2 2e e2 2 e 答案 B 2015江西九校高三联考 几何概型在不同测度中的概率 选择题 理 9 已知 P 是 ABC 所在平面内 一点 4 5 3 0 现将一粒红豆随机撒在 ABC 内 则红豆落在 PBC 内的概率是 A B C D 1 4 1 3 5 12 1 2 解析 依题意 易知点 P位于 ABC 内 作 4 5 3 则有 0 点 P 1 1 1 1 1 1 是 A1B1C1的重心 而 S PBC S PCA 1 1 1 1 1 1 1 4 1 5 1 1 1 3 1 5 1 1 S PAB 因此 S PBC S PCA S PAB 3 4 5 即 即 1 3 1 4 1 1 3 3 4 5 1 4 红豆落在 PBC 内的概率等于 故选 A 1 4 答案 A 12 4 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 专题 2 离散型随机变量的均值与 方差 2015河北保定一模 离散型随机变量的均值与方差 解答题 理 18 小明参加某项资格测试 现有 10 道题 其中 6道客观题 4道主观题 小明需从 10道题中任取 3 道题作答 1 求小明至少取到 1道主观题的概率 2 若所取的 3 道题中有 2道客观题 1 道主观题 设小明答对每道客观题的概率都是 答对每道主观 3 5 题的概率都是 且各题答对与否相互独立 设 X 表示小明答对题的个数 求 X的分布列和数学期望 4 5 解 1 设事件 A 小明所取的 3 道题至少有 1 道主观题 则有 小明所取的 3 道题都是客观题 因为 P A 所以 P A 1 P C1 6 C 3 10 1 6 5 6 2 X 所有的可能取值为 0 1 2 3 P X 0 2 5 2 1 5 4 125 P X 1 C1 2 3 5 1 2 5 1 1 5 2 5 2 4 5 28 125 P X 2 3 5 2 1 5 C1 2 3 5 1 2 5 1 4 5 57 125 P X 3 3 5 2 4 5 36 125 X 的分布列为 X0123 P 4 125 28 125 57 125 36 125 所以 EX 0 1 2 3 2 4 125 28 125 57 125 36 125 2015河北石家庄二中一模 离散型随机变量的均值与方差 解答题 理 18 在一次考试中 5 名同学的 数学 物理成绩如下表所示 学生A B C D E 数学 x 分 8991939597 物理 y 分 8789899293 1 根据表中数据 求物理分 y 对数学分 x 的回归方程 2 要从 4 名数学成绩在 90分以上的同学中选出 2 名参加一项活动 以 X 表示选中的同学中物理成绩 高于 90分的人数 求随机变量 X 的分布列及数学期望 E X 附 回归方程 b 中 1 1 2 解 1 93 89 91 93 95 97 5 90 87 89 89 92 93 5 xi 2 4 2 2 2 02 22 42 40 5 1 x xi yi 4 3 2 1 0 1 2 2 4 3 30 5 i 1 0 75 20 25 30 40 物理分 y对数学分 x的回归方程为 0 75x 20 25 2 随机变量 X 的所有可能取值为 0 1 2 P X 0 P X 1 C2 2 C2 4 1 6 C1 2C12 C2 4 2 3 P X 2 C2 2 C2 4 1 6 故 X 的分布列为 X012 P1 6 2 3 1 6 EX 0 1 2 1 1 6 2 3 1 6 2015河北衡水中学二模 离散型随机变量的均值与方差 解答题 理 18 某校为了解 2015 届高三毕业 班准备报考飞行员学生的身体素质 对他们的体重进行了测量 将所得的数据整理后 画出了频率分布 直方图 如图 已知图中从左到右前 3 个小组的频率之比为 1 2 4 其中第二小组的频数为 11 1 求该校报考飞行员的总人数 2 若以该学校的样本数据来估计全省的总体数据 从全省报考飞行员的学生中 人数很多 任选 3 人 设 X 表示体重超过 60 kg 的学生人数 求 X 的数学期望与方差 解 1 设该校报考飞行员的总人数为 n 前三个小组的频率为 P1 P2 P3 则 2 2 1 3 4 1 1 2 3 5 0 017 0 043 1 解得 1 1 10 2 1 5 3 2 5 由于 P2 故 n 55 1 5 11 2 由 1 知 一个报考学生的体重超过 60 公斤的概率为 P P3 5 0 017 0 043 7 10 由题意知 X 服从二项分布 即 X B 3 7 10 P X k k 0 1 2 3 C 3 7 10 3 10 3 EX 3 DX 3 7 10 21 10 7 10 3 10 63 100 2015江西九校高三联考 离散型随机变量的均值与方差 解答题 理 18 某旅游景点推出了自动购票 机 为了解游客买票情况及所需时间等情况 随机收集了该景点 100 位游客的相关数据 如表所示 将 频率视为概率 一次购票 1 张 2 张 3 张 4 张 5张以 上 游客人数x25 30 y10 所需时间 秒 人 30 35 40 45 50 已知这 100位游客中一次购票超过 2 张的游客占 55 1 求 x y的值 2 求游客一次购票所需时间 X 的分布列和数学期望 3 某游客去购票时 前面恰有 2 人在买票 求该游客购票前等候时间超过 1 5 分钟的概率 解 1 由题得 30 y 10 55 即 y 15 所以 x 20 2 X 的可能取值为 30 35 40 45 50 则 P X 30 P X 35 20 100 1 5 25 100 1 4 P X 40 P X 45 30 100 3 10 15 100 3 20 P X 50 10 100 1 10 则 X 的分布列为 X303540 45 50 P 1 5 1 4 3 10 3 20 1 10 即 X 的数学期望为 EX 30 35 40 45 50 38 5 1 5 1 4 3 10 3 20 1 10 3 记 A 为事件 该游客购票前等候时间超过 1 5 分钟 P A P x1 45 P x2 50 P x1 50 P x2 45 P x1 50 P x2 50 3 20 1 10 1 10 3 20 1 10 1 10 1 25 2015河北石家庄一模 离散型随机变量的均值与方差 解答题 理 18 集成电路 E 由 3 个不同的电子 元件组成 现由于元件老化 三个电子元件能正常工作的概率分别降为 且每个电子元件能否正常 1 2 1 2 2 3 工作相互独立 若三个电子元件中至少有 2 个正常工作 则 E 能正常工作 否则就需要维修 且维修集 成电路 E 所需费用为 100 元 1 求集成电路 E需要维修的概率 2 若某电子设备共由 2个集成电路 E 组成 设 X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用 求 X 的 分布列和期望 解 1 三个电子元件能正常工作分别记为事件 A B C 则 P A P B P C 1 2 1 2 2 3 依题意 集成电路 E 需要维修有两种情形 3个元件都不能正常工作 概率为 P1 P P P P 1 2 1 2 1 3 1 12 3个元件中的 2个不能正常工作 概率为 P2 P AC P A P P C 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 2 3 4 12 1 3 集成电路 E 需要维修的概率为 P1 P2 1 12 1 3 5 12 2 设 为维修集成电路的个数 则 B 而 X 100 P X 100k P k 2 5 12 C 2 5 12 7 12 2 k 0 1 2 X 的分布列为 X0100200 P 49 144 35 72 25 144 EX 0 100 200 49 144 35 72 25 144 250 3 或 100 100 2 5 12 250 3 2015河北唐山一模 离散型随机变量的均值与方差 解答题 理 18 小王在某社交网络的朋友圈中 向 在线的甲 乙 丙随机发放红包 每次发放 1 个 1 若小王发放 5元的红包 2 个 求甲恰得 1 个的概率 2 若小王发放 3个红包 其中 5 元的 2 个 10 元的 1 个 记乙所得红包的总钱数为 X 求 X 的分布列和 期望 解 1 设 甲恰得一个红包 为事件 A P A C1 2 1 3 2 3 4 9 2 X 的所有可能值为 0 5 10 15 20 P X 0 2 3 2 2 3 8 27 P X 5 C1 2 1 3 2 3 2 8 27 P X 10 1 3 2 2 3 2 3 2 1 3 6 27 P X 15 C1 2 1 3 2 2 3 4 27 P X 20 1 3 3 1 27 X 的分布列为 X0 5 10 15 20 P 8 27 8 27 6 27 4 27 1 27 EX 0 5 10 15 20 8 27 8 27 6 27 4 27 1 27 20 3 2015江西南昌一模 离散型随机变量的均值与方差 解答题 理 18 某市教育局为了了解高三学生体 育达标情况 对全市高三学生进行了体能测试 经分析 全市学生体能测试成绩 X 服从正态分布 N 80 2 满分为 100 分 已知 P X 75 0 3 P X 95 0 1 现从该市高三学生中随机抽取三位同学 1 求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间 80 85 85 95 95 100 各有一位同学的概率 2 记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间 75 85 的人数为 求随机变量 的分布列和数学期望 E 解 1 P 80 X 85 0 5 P X 75 0 2 P 85 X 95 0 3 0 1 0 2 所以所