最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第六章数列 (2).docx

第六章数列6.1数列的概念与表示专题2数列的通项公式(2015河北石家庄二中一模,数列的通项公式,填空题,理16)已知数列an满足a1=a,an+1=1+1an,若对任意的自然数n4,恒有32an2,则a的取值范围为.解析:因为32an2(n4),所以121an23,所以321+1an532,所以当n4时,只需满足32an2即可满足32an2.又因为a1=a,所以a2=1+1a,a3=1+1a2=2a+1a+1,a4=1+1a3=3a+22a+1,所以323a+22a+10.答案:(0,+)(2015江西南昌二模,数列的通项公式,选择题,理12)已知数列an满足a1=1,|an-an-1|=13n(nN,n2),且a2n-1是递减数列,a2n是递增数列,则12a10=()A.6-1310B.6-139C.11-1310D.11-139解析:由于a2n-1是递减数列,因而a2n+1-a2n-10,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)0.因为132n+1132n,所以|a2n+1-a2n|a2n-a2n-1|.由知a2n-a2n-10,a2n+2-a2n+1+a2n+1-a2n0,|a2n+2-a2n+1|0,所以a10=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a10-a9)=1-132+133-1310=1+-1321-1391+13=11211-139,故选D.答案:D6.2等差数列及其前n项和专题2等差数列的性质(2015江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学高三联考,等差数列的性质,选择题,理8)定义:在数列an中,若满足an+2an+1-an+1an=d(nN*,d为常数),称an为“等差比数列”.已知在“等差比数列”an中,a1=a2=1,a3=3,则a2015a2013=()A.42 0152-1B.42 0142-1C.42 0132-1D.42 0132解析:数列an+1an是以a2a1=1为首项、以a3a2-a2a1=2为公差的等差数列,于是有an+1an=1+2(n-1)=2n-1,a2015a2014=22014-1=4027,a2014a2013=22013-1=4025,a2015a2014a2014a2013=40254027=40262-1,即a2015a2013=420132-1,故选C.答案:C专题3等差数列前n项和公式与最值(2015河北保定一模,等差数列前n项和公式与最值,选择题,理12)设等差数列an满足a1=1,an0(nN*),其前n项和为Sn,若数列Sn也为等差数列,则Sn+10an2的最大值是()A.310B.212C.180D.121解析:因为等差数列an满足a1=1,an0(nN*),设公差为d,则an=1+(n-1)d,其前n项和为Sn=n1+1+(n-1)d2,所以Sn=n2+(n-1)d2,S1=1,S2=2+d,S3=3+3d.因为数列Sn也为等差数列,所以2S2=S1+S3,即22+d=1+3+3d,解得d=2,Sn=n2,所以Sn+10=(n+10)2,an2=(2n-1)2,所以Sn+10an2=n+102n-12=12+214n-22.由于12+214n-22为单调递减数列,所以Sn+10an2S11a12=112=121,故选D.答案:D(2015河北石家庄高三质检二,等差数列前n项和公式与最值,选择题,理6)已知等差数列an中,a1 007=4,S2 014=2 014,则S2 015=()A.-2 015B.2 015C.-4 030D.4 030解析:利用等差数列的性质和求和公式求解,因为an是等差数列,所以S2014=1007(a1+a2014)=1007(a1007+a1008)=2014,则a1007+a1008=2,又a1007=4,所以a1008=-2,则S2015=2015(a1+a2015)2=2015a1008=-4030,故选C.答案:C(2015江西南昌二模,等差数列前n项和公式与最值,选择题,理6)已知an是等差数列,a3=5,a9=17,数列bn的前n项和Sn=3n,若am=b1+b4,则正整数m等于()A.29B.28C.27D.26解析:因为an是等差数列,a9=17,a3=5,所以6d=17-5,得d=2,an=2n-1.又因为Sn=3n,所以当n=1时,b1=3,当n2时,Sn-1=3n-1,bn=3n-3n-1=23n-1,由am=b1+b4,得2m-1=3+54,得m=29,故选A.答案:A(2015江西赣州高三摸底考试,等差数列前n项和公式与最值,选择题,理8)设an是公差不为零的等差数列,满足a42+a52=a62+a72,则该数列的前10项和等于()A.-10B.-5C.0D.5解析:由题设得(a1+3d)2+(a1+4d)2=(a1+5d)2+(a1+6d)2,整理得2a1d+9d2=0.又d0,所以2a1+9d=0,所以S10=10(a1+a10)2=10(2a1+9d)2=0,故选C.答案:C6.3等比数列及其前n项和专题1等比数列的概念与运算(2015江西南昌一模,等比数列的概念与运算,解答题,理17)已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=1,S3=6,正项数列bn满足b1b2b3bn=2Sn.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若bnan对nN*均成立,求实数的取值范围.解:(1)等差数列an,a1=1,S3=6,d=1,故an=n.b1b2b3bn=2Sn,b1b2b3bn-1=2Sn-1,得bn=2Sn-Sn-1=2an=2n(n2),b1=2S1=21=2,满足通项公式,故bn=2n.(2)设bnan恒成立n2n恒成立,设cn=n2ncn+1cn=n+12n,当n2时,cn12.专题2等比数列的性质(2015河北保定一模,等比数列的性质,填空题,理14)已知公比为q的等比数列an,满足a1+a2+a3=-8,a4+a5+a6=4,则a11-q=.解析:由题意得a4+a5+a6=q3(a1+a2+a3)=-8q3=4,q3=-12,所以由a1+a2+a3=-8得a1(1+q+q2)=-8,a1=-81+q+q2,于是a11-q=-8(1-q)(1+q+q2)=-81-q3=-81+12=-163.答案:-163(2015河北衡水中学二模,等比数列的性质,选择题,理3)已知等比数列an中,a5=10,则lg(a2a8)等于()A.1B.2C.10D.100解析:由等比数列的性质可知lg(a2a8)=lga52=lg100=2,故选B.答案:B专题3等比数列前n项和公式(2015河北唐山一模,等比数列前n项和公式,解答题,理17)设数列an的前n项和为Sn,满足(1-q)Sn+qan=1,且q(q-1)0.(1)求an的通项公式;(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.(1)解:当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1得a1=1.当n2时,由(1-q)Sn+qan=1得(1-q)Sn-1+qan-1=1,两式相减得an=qan-1(n2),又q(q-1)0,所以an是以1为首项,q为公比的等比数列,故an=qn-1.(2)证明:由(1)可知Sn=1-anq1-q,由S3+S6=2S9得1-a3q1-q+1-a6q1-q=2(1-a9q)1-q,化简得a3+a6=2a9,两边同除以q得a2+a5=2a8,故a2,a8,a5成等差数列.6.4数列求和专题2错位相减求和(2015河北石家庄一模,错位相减求和,解答题,理17)设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=Sn+1(nN*,-1),且a1,2a2,a3+3为等差数列bn的前三项.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)求数列anbn的前n项和.解:(1)an+1=Sn+1(nN*),an=Sn-1+1(n2),an+1-an=an,即an+1=(+1)an(n2),+10,又a1=1,a2=S1+1=+1,数列an是首项为1,公比为+1的等比数列,a3=(+1)2,4(+1)=1+(+1)2+3,整理得2-2+1=0,解得=1.an=2n-1,bn=1+3(n-1)=3n-2.(2)由(1)可得anbn=(3n-2)2n-1,Tn=11+421+722+(3n-2)2n-1,2Tn=121+422+723+(3n-5)2n-1+(3n-2)2n,-得-Tn=11+321+322+32n-1-(3n-2)2n=1+32(1-2n-1)1-2-(3n-2)2n,整理得Tn=(3n-5)2n+5.(2015河北石家庄高三质检一,错位相减求和,解答题,理18)数列an为公差不为0的等差数列,a1=3,且a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=2nan,求数列bn的前n项和.解:(1)设数列an的公差为d,由题意得(3+3d)2=3(3+12d),解得d=2或d=0(舍),an的通项公式为an=3+(n-1)2=2n+1.(2)由(1)得bn=2nan=(2n+1)2n.Sn=321+522+723+(2n+1)2n.2Sn=322+523+724+(2n+1)2n+1.-得-Sn=321+222+223+22n-(2n+1)2n+1=2+22(1-2n)1-2-(2n+1)2n+1=-2-(2n-1)2n+1.Sn=(2n-1)2n+1+2.专题3裂项相消求和(2015江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学高三联考,裂项相消求和,解答题,理17)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足b2+c2=bc+a2.(1)求角A的大小;(2)已知等差数列an的公差不为零,若a1cos A=1,且a2,a4,a8成等比数列,求4anan+1的前n项和Sn.解:(1)b2+c2-a2=bc,b2+c2-a22bc=bc2bc=12,cosA=12.又A(0,),A=3.(2)设an的公差为d,由已知得a1=1cosA=2,且a42=a2a8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d).又d不为零,d=2.an=2n.4anan+1=1n(n+1)=1n-1n+1.Sn=1-12+12-13+13-14+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.(2015江西九校高三联考,裂项相消求和,解答题,理17)设数列an为递增的等比数列,且a1,a3,a5-8,-3,-2,0,1,4,9,16,27,数列bn满足b1=2,bn+1-2bn=8an.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设数列cn满足cn=4nbnbn+1,且数列cn的前n项和为Tn,并求使得Tn1am对任意nN*都成立的正整数m的最小值.解:(1)数列an为递增的等比数列,则其公比为正数,又a1,a3,a5-8,-3,-2,0,1,4,9,16,27,当且仅当a1=1,a3=4,a5=16时成立.此时公比q2=a3a1=4,q=2,an=2n-1(nN*).又bn+1-2bn=8an,bn+1-2bn=2n+2,即bn+12n+1-bn2n=2.bn2n是首项为b121=1,公差为2的等差数列.bn2n=1+2(n-1)=2n-1,bn=(2n-1)2n.(2)cn=4nbnbn+1=12(2n+1)(2n-1)=1412n-1-12n+1,Tn=141-13+13-15+12n-1-12n+1=141-12n+1.Tn1am对任意nN*都成立,结合(1),只需1612m-1.mZ,m4,故正整数m的最小值为4.6.5数列的综合应用专题2数列与函数相结合问题(2015江西九校高三联考,数列与函数相结合问题,选择题,理5)等比数列an中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a8),则f(0)=()A.26B.29C.212D.215解析:依题意,记g(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a8),则f(x)=xg(x),f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)=a1a2a8=(a1a8)4=212,故选C.答案:C(2015河北石家庄高三质检二,数列与函数相结合问题,选择题,理12)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+1)=f(x)-f2(x)+12,数列an满足an=f2(n)-f(n),nN*,若其前n项和为-3516,则n的值为()A.16B.17C.18D.19解析:利用分组求和,结合排除法求解.由题意f(x+1)-122=f(x)-f2(x),则f2(x+1)-f(x+1)+14=f(x)-f2(x).又-14f2(n)-f(n)=an0,所以an+1+14=-an,即an+1+an=-14.若n为偶数,则其前n项和为-14n2=-3516,n=352N*,所以n不可能是偶数,排除A和C;若n=17,则a17=S17-S16=-3516+148=-316-14,0,符合题意;若n=19,则a9=S19-S18=-3516+149=1160,不符合题意,故选B.答案:B(2015江西南昌一模,数列与函数相结合问题,选择题,理11)设无穷数列an,如果存在常数A,对于任意给定的正数(无论多小),总存在正整数N,使得nN时,恒有|an-A|成立,就称数列an的极限为A,则下列四个无穷数列:(-1)n2;113+135+157+1(2n-1)(2n+1);1