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信号与系统 离散时间信号与系统 信号 系统 离散 时间

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第五章第五章第五章第五章离散时间信离散时间信离散时间信离散时间信 号与系统的频域分析号与系统的频域分析号与系统的频域分析号与系统的频域分析 x 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 注释注释 CFS the Continuous time Fourier Series 连续时间傅立叶级数连续时间傅立叶级数 DFS the Discrete time Fourier Series 离散时间傅立叶级数离散时间傅立叶级数 CTFT the Continuous Time Fourier Transforms 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换 DTFT the Discrete Time Fourier Transforms 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换 5 0 引言引言 introduction 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 本章采用与上一章相同的方法研究离散时本章采用与上一章相同的方法研究离散时 间信号与系统的傅立叶分析间信号与系统的傅立叶分析 可以看到可以看到 离离 散时间的频域分析与连续时间的频域分析既散时间的频域分析与连续时间的频域分析既 有许多相似的地方有许多相似的地方 也存在一些重要区别也存在一些重要区别 抓住它们之间的相似之处与掌握其差别抓住它们之间的相似之处与掌握其差别 对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有 重要意义重要意义 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 离散时间信号与系统分析的历史并不比连续时间离散时间信号与系统分析的历史并不比连续时间 信号与系统分析的历史短信号与系统分析的历史短 但由于模拟器件的制造但由于模拟器件的制造 技术发展的更早技术发展的更早 更快更快 以致在很长一段时间里以致在很长一段时间里 离散时间信号与系统的分析发展得比较缓慢离散时间信号与系统的分析发展得比较缓慢 主要主要 限于数值分析和对时间序列的分析限于数值分析和对时间序列的分析 20世纪四世纪四 五十年代五十年代 数字技术和计算机的出现数字技术和计算机的出现 极大地推动了离散时间信号与系统的研究极大地推动了离散时间信号与系统的研究 但由于但由于 缺乏快速算法缺乏快速算法 其发展仍受到很大制约其发展仍受到很大制约 六十年代六十年代 中期中期 Cooley和和Tukey提出提出FFT算法后算法后 这一领域这一领域 得到了飞速的发展得到了飞速的发展 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 基本思路与内容基本思路与内容 复指数函数复指数函数是一切是一切系统的特征函数系统的特征函数 LTI n z 以此为基础建立离散时间周期信号与非周期信号以此为基础建立离散时间周期信号与非周期信号 的频域表示的频域表示 离散傅立叶变换离散傅立叶变换 DFT 及其快速算法及其快速算法 FFT LTI 系统的频域分析系统的频域分析 DTFT的性质的性质 信号时域特性与频域特性的关系信号时域特性与频域特性的关系 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 5 1离散时间离散时间LTI系统的特征函数系统的特征函数 The Eigenfunctions of Discrete Time LTI Systems 由时域分析法由时域分析法 nhnxny k kn zkh k kn zkhz zHz n n z系统的系统的特征函数特征函数 zH 系统与系统与特征函数相特征函数相 对应对应的的特征值特征值 LTI nh y n n z k k H zh k z 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 这表明这表明 是一切离散时间是一切离散时间LTI系统的特征函数系统的特征函数 n z k n kk zanx k n kkk zzHany 其中其中z 是一个复数是一个复数 j zre 如果如果 则则 以以为基本信号单元为基本信号单元 将信号将信号表示为表示为 的线性组合即为的线性组合即为信号的频域分解信号的频域分解 nj e x n nj e nj e 也是离散时间也是离散时间LTI系统的特征函数系统的特征函数 显然显然 当当时时 1r j ze 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 5 2 周期信号与离散时间傅立叶级数周期信号与离散时间傅立叶级数 Periodic Signals Wx n W 当当时时 振荡与起伏将完全消失振荡与起伏将完全消失 不会出不会出 现吉伯斯现吉伯斯 Gibbs 现象现象 也不存在收敛问题也不存在收敛问题 绝对可和与平方可和并不是等价的绝对可和与平方可和并不是等价的 例如例如 平方可和但并不绝对可和平方可和但并不绝对可和 0 sin nn 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 2 1 1 12 cos sin tg 1cos j j X e aa a X e a R 二二 常用信号的离散时间傅立叶变换常用信号的离散时间傅立叶变换 通常通常是复函数是复函数 它的模和相位它的模和相位 j X e 0 1 1 1 n jnj n j n x na u na X ea e ae 1 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 1 nuanuanx nn cos21 1 1 1 1 2 2 010 1 aa a aeae ae eaeaeaeaeX jj j n njn n njn n njn n njnj 由图可以看到由图可以看到 时时 低通特性低通特性 单调指数衰减单调指数衰减 x n01a 时时 高通特性高通特性 摆动指数衰减摆动指数衰减 x n10a 01 n x naa 2 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 可以得出结论可以得出结论 实偶序列实偶序列实偶函数实偶函数 2 sin 2 1 sin 1 1 1 N eeX N Nn njj 1 0 x n 1 1 Nn Nn 3 矩形脉冲矩形脉冲 当当 1 2N 时时 有同样的结论有同样的结论 实偶信号实偶信号实偶函数实偶函数 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 两点比较两点比较 1 与对应的周期信号比较与对应的周期信号比较 显然有显然有 2 与对应的连续时间信号比较与对应的连续时间信号比较 关系成立关系成立 2 1 j k k N AX e N g 1 sin 21 1 sin k kN N A N k N g 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 0 1 tx 1 1 Tt Tt 1 11sin 2 T TT jX 如图所示如图所示 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 x nn 1 nj n j enxeX j eX 1 0 n 0 n 1 如图所示如图所示 5 频域均匀冲激串频域均匀冲激串 j X e 2 2 4 4 1 4 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 j H e 2 j k X ek 11 22 j n x ned 1x n 时时 2 2 j k X ek 6 理想低通滤波器理想低通滤波器 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 1sin 2 j n Wn h ned n 具有具有函数的形式函数的形式 系统是非因果的系统是非因果的 h nsinc 7 符号函数符号函数 sgn n 1 0 1 0n 0n 0n n 1 1 sgn n 将其视为下列信号的极限将其视为下列信号的极限 1 nn a u na una 于是有于是有 2 112 sin 111 2 cos jj j a aeaeaa 当当时时 可得到可得到 1a 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 sin sgn 1 cos j n 实实 奇信号奇信号虚虚 奇频谱奇频谱 8 单位阶跃的频谱单位阶跃的频谱 1 1 sgn 2 u nnn 12 2 k k sin sgn 1 cos j n 1n 1 2 1 j k u nk e 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 5 2 周期信号的周期信号的DTFT 0 2 0 1 2 jj n jnj n x nX eed ede 2 02 0 002 0 0 2 jt e 对连续时间信号对连续时间信号 有有由此由此 推断对离散时间信号或许有相似的情况推断对离散时间信号或许有相似的情况 但由于但由于DTFT一定是以一定是以2 为周期的为周期的 因此因此 频频 域的冲激应该是周期性的冲激串域的冲激应该是周期性的冲激串 0 22 k k 对其做反变换有对其做反变换有 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 0 0 22 jn k ke 可见可见 x n 因此因此 周期信号周期信号 可表示为可表示为DTFT 2 2 2 j k lkN X eAkl N g 0 2 2 j k kNl x nX eAkl g 0 0 2 jkn k kN x nA e N 由由DFS有有 g 22 2 2 2 2 2 4 kk kNkN k kN AkAk NN Ak N L L g g g 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 可以看出与连续时间傅立叶变换中的形式是完全可以看出与连续时间傅立叶变换中的形式是完全 一致的一致的 11 00 1 0 22 2 2 2 2 2 NN kk kk N k k AkAkN NN AkN N L L gg g 121 0 31 2 22 2 2 2 2 NN kk kk N N k kN AkAk NN Ak N L L 2 2 k k Ak N gg gg 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 k j kkeX 2 2 00 00 0 1 cos 2 jnjn x nnee 例例1 不一定是周期的不一定是周期的 当当 0 2 k N 时才是周期的时才是周期的 000 sin 2 2 kk nkk j 2 2 j k k X eAk N g 0 2 0 2 0 0 0 2 0 2 j eX 2 0 2 LL 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 k j k NN eX 2 2 比较比较 与连续时间均匀冲激串的情况一致与连续时间均匀冲激串的情况一致 k x nnkN 例例2 均匀脉冲串均匀脉冲串 00 1 0 111 N jknjkn k nNn Ax n en e NNN g nx 1 N 0NN2 N2 n LL N 2 N 2 j eX N 2 0 N 4 N 4 LL 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 5 5 离散时间傅立叶变换的性质离散时间傅立叶变换的性质 The Properties of the DTFT 2121 jj ebXeaXnbxnax DTFT也有很多与也有很多与CTFT类似的性质类似的性质 当然也有某当然也有某 些明显的差别些明显的差别 通过对通过对DTFT性质的讨论性质的讨论 目的在于揭示信号时目的在于揭示信号时 域和频域特性之间的关系域和频域特性之间的关系 2 jjj eXeXeXnx 则则若若 1 周期性周期性 periodic 比较比较 这是与这是与CTFT不同的不同的 2 线性线性 linearity 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 3 共轭对称性共轭对称性 symmetry properties jj eXnxeXnx 若若则则 由此可进一步得到以下结论由此可进一步得到以下结论 Re Re Im Im jj jj jj jj X eX e X eX e X eX e X eX e R R jjjj eXeXeXeX 即即 1 1 若若 nx是实信号是实信号 则则 nxnx 因此因此 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 j x nx nxnX e 2 若若 nx是实偶信号是实偶信号 则则 nxnx jjj eXeXeX 于是有于是有 即即 是实偶函数是实偶函数 j eX nxnxnxnx 3 若若是实奇信号是实奇信号 则则 nx jjj eXeXeX 于是有于是有 表明表明 是虚奇函数是虚奇函数 j eX Re Im eo jj eo x nx nx n x nX ex njX e 4 若若则则 说明说明 这些结论与连续时间情况下完全一致这些结论与连续时间情况下完全一致 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 4 时移时移 shifting 0 0 j nj x nnX ee 若若 则则 j x nX e 表明表明 信号在时域平移不改变幅频特性信号在时域平移不改变幅频特性 只产生线只产生线 性的附加相移性的附加相移 2 1 1 1 1 0 keXeX e kx eXenxnx jj j n k jj 5 时域差分与求和时域差分与求和 differencing and summation 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 k j n k k e nu nknu 2 1 1 1 例例 6 时域时域内插内插与频域尺度变换与频域尺度变换 interpolation 0 knx nxk定义定义 为为的整数倍的整数倍 其他其他 nk n j e 1 可看出可看出在在DTFT中中相当于相当于CTFT中的中的j 说明说明 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 jk k x nX e 表明表明 信号的特性在时域与频域之间存在一种相反信号的特性在时域与频域之间存在一种相反 的关系的关系 jj nj rk kkk nr j rkjk r Xex n ex rk e x r eX e 时间反转时间反转特性特性 j xnX e 当当K 1时时 据此可得据此可得 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 7 频域微分特性频域微分特性 j eXnx j dXe nx nj d j j n n dX e jnx n e d jj n n X ex n e Q 8 卷积特性卷积特性 convolution 称为称为系统的频率特性系统的频率特性 j H e 若若则则 y nx nh n jjj Y eX eH e 卷积特性是对卷积特性是对LTI系统进行频域分析的理论基础系统进行频域分析的理论基础 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 例例 求和特性的证明求和特性的证明 n k x kx nu n Q 1 2 1 j k u nk e n k x k 0 2 1 j j j k X e X ek e 由卷积特性可得由卷积特性可得 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 1 j X e 由于由于和和都是以都是以为周期的为周期的 因此上述卷积称为因此上述卷积称为周期卷积周期卷积 2 2 j Xe 12 1 2 jjj Y eX eX e 记为记为 12 2 1 2 jjj Y eX eXed 12 y nx nx n 如果如果则则 9 调制特性调制特性 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 0 0 2 2 jn k ek Q 移频特性移频特性 0 jn x n e 的频谱的频谱 例例 移频特性移频特性 0 1 2 2 2 j k X ek 0 jn x n e 周期卷积与普通卷积的区别仅在于积分区间是周期卷积与普通卷积的区别仅在于积分区间是 一个周期一个周期 卷积的结果也是周期性的卷积的结果也是周期性的 由由调制特性可得调制特性可得 0 2 0 0 jj X edX e 即即 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 k jnjn keCenc 2 2 1 2 1 2 1 2 0 2 jj jj jjj eXdeX deCeX eCeXeY 1 nc n 例例 ncnxny nx 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 e X 0 1 j eY 1 0 j eC 0 2 2 j eX M M 0 1 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 2 2 2 2 1 deXnx j n 10 Parseval 定理定理 2 j eX称为称为的的能量谱密度函数能量谱密度函数 nx 221 k nNkN x nA N 比较比较 在在DFS中中 有有 称为周期信号的称为周期信号的功率谱功率谱 2 k A 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 11 对偶性对偶性 一一 离散时间傅立叶级数的对偶离散时间傅立叶级数的对偶 对离散时间周期序列有对离散时间周期序列有 22 1 jknjkn NN kk kNnN x nA eAx n e N k A由于由于本身也是以本身也是以N为周期的序列为周期的序列 当然也可以当然也可以 将其展开成将其展开成DFS形式形式 即即 22 11 jknjkn NN kn nNkN Axn eAxk e NN 或或 将将记为记为有有 n A a n 1 a nxk N 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 利用对偶性可以很方便地将利用对偶性可以很方便地将DFS在时域得到的性在时域得到的性 质对偶到频域质对偶到频域 得到频域相应的性质得到频域相应的性质 1 kx N 这表明这表明序列的序列的DFS系数就是系数就是 a n 1 DFS k DFS x na kA a nxk N 即即 例例1 从时移到频移从时移到频移 1 x na ka nxk N 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 0 2 0 1 jkn N a nnxk e N 2 2 11 jMn N jMn N xn eakM NN xn eakM 利用利用时移性质时移性质有有 由对偶性有由对偶性有 2 jMn N xnak x n ea kM 即是即是频移特性频移特性 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 1212 111 a nb nxkxkNxkxk NNN 12 12 11 mN mN xn xna m bkm NN x nx na m b kma kb k 例例2 由卷积特性到相乘特性由卷积特性到相乘特性 由由时域卷积性质时域卷积性质 由对偶性由对偶性 12 kk x nxnABN nn Aa nBb n 12 11 a nxkb nxk NN 时域相乘性质时域相乘性质 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 二二 DTFT与与CFS间的对偶间的对偶 jj nj n X ex n eX e 由由知知是一个以是一个以 2 为周期的连续函数为周期的连续函数 deeXnx njj 2 2 1 jt eX则可将其表示为则可将其表示为CFS 若在时域构造一个以若在时域构造一个以为周期的连续时间信号为周期的连续时间信号 2 2 1 2 jtjktjtjkt kk k X eA eAX eedt k Axk k A 比较比较 和和的表达式可以看出的表达式可以看出 nx 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 DTFTj CFSjt x nX e X exk 若 则 这表明这表明 利用这一对偶关系利用这一对偶关系 可以将可以将DTFT的若干特性对的若干特性对 偶到偶到CFS中去中去 或者反之或者反之 例例 从从CFS的时域微分到的时域微分到DTFT的频域微分的频域微分 2 CFS k d x tjkA dtT CFS的的时域微分特性时域微分特性 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 2 2 j CFSjt eX d d njnx Tkjkxkkx T jeX dt d DTFTCFSjjt x nX eX ex k 若若 则则 2211 2211 kxeXkxeX eXnxeXnx CFSjtCFSjt jDTFTjDTFT 例例 从从CFS的卷积特性到的卷积特性到DTFT的相乘特性的相乘特性 DTFT的的频域微分特性频域微分特性 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 1212 2 2 CFSjtjt X eX exk xkT 由由CFS的卷积特性的卷积特性 12 kk x tx tTA B 2 1 2 2121 2121 jjDTFT jjDTFT eXeXnxnx eXeXnxnx 由对偶性有由对偶性有 DTFT的相乘特性的相乘特性 可以将对偶关系归纳为如下图表可以将对偶关系归纳为如下图表 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 CFS连续时间傅立叶级数 k x tA 离散 非周期连续 周期 DFS离散时间傅立叶级数 k x nA 离 散 周 期 离 散 周 期 连续 非周期连续 非周期 CTFT连续时间傅立叶变换 2 x tXj Xjtx DTFT离散时间傅立叶变换 j eXnx 连续 周期离散 非周期 12 k AX jk TT 2 1 jk N k AX e N jDTFT eXnx kxeX CFSjt 1 n Ax k N 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 说明说明 时 域频域 连续非周期 离散周期 周期离散 非周期连续 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 5 6 离散傅立叶变换离散傅立叶变换 DFT Discrete Fourier Transform 可以认为时域可以认为时域N点有限长序列与频域点有限长序列与频域N点有限长序点有限长序 列之间有一种变换关系列之间有一种变换关系 这种关系就称为这种关系就称为DFT 离散时间傅立叶变换是连续函数离散时间傅立叶变换是连续函数 为了在频域进为了在频域进 行数字处理行数字处理 需要将其离散化需要将其离散化 即需要一种时域离即需要一种时域离 散散 频域也离散的关系频域也离散的关系 DFS正满足这一点正满足这一点 kA DFS的本质是将时域的本质是将时域N个独立的点变换为频域个独立的点变换为频域N个个 独立的点独立的点 将一个周期序列取主周期将一个周期序列取主周期 即得即得N点有点有 限长序列限长序列 对对取其主周期也是取其主周期也是N个独立的点个独立的点 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 一一 从从DFS到到 DFT 若若为有限长序列为有限长序列 将其周期性延拓成以将其周期性延拓成以为周为周 期的序列期的序列则则 x nN x n k kNnxnx Nx nx n 或表示为或表示为 若若 N Rn 1 01nN 0 otherwise 则则 N x nx n Rn 由由DFS有有 22 1 0 N jknjkn NN kk kNk x nA eA e 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 22 1 0 11 N jknjkn NN k nNn Ax n ex n e NN 将将记为记为 k NA 2 j N N X kWe 且且 则则DFS可表示为可表示为 1 0 1 N kn N k x nX k W N 1 0 N kn N n X kx n W DFS的另一种的另一种 表示形式表示形式 如果取如果取的主值周期的主值周期并记为并记为 同时取同时取的主值周期的主值周期并记为并记为则有则有 x n x n X k 01 kN X k 01 nN 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 1 0 1 01 N kn N k x nX k WnN N 1 0 01 N kn N n X kx n WkN 这一对关系就是这一对关系就是有限长序列与它的有限长序列与它的DFT DFT表明表明 时域的时域的点有限长序列点有限长序列 可以变换可以变换 为频域的为频域的点有限长序列点有限长序列 x n X k N N 显然有显然有 N X kX k Rk NX kXk DFT与与DFS的关系的关系 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 nx n N 0 N2N N0 k kX DFS DFT k A 0 2 N N k 2 N N N 0 n nx 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 二二 DFT与频域采样的关系与频域采样的关系 1 0 N jj n n X ex n e 22 1 0 1 0 N jkjkn NN n N kn N n X ex n e x n WX k 1 0 Nk 2 j k N X kX e 1 0 Nk 对对点有限长序列点有限长序列有有 N x n k N 2 令令则有则有 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 表明表明 有限长序列的有限长序列的DFT就是对其离散时间傅立叶变就是对其离散时间傅立叶变 换在一个周期内等间隔采样的样本换在一个周期内等间隔采样的样本 应该强调指出应该强调指出 DFT并不是并不是的频谱的频谱 只是其频只是其频 谱的样本谱的样本 DFT在一定程度上反映了在一定程度上反映了的频谱的频谱 只只 有在满足频域采样的要求时有在满足频域采样的要求时 DFT才可以完全代表信才可以完全代表信 号的频谱号的频谱 x n x n 频域采样频域采样时域周期性延拓时域周期性延拓 要求要求时限时限 若若有有M点点 对其频谱在对其频谱在一个周期内一个周期内采样采样N点点 那那 么么 将以将以 N 为周期延拓为周期延拓 只有当只有当时时 这这 种延拓种延拓才不会发生混叠才不会发生混叠 即在一个周期内至少要采样即在一个周期内至少要采样 M点才能恢复原信号点才能恢复原信号 MN x n x n x n 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 若若非时限非时限 则不论在频谱的一个周期采样多少则不论在频谱的一个周期采样多少 点点 都无法从周期延拓的信号中恢复原都无法从周期延拓的信号中恢复原 所以所以 DFT只能对应有限长序列只能对应有限长序列 x n x n 考察有限长系列当满足频域采样要求时考察有限长系列当满足频域采样要求时 在时域和在时域和 频域的恢复过程频域的恢复过程 1 0 11 00 11 M knkn NN nn NN knkn NN kk X kx n Wx n W x nX k WX k W NN 若若是一个是一个点的序列点的序列 在频域对其采样在频域对其采样点点 则有则有 x nNM 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 1 0 1 0 1 1 N kmkn NN km N k m n N mk x nx m WW N x mW N 1 0 0 N k m n N k N mnrN r W m 为整数 其他 r rNnxnx 当当MN 时可以通过矩形窗从时可以通过矩形窗从恢复恢复 x n x n N x nx nRn 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 1 2 jjj X eX ee j N eRn 1 1 2 2 02 sin sin N N N j jj n n eee 频谱的恢复频谱的恢复 22 j k X eX kk NN 的的DTFT x n 做周期卷积时做周期卷积时 将积分区间取为将积分区间取为 2 0 在此区间内在此区间内 kXkX 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 2 1 0 1 N jk j N k X eX ke N 表明表明 以矩形窗的频谱为内插函数恢复成以矩形窗的频谱为内插函数恢复成 j X e 2 1 2 1 1sin 2 2 sin 2 jk j N k Nk j N ee N N e k N N 令令 2 11 00 1 NN jk jj N k kk X eX keX ke N 则则 于是于是 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 例例 N x nRn 04 5nN 2 5 44 5 00 jkn kn nn X kWe 5 0k 0 14k 4 2 0 sin 5 2 sin 2 jj nj n X eee 2 5 5 0 0 14 j k k X kX e k 显然有显然有 2 0 j e 5N 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 例例 cos07 8 4 x nnnN x n n 1 102 345 6 7 7 0 4 1 7 cos 0 4 kn N n k X kn W otherwise 4 X k 0 12 345 6 7 k n x n 1 24130 X k 5 2 0 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 5 7 离散傅立叶变换离散傅立叶变换 DFT 的性质的性质 1 线性线性 DFT x nX k DFT y nY k 如果如果均为均为N点有限长序列点有限长序列 且且 DFT ax nby naX kbY k x ny n 则则 2 圆周移位圆周移位 0 NN x nnRn 称为称为的的圆周移位圆周移位 x n 先将先将以以N为周期延拓为周期延拓 再移位再移位 然后然后取主取主 值周期值周期 本质上是周期信号移位本质上是周期信号移位 这相当于将序这相当于将序 列置于圆周上随列置于圆周上随转动转动 故称为故称为圆周移位圆周移位 0 n x n 0 n 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 0n 1n 3n 4n x n 0n 1n 3n 4n 55 1 x nR n 1 x n n x n x n n 2 x n n 2 x n 55 2 x nR n 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 则则 0 1 kn N X kWX k 0 DFS 0 kn N x n nWX k 110 DFT DFT N X kx nx nn Rn 00 knkn NNN WX k RkWX k 频域圆周移位频域圆周移位 与时域对应与时域对应 如果有限长序列的如果有限长序列的DFT在频域圆周在频域圆周 移位移位 则有则有 若若 10 0 NN N x nx nnRn x nn Rn 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 0 0 k n NNN XkkRkWx n 3 周期卷积与圆周卷积周期卷积与圆周卷积 nf也是以也是以N为周期的为周期的 显然显然 若若 N x nx n Rn N y ny n Rn 上式可以写成上式可以写成 定义为定义为与与的的周期卷积周期卷积 如果如果 nx y n 以以N为周期为周期 则将则将 1 0 N m f nx ny nx m y nm nx y n 1 0 N m x nm y m 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 1 0 1 0 N m NN N m mymnxmnymxnf 定义定义 两个长度相同序列的圆周卷积两个长度相同序列的圆周卷积 1 0 1 0 N NN m N NN m f nx ny nx mRny nm y mRnx nm 称为称为圆周卷积圆周卷积 N f nf nRn 圆周卷积的实质圆周卷积的实质 是先将两个有限长序列延拓成周是先将两个有限长序列延拓成周 期序列期序列 做周期卷积做周期卷积 然后对卷积结果取主值周期然后对卷积结果取主值周期 即即 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 若若 nynxnf 则则 kYkXkF nynxnf kYkXkF 1 kYkX N kF DFS kkk kk k CNA B X kNAY kNB F kNC NN NN F kF k RkX k Y k Rk X k Rk Y k RkX k Y k 频域卷积频域卷积 nynxnf 则则 若若 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 ym m 1 y n n 1 x n n 1 1 ym m 1 y m m 1 ym m 1 1 ym m 1 n f n 1 2 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 4 有限长序列的线性卷积与圆周卷积有限长序列的线性卷积与圆周卷积 若若是是点序列点序列 是是点序列点序列 x nN y nM 线性卷积线性卷积 m f nx ny nx m y nm 即即 线性卷积线性卷积 的长度为的长度为N M 1点点 的非零区间的非零区间 10 Nm 的的非零区间非零区间 10 Mmn x m y nm 因此因此 的的非零区间为非零区间为 02nNM f n 将将 均补零加长到均补零加长到 L 点点 做圆周卷积做圆周卷积有有 x n y n 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 1 0 L LL m f nx ny nR nx m y nmR n L k y nmy nmy nmkL 代入代入 1 0 L L mk f nx my nmkLR n 1 0 L L km L k x m y nmkLR n f nkLR n 表明表明 圆周卷积是线性卷积周期延拓后取的主值周期圆周卷积是线性卷积周期延拓后取的主值周期 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 显然显然 当当1 MNL时时 周期延拓时不发生重叠周期延拓时不发生重叠 可以通过取可以通过取的主的主 值周期值周期 即通过圆周卷积得到即通过圆周卷积得到 这就是这就是通过计通过计 算圆周卷积求得线性卷积必须满足的条件算圆周卷积求得线性卷积必须满足的条件 f n f n f n 1 MNL时时 由于周期性延拓时必然发生由于周期性延拓时必然发生 重叠重叠 无法通过圆周卷积取得线性卷积的结果无法通过圆周卷积取得线性卷积的结果 当当 5 共轭对称性共轭对称性 DFT x nX k 若若则则 DFT x nXNk 有时也记为有时也记为 Xk 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 11 00 NN knkn NNNN nn NN x n Wx n WXkRk XNkRkXNk 1 0 Nk 0 XNX 当当时时 0k ri x nx njx n 1 由由可得可得 1 2 r x nx nx n 实部实部 1 2 i jx nx nx n 虚部虚部 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 若若 DFT re x nXk DFT io jx nXk 则则 1 2 e XkX kXNk 1 2 o XkX kXNk eo X kXkXk 显然显然 1 2 ee XNkX NkXkXk 由于由于 所以称其为所以称其为圆周共轭偶对称圆周共轭偶对称 或称或称是是 的的圆周共轭偶部圆周共轭偶部 由此由此 进一步可得进一步可得 e Xk X k 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 Re Re Im Im ee ee XkXNk XkXNk 圆周共轭奇对称圆周共轭奇对称 同理可得同理可得 oo XkXNk 是是的的圆周共轭奇部圆周共轭奇部 o Xk X k 实部实部共轭偶部共轭偶部 圆周共轭偶对称圆周共轭偶对称 实部圆周偶对称实部圆周偶对称 虚部圆周奇对称虚部圆周奇对称 结论结论 Re Re Im Im oo oo XkXNk XkXNk 进一步可得进一步可得 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 虚部虚部共轭奇部共轭奇部 圆周共轭奇对称圆周共轭奇对称 实部圆周奇对称实部圆周奇对称 虚部圆周偶对称虚部圆周偶对称 e X kXk 2 若若是实序列是实序列 则则 x n 只有共轭偶部只有共轭偶部 o X kXk 若若是纯虚序列是纯虚序列 则则 x n 只有共轭奇部只有共轭奇部 kX在这两种情况下在这两种情况下 只要知道只要知道的一半序列值的一半序列值 即可得出另一半序列值即可得出另一半序列值 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 1 2 e x nx nxNn 圆周共轭偶部圆周共轭偶部 1 2 o x nx nxNn 圆周共轭奇部圆周共轭奇部 DFT 1 Re 2 e x nX kXkX k DFT 1 Im 2 o x nX kXkjX k x nXNkXk xnxNnXk eo x nx nx n 3 由于由于 0 x Nx 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 6 Parseval定理定理 1 0 2 1 0 2 1 N k N n kX N nx 在这里在这里 0 1 k X kNAkN 其实就是其实就是DFS的的Parseval定理的变形定理的变形 一般情况下有一般情况下有 11 00 1 NN nn x n y nX k Yk N 当当时时 就成为前面的形式就成为前面的形式 x ny n 11 22 00 1 NN k nk x nA N 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 5 8 DFT应用中的几个具体问题应用中的几个具体问题 一一 频谱的混叠现象频谱的混叠现象 spectrum aliasing 在时域将连续时间信号通过采样离散化时在时域将连续时间信号通过采样离散化时 对带限对带限 信号信号 采样频率不得低于信号最高频率的采样频率不得低于信号最高频率的2 倍倍 否则否则 会出现频谱混叠会出现频谱混叠 此时样本序列不能代表原信号此时样本序列不能代表原信号 对对 其作其作DFT也就失去意义了也就失去意义了 但采样频率过高则会增大但采样频率过高则会增大 数据量影响运算速度数据量影响运算速度 且要求较大内存量且要求较大内存量 对非带限信号对非带限信号 频谱混叠是必然的频谱混叠是必然的 只能通过提高只能通过提高 采样频率减轻频谱混叠程度采样频率减轻频谱混叠程度 借以减小误差借以减小误差 工程中工程中 通常取通常取 2 5 3 sM 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 若若不知道不知道信号的最高频率信号的最高频率 只有已经记录下来的波只有已经记录下来的波 形或数据形或数据 则可以从波形或数据中找出变化规律最快则可以从波形或数据中找出变化规律最快 的相邻两点的相邻两点 以这两点的时间间隔以这两点的时间间隔为依据为依据 按照按照 1 2 m d f t m f d t 近似确定最高频率近似确定最高频率 二二 信号截断与频谱泄漏信号截断与频谱泄漏 带限信号一定非时限带限信号一定非时限 在时域将连续时间信号离散在时域将连续时间信号离散 化时化时 为满足为满足Nyquist 定理要求定理要求 信号必须带限信号必须带限 所所 以时域序列必为无限长以时域序列必为无限长 要对它做要对它做DFT就必须将其截就必须将其截 断为有限长序列断为有限长序列 为此要乘上矩形窗口函数为此要乘上矩形窗口函数 j NN RnWe 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 截断后的有限长序列的频谱截断后的有限长序列的频谱 1 2 jjj N X eX eWe 由于由于的引入可能会产生的引入可能会产生频谱泄漏频谱泄漏 导致在导致在 DFT运算中产生出信号中本来没有的频率分量运算中产生出信号中本来没有的频率分量 j N We 例例 nnx 2 cos 0 4N 分别以分别以和和将其截断将其截断 并分别对截断并分别对截断 的有限长序列做的有限长序列做4点和点和6点点DFT 考察其结果考察其结果 4 N6N Dft exe 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 结论结论 对周期信号截断时对周期信号截断时 必须保证必须保证N为信号为信号 周期的整数倍周期的整数倍 对非周期信号对非周期信号 先截取先截取N点做点做N点点 DFT 再取再取2N点做点做2N点点DFT 依次类推依次类推 直到两直到两 次次DFT的结果非常接近时为止的结果非常接近时为止 以此确定截断长度以此确定截断长度 三三 频率分辨率频率分辨率 若模拟信号若模拟信号带限于带限于 采样频率采样频率 a x t M 2 ss f p t在在一段时间内采样一段时间内采样点点 则采样间隔则采样间隔 N 2 1 ss Tf ps tNTNf 由于由于总对应于离散域的频率总对应于离散域的频率 因此因此 做做N点点 s 2 DFT后后 在在数字域的频率分辨率为数字域的频率分辨率为 2 N 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 模拟域频率分辨率为模拟域频率分辨率为 1 Hz sp FfNt 这表明这表明 在在一定时一定时 模拟域频率分辨率与采样模拟域频率分辨率与采样 点数无关点数无关 不能通过增加采样的点数或提高采样频不能通过增加采样的点数或提高采样频 率来改善模拟域的频率分辨率率来改善模拟域的频率分辨率 要提高模拟域的频要提高模拟域的频 率分辨率率分辨率 只有增大采样信号的时间区段只有增大采样信号的时间区段才能奏才能奏 效效 p t p t 在工程应用中在工程应用中 通常是根据对模拟域频率分辨率通常是根据对模拟域频率分辨率 的要求的要求 来决定采样信号的时间区段来决定采样信号的时间区段 再根据采样再根据采样 定理选定定理选定 进而决定采样点数进而决定采样点数 这就是做这就是做DFT 的点数的点数 p t s N F 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 四四 栅栏效应栅栏效应 DFT是信号频谱的等间隔样本是信号频谱的等间隔样本 相当于通过栅栏相当于通过栅栏 观察信号的频谱观察信号的频谱 因此因此 必定有一些地方会被挡住必定有一些地方会被挡住 即采样时采不到的那些点即采样时采不到的那些点 而在而在DFT的结果中的结果中 无法体现无法体现 这种现象就称为这种现象就称为栅栏效应栅栏效应 在工程应用中在工程应用中 可以通过在序列的尾部补零可以通过在序列的尾部补零 加加 长原序列的长度长原序列的长度 从而增加做从而增加做DFT的点数的点数 来消除来消除 栅栏效应栅栏效应 这相当于调整了原来栅栏的间隙这相当于调整了原来栅栏的间隙 使频使频 谱中那些在原来采样时采不到的分量得以反映谱中那些在原来采样时采不到的分量得以反映 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 5 9 快速傅里叶变换快速傅里叶变换 FFT 一一 DFT的运算特点的运算特点 1 0 N kn N n X kx n W 10 Nk 1 0 1 N kn N k x nX k W N 10 Nn 运算工作量运算工作量 求出求出的每一个点的每一个点 要做要做 N 次复数乘法次复数乘法 次复数加法次复数加法 求出全部求出全部要做要做次复数乘法次复数乘法 和和 做做次复数加法次复数加法 可见可见 DFT 运算具有运算具有数数 量级的运算量量级的运算量 当当 N 较大时较大时 运算量是巨大的运算量是巨大的 如如 N 1024点时点时 运算工作量超过运算工作量超过数量级数量级 kX 1 N 2 N 1 NN 6 10 kX 2 N 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 正是由于正是由于DFT具有巨大的运算量具有巨大的运算量 因此在快速算法因此在快速算法 产生之前产生之前 极大地阻碍了离散时间信号处理技术在工极大地阻碍了离散时间信号处理技术在工 程实际中的应用程实际中的应用 DFT的运算特点的运算特点 kn N W2 有对称性有对称性 k N nN k nkn NNN WWW 2 1 N N W 2 k Nk NN WW 2 2 knkn NN WW kn N W对对k n均以均以N为周期为周期 k N nn N kkn NNN WWW 1 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 例如将一个例如将一个N点序列分成两个点序列分成两个N 2点序列点序列 就可以就可以 减少近一半的运算工作量减少近一半的运算工作量 最重要的是最重要的是 如能将如能将N点序列分成几个短序列点序列分成几个短序列 则可以有效地减少运算次数则可以有效地减少运算次数 FFT的基本思想的基本思想 将长序列分成短序列将长序列分成短序列 并利用并利用 DFT的运算特点的运算特点 周期性周期性 对称性对称性 减少运算量减少运算量 二二 按时间抽取的按时间抽取的FFT算法算法 Cooley Tukey算法算法 若若的长度的长度 把把按按n为奇数为奇数 偶数分成两组偶数分成两组 x n2MN x n 1 2 x rxr 2 21 x rxr 0 1 2 N r 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 1 0 N kn N n X kx n W 2 1 2 0 2 N rk N r xr W 2 1 21 0 21 N rk N r xrW 2 1 0 2 2 N rk N r xr W 2 1 0 2 21 N rkk NN n xrWW 2 1 1 0 2 N nk N n x n W 2 1 2 0 2 N nkk NN n x n WW 12 k N X kW Xk 1 2 0 N k 这就得到了这就得到了的前半部分的前半部分 X k 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 2 1 2 1 0 2 2 N N n k N n N X kx n W 2 1 22 2 0 2 NN N n kk NN n x n WW 12 k N X kW Xk 12 k N X kX kW Xk 1 2 0 N k 12 2 k N N X kX kW Xk 所以有所以有 1 X k 2 Xk 12 k N X kX kW Xk 12 2 k N N X kX kW Xk k N W 主讲教师 阎鸿森 教授王 霞 副教授 第五章 离散时间信号与系统的频域分析 经经M 1次分解次分解 最后分解为每组两点的最后分解为每组两点的DFT 对对 一个两点序列做一个两点序列做DFT不需要做乘法不需要做乘法 此时此时 1 0 2 n kn WnxkX 1 0 0 xxX 1 0 1 xxX 由于这种算法在分组时是按时域中序列的奇由

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